2026학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

이번 시험은 15번 정적분 문제와 21번 함수 추론 문제에서 많은 학생들의 발목을 잡았을 것으로 보입니다. 단순히 공식을 적용하는 수준을 넘어, 조건에 따라 변화하는 함수의 그래프 개형을 직접 추론하고 해석하는 능력을 집중적으로 평가하고 있어요. 특히 14번처럼 복잡해 보이는 도형 문제도 결국은 사인, 코사인 법칙이라는 기본기로 귀결되므로, 평가원이 꾸준히 요구하는 '기본 개념의 심화 적용 능력'을 기르는 것이 수능 고득점의 관건이 될 것입니다. 기출문제를 풀 때 단순히 답을 내는 것을 넘어, '왜 이 조건이 주어졌을까?'를 끊임없이 고민하는 훈련이 필요합니다.

• 14번 — 이 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 종합적으로 활용하는 능력을 평가합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 ∠HCG = ∠BAC 라는 조건을 보고 두 삼각형의 닮음을 떠올리려 하거나 복잡한 좌표 설정을 시도하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 C, E, G, H 네 점이 한 원 위에 있다는 사실을 간파하는 것입니다. 이 조건을 이용해 원주각의 성질을 적용하면 ∠HEG = ∠HCG = ∠BAC가 성립하며, 이를 사인법칙과 연결하는 것이 풀이의 핵심입니다.
  
• 15번 — 정적분으로 정의된 함수의 극값을 다루는 문항으로, 그래프 개형 추론 능력이 관건입니다. h(x)가 오직 하나의 극값을 갖는다는 조건을 h'(x) = g(x) - f(x) = 0의 실근이 하나라고 단순하게 해석하면 오답으로 이어지기 쉽습니다. h'(x)의 부호 변화가 일어나는 지점이 단 한 곳이라는 의미이므로, g(x)와 f(x)의 그래프가 접하는 경우까지 고려해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 양수 a의 값에 따라 직선 g(x)의 기울기가 변하면서 이차함수 f(x)와 만나는 교점의 개수와 위치가 어떻게 달라지는지를 시각적으로 분석하는 것입니다.
  
• 21번 — 구간별로 정의된 함수의 연속성과 미분계수, 극한 개념을 깊이 있게 묻는 문항입니다. (가) 조건에서 lim [g(x) / (x(x-2))] 값이 존재한다는 것을 보고 g(0)=0, g(2)=0 이라는 사실을 바로 이끌어내야 합니다. 여기서 흔히 하는 실수는 t의 위치를 고려하지 않고 f(0)=0, f(2)=0 이라고 단정하는 것입니다. t값의 범위에 따라 g(0)은 f(0)일 수도, -f(0)일 수도 있으므로, t<0, 0≤t<2, t≥2 세 가지 케이스로 나누어 f(x)의 인수를 추론하는 것이 이 문제의 핵심 전략입니다.
  
• 22번 — 지수함수와 로그함수의 그래프 해석 문제로, 역함수 관계와 대칭성을 활용하는 능력을 측정합니다. y=log₁₆(8x+2)와 y=4ˣ⁻¹-1/2가 직접적인 역함수 관계가 아니기 때문에 학생들이 당황하기 쉽습니다. 하지만 두 함수를 밑이 4인 형태로 변형하면 평행이동 및 대칭이동 관계에 있음을 파악할 수 있고, 이것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다. 점 A를 y=x에 대칭시킨 점 A'(b,a)가 직선 OB 위에 있다는 조건(원점, B, A'가 한 직선 위에 있음)과 선분 AB의 중점 좌표 조건을 연립하여 a, b에 대한 관계식을 세우는 것이 풀이의 핵심 경로입니다.
  
• 기하 29번 — 포물선과 타원의 정의를 복합적으로 적용하는 문항입니다. 출제 의도는 하나의 그림 안에서 두 가지 이차곡선의 정의를 모두 발견하고, 이를 연계하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 포물선의 정의(AF=AH)는 쉽게 찾아내지만, 세 점 F, A, H를 지나는 타원을 상상하고 점 A가 그 타원 위의 점이라는 사실(AF+AB = 장축의 길이)을 연결 짓지 못하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 삼각형 AHB의 둘레 길이 조건과 넓이 조건을 각각 포물선과 타원의 정의를 이용해 p에 대한 식으로 표현하고, 이를 연립하여 미지수를 구하는 것입니다.
  
• 기하 30번 — 벡터의 내적을 기하학적으로 해석하는 능력을 묻는 문제입니다. 주어진 벡터 식을 보고 성분으로 접근하려는 순간, 이 문제는 미궁에 빠지게 됩니다. 출제 의도는 원의 중심을 이용한 벡터 분해(PA+PB = 2PM)와 지름에 대한 원주각의 성질(PA·PB = 0)을 활용하여 복잡한 식을 간단히 만들 수 있는지를 확인하는 것입니다. |PB|=14라는 구체적인 길이 값이 주어진 것은, 최종적으로 정리된 식에서 벡터 내적을 '크기 × 크기 × cosθ'로 계산할 때 사용하라는 강력한 힌트입니다. 식을 최대한 간단히 정리한 후, 각 벡터의 기하학적 위치 관계를 추론하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  
• 미적분 29번 — 등차수열과 등비수열이라는 서로 다른 두 수열의 항을 연결하고, 무한급수까지 계산해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡하게 얽힌 조건들을 체계적으로 정리하여 미지수(첫째항, 공차, 공비 등)를 구하고, 이를 무한급수 계산에 적용하는 능력입니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 bk+i = 1/ai - 1 이라는 조건을 보고 등비수열의 항 3개를 이용해 등비중항을 떠올리지만, 계산이 복잡해져 포기하는 경우입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 등차수열의 첫째항과 공차를 모두 d라고 둔 뒤, 등비수열의 공비를 r이라 하고, 주어진 조건으로부터 d와 r에 대한 연립방정식을 세워 푸는 정공법에 있습니다. 무한급수 조건은 d의 부호를 결정하는 데 사용됩니다.
  
• 미적분 30번 — 증가하는 연속함수 f(x)의 역함수 f⁻¹(x)에 대한 정보를 조각조각 주고, 이를 바탕으로 원래 함수 f(x)와 직선의 교점 개수 함수 g(m)의 불연속성을 분석하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (가), (나) 조건으로 주어진 f⁻¹(x)의 그래프를 정확하게 그린 후, y=x 대칭을 통해 f(x)의 그래프 개형을 추론하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 g(m)이 불연속이 되는 지점을 찾는 것인데, 이는 직선 y=m(x-1)이 f(x)의 그래프에 '접할 때' 또는 '특이점을 지날 때' 발생합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 f(x)의 그래프에서 x=1 근방의 미분계수(좌/우)와 변곡접선 등을 파악하여, 기울기 m의 변화에 따른 교점 개수의 변화를 시각적으로 추적하는 것입니다.
  
• 확률과 통계 29번 — 이항분포의 정규분포 근사를 이용하는 통계적 추정 문제입니다. 이 문제의 핵심은 1회 시행 시 '기록한 수가 3인 사건'의 확률 p를 정확하게 구하는 것입니다. 주사위 눈이 a 이하일 때와 a보다 클 때로 나누어, 각각의 경우에 동전 던지기에서 3이 나올 확률을 계산하고 더해야 합니다. E(X)=4800이라는 정보를 이용해 먼저 미지수 a의 값을 확정한 후, X가 이항분포 B(19200, p)를 따르고 시행 횟수가 충분히 크므로 정규분포로 근사하여 표준화하는 것이 정석적인 풀이 순서입니다. 계산 과정에서 분산(npq)을 정확히 구하는 것이 중요합니다.
  
• 확률과 통계 30번 — 조건을 만족하는 경우의 수를 구하는 중복조합 응용 문제입니다. (가) 조건에 따라 공이 1개 든 주머니가 4개인 경우와 6개인 경우로 나누는 것이 첫 번째 단계입니다. 가장 까다로운 부분은 (나) 조건, 즉 '공이 2개 든 주머니와 이웃한 주머니는 비어있다'는 해석입니다. 이는 '0-2-0' 형태의 블록을 만들어 배열하는 아이디어로 접근해야 합니다. 예를 들어 1개짜리 4개, 2개짜리 2개인 경우, 주머니 구성은 (2,2,1,1,1,1,0,0,0,0)이 되는데, 이를 '020' 블록 2개와 '1' 4개, 남은 '0' 1개를 배열하는 문제로 치환하면 훨씬 수월하게 해결할 수 있습니다.