2023학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2023학년도 수능 수학은 22번 문항이 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 단순히 공식을 적용하는 것을 넘어, 평균값 정리의 의미를 함수 f(x)의 개형 추론에 연결해야 하는 깊이 있는 문항이었죠. 전반적으로 익숙한 개념을 새로운 조건과 엮어내어 문제 해결 능력을 평가하려는 의도가 뚜렷했고, 특히 15번 수열 추론 문제처럼 역으로 과정을 밟아나가야 하는 문항에서 시간 관리가 관건이었습니다. 이는 과거 평가원 기출에서 강조하던 '조건 해석 능력'을 더욱 정교하게 다듬어 출제한 경향으로, 기출 문제의 답만 외우는 공부가 아닌, 문제의 조건 하나하나가 그래프의 개형과 함수의 성질에 어떤 영향을 미치는지 깊이 있게 파고드는 학습이 왜 중요한지 다시 한번 보여준 시험입니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문항은 우극한으로 정의된 함수 g(x)와 그 평행이동의 곱으로 만들어진 새로운 함수 h(x)의 연속성을 묻고 있습니다. 많은 학생들이 g(x)가 불연속이 되는 지점인 x=-1, 1에서 h(x)의 연속성을 따져야 한다는 점은 인지하지만, h(x)의 함수값을 정의하는 두 개의 극한(t→0+, t→2+)을 정확히 g(x)의 우극한으로 해석하지 못해 계산 과정에서 혼란을 겪는 경우가 많습니다. 문제 해결의 실마리는 h(x)를 'g(x의 우극한) × g(x+2의 우극한)'으로 명확히 인식하고, g(x)의 불연속점(x=-1, 1)에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 조사하여 '불연속 × 0 = 연속'이라는 핵심 원리를 적용하는 것입니다.
  

• 15번

  — 모든 항이 자연수라는 조건 하에 점화식을 역으로 추적하여 a₁의 최댓값과 최솟값을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 a₇=40에서 출발하여 a₆, a₅, ... 순서로 거슬러 올라가면서 가능한 모든 경우의 수를 체계적으로 탐색할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 aₙ₊₁이 3의 배수인 경우와 아닌 경우로 나뉘는 분기점에서, 모든 가능성을 트리 구조로 그려보지 않고 일부 경로를 누락하는 것입니다. 이 문제를 풀기 위한 결정적 힌트는 aₙ₊₂와 aₙ₊₁의 관계식에서 aₙ을 유도하는 두 가지 식을 먼저 정리하고, a₇부터 시작해 각 항이 자연수라는 조건을 만족하는지 꼼꼼히 검토하며 모든 가능한 a₁의 값을 빠짐없이 찾아내는 것입니다.
  

• 21번

  — 지수함수와 절댓값 로그함수의 그래프를 그려, 상수함수 y=t와의 교점의 개수 g(t)의 최댓값이 4가 되도록 하는 자연수 n을 찾는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 두 그래프의 위치 관계를 정확히 파악하는 능력입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 |log₂(x+4)-n| 그래프의 개형, 특히 x절편과 점근선, 그리고 꺾이는 지점의 y좌표를 정확히 파악하지 못하고 대략적으로 그려서 판단하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 g(t)의 최댓값이 4라는 것은, y=t 직선이 두 함수의 그래프와 총 4개의 점에서 만나는 구간이 존재해야 한다는 의미임을 파악하는 것입니다. 이를 위해 x<0 부분의 지수함수 그래프와 x≥0 부분의 절댓값 로그함수 그래프가 어떻게 배치되어야 하는지, 특히 지수함수의 점근선(y=n)과 로그함수가 꺾이는 지점의 y좌표(n)의 관계를 분석하는 것이 결정적 실마리가 됩니다.
  

• 22번

  — 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 연속함수 g(x)에 대한 복합적인 추론 문제입니다. (가) 조건식을 보고 f'(g(x)) = (f(x)-f(1))/(x-1) 형태로 변형하여 '평균값 정리'를 떠올리는 것이 이 문제 해결의 전부라 할 수 있습니다. 많은 학생들이 이 식의 의미를 해석하지 못해 시작부터 어려움을 겪거나, g(x)의 최솟값 5/2라는 조건을 어떻게 활용해야 할지 막막해합니다. (가) 조건은 x와 1 사이의 어떤 값 c에 대해 f'(c)가 존재함을 의미하며, g(x)가 바로 그 c의 역할을 할 수 있음을 암시합니다. g(x)가 연속이고 최솟값을 갖는다는 사실을 이용해 f'(x)의 그래프 개형(이차함수)을 추론하고, 대칭축과 최솟값 정보를 통해 f'(x)의 식을 구체화하는 것이 이 킬러 문항을 풀어내는 열쇠입니다.
  

• 기하 29번

  — 평면벡터 문제로, 주어진 조건들을 어떻게 기하학적이 아닌 '좌표'나 '성분'으로 변환하느냐가 관건입니다. 사다리꼴이라는 도형 정보를 바탕으로 B를 원점(0,0)으로, 직선 BC를 x축으로 설정하는 것이 가장 효율적인 풀이의 시작입니다. (가) 조건 AC = 2(AD + BP)는 점 P의 위치를 특정하는 결정적인 식이며, 이를 성분으로 표현하면 P의 좌표를 매개변수 없이 깔끔하게 구할 수 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (나) 조건 AC · PQ = 6의 처리인데, P의 좌표를 구했다면 Q의 좌표를 (x,y)로 두고 내적을 계산하여 x,y의 관계식을 얻어낼 수 있습니다. 이 관계식은 Q가 어떤 직선 위를 움직이는지를 알려주는 힌트가 됩니다.
  

• 기하 30번

  — 공간도형과 구, 그리고 정사영이 결합된 최고난도 문항입니다. 정사면체를 좌표 공간에 올리는 것이 문제 해결의 첫걸음인데, 밑면 BCD의 무게중심을 원점으로 두면 계산이 편리해집니다. 구 S의 중심과 반지름을 정확히 파악한 후, 구와 모서리 AB, AC, AD의 교점 P, Q, R의 좌표를 구하는 과정이 첫 번째 고비입니다. 그 다음, 삼각형 PQR의 넓이를 구하고, 점 P에서 구 S에 접하는 평면 α의 법선벡터를 찾아야 합니다. 접평면의 법선벡터는 구의 중심에서 접점 P를 향하는 벡터(SP)와 평행하다는 사실이 결정적 힌트입니다. 마지막으로 삼각형 PQR을 포함하는 평면의 법선벡터와 평면 α의 법선벡터의 내적을 이용하여 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 구하면 정사영의 넓이를 계산할 수 있습니다.
  

• 미적분 28번

  — 반원을 배경으로 여러 점과 각을 정의하고, 두 도형의 넓이 f(θ), g(θ)를 θ에 대한 식으로 표현하여 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 복잡하게 얽힌 도형의 모든 길이와 각을 오직 θ 하나로 표현하는 능력입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 g(θ)인 사각형 CQRS의 넓이를 직접 구하려다 계산의 늪에 빠지는 것입니다. 이 사각형은 삼각형 ACQ에서 삼각형 ASR의 넓이를 빼는 방식으로 접근하는 것이 훨씬 효율적입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 원주각의 성질, 사인법칙 등을 적극적으로 활용하여 점 P, Q, R, S의 위치 관계를 θ로 나타내고, 최종적으로 극한 계산 시 sinθ ≈ θ, 1-cosθ ≈ θ²/2 와 같은 근사식을 정확하게 사용하는 것입니다.
  

• 미적분 29번

  — 지수함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대한 정적분 값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 역함수를 직접 구하지 않고, 부분적분법과 치환적분, 그리고 역함수의 정적분이 갖는 기하학적 의미를 종합적으로 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 f(x)의 식을 구한 뒤 g(x)를 어떻게든 표현하려다 시간을 낭비하는 함정에 빠집니다. ∫g(x)dx를 계산하는 결정적 실마리는 x=f(y)로 치환하는 것입니다. 이 치환을 통해 ∫g(x)dx = ∫y*f'(y)dy 형태로 변환할 수 있으며, 여기에 부분적분법을 적용하면 문제를 해결할 수 있습니다. (가), (나) 조건은 f(x)의 미정계수 a, b, c를 결정하는 데 사용됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 삼차함수 f(x)와 지수-삼각함수 g(x)의 합성함수 h(x)=g(f(x))의 극값과 방정식의 실근 개수에 대한 정보를 주고 f(x)를 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 합성함수의 극값이 발생하는 지점은 속함수 f(x)가 극값을 갖거나, 겉함수 g(x)가 극값을 갖게 하는 지점이라는 사실을 이용하는 것입니다. 즉, h'(x) = g'(f(x))f'(x) = 0 의 근을 분석해야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (나) 조건의 '실근 7개'를 어떻게 f(x)의 그래프 개형과 연결 지을지입니다. 결정적 힌트는 h(x)=1 이라는 방정식이 g(f(x))=1, 즉 sin(πf(x))=1 이 되는 f(x)의 값을 찾는 문제로 귀결된다는 점입니다. 삼차함수 f(x)의 그래프와 y=k (k는 정수+1/2) 직선들의 교점 개수가 총 7개가 되도록 f(x)의 극대, 극소 값을 설정하는 것이 문제 해결의 관건입니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 주사위를 3번 던지는 시행 후, 특정 규칙에 따라 카드 숫자의 합이 짝수가 되는 사건을 전제로, 주사위 눈이 특정하게 나왔을 확률을 묻는 조건부확률 문제입니다. 이 문제의 함정은 '모든 수의 합이 짝수'가 되는 경우를 직접 계산하려다 복잡한 케이스 분류에 빠지는 것입니다. 홀수가 몇 번 뒤집히는지에 따라 최종 합의 홀짝성이 결정되는데, 이를 추적하기가 까다롭습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 조건부확률의 분모가 되는 '합이 짝수인 사건'을 구할 때, (홀수 카드가 뒤집히는 횟수)가 짝수 번(0번 또는 2번)이어야 한다는 점을 이용하는 것입니다. 이를 바탕으로 분모의 확률을 계산하고, 분자는 '합이 짝수이면서 1의 눈이 한 번만 나오는 경우'를 동일한 논리로 계산하여 조건부확률 공식에 대입하면 됩니다.
  

• 확률과 통계 30번

  — 여러 조건을 만족시키는 함수의 개수를 세는 고난도 문제입니다. (가)의 증가 조건, (나)의 대소 관계 조건, (다)의 특정 함숫값 관계식을 모두 고려해야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 이 세 가지 조건을 어떻게 유기적으로 연결하여 체계적으로 경우의 수를 셀 것인가입니다. 섣불리 f(1)부터 정하려고 하면 뒤따르는 조건 때문에 계산이 매우 복잡해집니다. 이 문제의 핵심 돌파구는 가장 구체적인 정보를 담고 있는 (다) 조건, 즉 f(6) = f(5) + 6을 기준으로 삼는 것입니다. (나) 조건에 의해 f(5)는 5 이하의 값을 가져야 하므로, f(5)가 1, 2, 3, 4, 5일 때로 케이스를 나누는 것이 가장 현명한 전략입니다. 각 케이스별로 x≤5일 때와 x≥6일 때의 함수 f의 개수를 중복조합을 이용하여 각각 구한 뒤, 곱의 법칙과 합의 법칙을 적용하면 정답에 도달할 수 있습니다.