수학ETF	2025년_고3_11월	기출문제
	23~30
	기하

두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(4,`1)], [eqn: {vec{b}} =(-1,`-1)]에 대하여 [eqn: vec{a} + vec{b}]의 모든 성분의 합은?

③

[eqn: vec{a} = (4, 1)], [eqn: vec{b} = (-1, -1)]이므로

[eqn: vec{a} + vec{b} = (4, 1) + (-1, -1) = (3, 0)]

따라서 [eqn: vec{a} + vec{b}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 3 + 0 = 3]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]의 초점과 준선 사이의 거리는?

①

포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]는 포물선 [eqn: y^{2} = 12x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.

포물선 [eqn: y^{2} = 12x]의 초점의 좌표는 [eqn: (3, 0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x = -3]이다.

따라서 포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]의 초점의 좌표는 [eqn: (5, 0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x = -1]이다.

초점과 준선 사이의 거리는 [eqn: 5 - (-1) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

좌표공간의 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,`- {3} over {2} ,`-2 RIGHT )]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmA]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는?

⑤

점 [eqn: rmA left ( 3, - {3} over {2}, -2 right )]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: x]좌표의 부호가 반대이므로 [eqn: rmB left ( -3, - {3} over {2}, -2 right )]

점 [eqn: rmA left ( 3, - {3} over {2}, -2 right )]를 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmC]의 좌표는 각 좌표의 부호가 모두 반대이므로 [eqn: rmC left ( -3, {3} over {2}, 2 right )]

두 점 사이의 거리 공식에서 선분 [eqn: rmBC]의 길이는

[eqn: rm {bar{BC}} `= sqrt {LEFT ( -3-(-3) RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} - LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2-(-2) RIGHT ) ^{2}} =5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: sqrt{21}]	② [eqn: sqrt{22}]	③ [eqn: sqrt{23}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 5]

양수 [eqn: a]에 대하여 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}} = -1] 위의 점 [eqn: (a, sqrt{2}a)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: rmoverline{PF} times overline{PF'} = 8]일 때, [eqn: a]의 값은?

②

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}} = -1]에서 [eqn: c^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}]이므로 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']의 좌표는 [eqn: rm F(0, sqrt {2} ita)], [eqn: rm F prime (0,- sqrt {2} ita)]

쌍곡선 위의 점 [eqn: (a, sqrt{2}a)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {a x} over {a^{2}} - {sqrt{2}a y} over {a^{2}} = -1]에서 [eqn: {x} over {a} - {sqrt{2}y} over {a} = -1]

이 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: x=0]을 대입하여 구하면 [eqn: rm P LEFT ( 0, {sqrt {2}} over {2} ita RIGHT )]

점 [eqn: rmP], [eqn: rmF], [eqn: rmF']가 모두 [eqn: y]축 위의 점이므로

[eqn: {bar{rmPF}} =it LEFT | sqrt {2} a- {sqrt {2}} over {2} a RIGHT | = {sqrt {2}} over {2} a]

[eqn: {bar{rmPF prime }} =it LEFT | - sqrt {2} a- {sqrt {2}} over {2} a RIGHT | = {3 sqrt {2}} over {2} a]

[eqn: rmoverline{PF} times overline{PF'} = 8]에서 [eqn: {sqrt{2}} over {2} a times {3 sqrt{2}} over {2} a = 8], [eqn: {3} over {2} a^{2} = 8]

∴ [eqn: a^{2} = {16} over {3}]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = {4 sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: sqrt{3}]	② [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: {5 sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: 2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: {7 sqrt{3}} over {3}]

그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 5]인 두 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 [eqn: C_{1}] 위의 [eqn: rmoverline{AB} = 5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 원 [eqn: C_{2}] 위의 [eqn: rmoverline{CD} = 3]인 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: rmoverline{AD} = overline{BC}]이다. 점 [eqn: rmD]에서 원 [eqn: C_{1}]을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이의 [eqn: 4]배일 때, 이 원기둥의 높이는?

④

점 [eqn: rmC]에서 원 [eqn: C_{1}]을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC']이라 하면, 선분 [eqn: rmC'H]는 선분 [eqn: rmCD]의 정사영이므로

[eqn: rmoverline{C'H} = overline{CD} = 3]

원기둥의 높이를 [eqn: h]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmADH]와 [eqn: rmBC'C]에서

[eqn: rm {bar{AD ^{2}}} = {bar{AH ^{2}}} +ith ^{2}], [eqn: rm {bar{BC ^{2}}} = {bar{BC prime ^{2}}} +ith ^{2}]

[eqn: rmoverline{AD} = overline{BC}]이므로 [eqn: rmoverline{AH} = overline{BC'}]

원 [eqn: C_{1}]에서 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 지름의 길이인 [eqn: 5]와 같으므로 선분 [eqn: rmAB]는 원 [eqn: C_{1}]의 지름이다.

현 [eqn: rmAH]와 현 [eqn: rmBC']의 길이가 같으므로 두 현 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmC'H]는 평행하다.

원 [eqn: C_{1}]의 중심에서 현 [eqn: rmC'H]에 내린 수선의 길이를 [eqn: d]라 하면 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: d = sqrt{ left ( {5} over {2} right )^{2} - left ( {3} over {2} right )^{2}} = 2]

선분 [eqn: rmAB]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: d]인 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 5 times 2 = 5]

조건에서 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이의 [eqn: 4]배이므로 [eqn: rm4 times 5 = 20]

[eqn: rmoverline{AB} // overline{C'H}]이고 [eqn: rmoverline{C'H} // overline{CD}]이므로 사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다.

사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 높이를 [eqn: h']이라 하면

[eqn: {1} over {2} times (5 + 3) times h' = 20]에서 [eqn: h' = 5]

점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmrmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하면 삼수선의 정리에 의해 점 [eqn: rmH]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선도 점 [eqn: rmP]를 지난다.

이때 [eqn: {bar{rmHP}} =itd=2]이고 [eqn: {bar{rmDP}} =ith prime =5]이다.

직각삼각형 [eqn: rmDHP]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: h= sqrt {{bar{rmDP ^{2}}} - {bar{rmHP ^{2}}}} = sqrt {5 ^{2} -2 ^{2}} = sqrt {21}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3 sqrt{2}]	② [eqn: sqrt{19}]	③ [eqn: 2 sqrt{5}]

④ [eqn: sqrt{21}]	⑤ [eqn: sqrt{22}]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB} = overline{CD} = 4], [eqn: rmoverline{BC} = overline{BD} = 2 sqrt{5}] 인 사면체 [eqn: rmABCD]가 있고, 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rmCD]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]에 대하여 두 평면 [eqn: rmABH]와 [eqn: rmBCD]는 서로 수직이고 [eqn: rmoverline{AH} = 4]이다. 삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하고, 점 [eqn: rmG]를 중심으로 하고 평면 [eqn: rmACD]에 접하는 구를 [eqn: S]라 하자. [eqn: rmangle APG = {pi} over {2}] 인 구 [eqn: S] 위의 모든 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형을 [eqn: T] 라 할 때, 도형 [eqn: T]의 평면 [eqn: rmABC] 위로의 정사영의 넓이는?

④

점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA']이라 하면

평면 [eqn: rmABH]와 평면 [eqn: rmBCD]가 서로 수직이므로 점 [eqn: rmA']은 교선 [eqn: rmBH] 위에 있다.

직선 [eqn: rmAA']은 평면 [eqn: rmBCD]와 수직이고 [eqn: rmbarAH`BOT`rmbarCD]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rmbarA'H`BOT`rmbarCD]이다.

점 [eqn: rmA']과 [eqn: rmH]는 모두 직선 [eqn: rmBH] 위의 점이므로 [eqn: rmbarBH`BOT`rmbarCD]이고, 직선 [eqn: rmCD]는 평면 [eqn: rmABH]와 수직이다.

이등변삼각형 [eqn: rmBCD]에서 [eqn: rmbarBH`BOT`rmbarCD]이므로 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmCD]의 중점이다.

[eqn: rmbarCD`=4]에서 [eqn: rmbarCH`=2]이고, 직각삼각형 [eqn: rmBHC]에서 [eqn: rmbarBH`= sqrt {(2 sqrt {5} ) ^{2} -2 ^{2}} =4]이다.

[eqn: rmbarAB`=4], [eqn: rmbarAH`=4], [eqn: rmbarBH`=4]이므로 삼각형 [eqn: rmABH]는 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이다.

직선 [eqn: rmCD]가 평면 [eqn: rmABH]와 수직이므로 평면 [eqn: rmACD]와 평면 [eqn: rmABH]는 서로 수직이다.

점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmACD]에 내린 수선의 발은 두 평면의 교선인 [eqn: rmAH] 위에 있으므로 점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmACD]까지의 거리는 점 [eqn: rmG]에서 선분 [eqn: rmAH]까지의 거리와 같다.

삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심 [eqn: rmG]에서 선분 [eqn: rmAH]까지의 거리는 정삼각형의 내접원의 반지름의 길이와 같으므로 구 [eqn: S]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: r = {1} over {3} times {sqrt{3}} over {2} times 4 = {2 sqrt{3}} over {3}]이다.

선분 [eqn: rmAG]의 길이는 정삼각형 [eqn: rmABH]의 외접원의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: rmbarAG`= {4 sqrt {3}} over {3}]이다.

[eqn: rmangle APG = {pi} over {2}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmAPG]에서 [eqn: rmbarAP`= sqrt {rmbarAG` ^{2} -rmbarPG` ^{2}} = sqrt {{48} over {9} - {12} over {9}} =2]이다.

도형 [eqn: T]는 선분 [eqn: rmAG]에 수직인 평면 위에 있고, 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하면 선분 [eqn: rmPQ]가 도형 [eqn: T]인 원의 반지름의 길이이다.

[eqn: rmbarAP` TIMES rmbarPG`=rmbarAG` TIMES rmbarPQ]에서 [eqn: 2 TIMES {2 sqrt {3}} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3} TIMES rmbarPQ] ∴ [eqn: rmbarPQ`=1]

따라서 도형 [eqn: T]의 넓이는 [eqn: S = pi times 1^{2} = pi]이다.

사면체 [eqn: rmHABC]의 밑면을 삼각형 [eqn: rmBHC]라 하면 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times 2 = 4]이고, 높이는 정삼각형 [eqn: rmABH]의 높이인 [eqn: 2 sqrt{3}]이므로 부피는 [eqn: V_{HABC} = {1} over {3} times 4 times 2 sqrt{3} = {8 sqrt{3}} over {3}]이다.

점 [eqn: rmG]가 삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심이므로 사면체 [eqn: rmGABC]의 부피는 [eqn: V_{GABC} = {1} over {3} V_{HABC} = {8 sqrt{3}} over {9}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAHC]에서 [eqn: rmbarAC`= sqrt {4 ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {5}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmbarAC`=rmbarBC`=2 sqrt {5}]인 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmbarAM`=2]이므로 [eqn: rmbarCM`= sqrt {(2 sqrt {5} ) ^{2} -2 ^{2}} =4]이고, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times 4 = 8]이다.

점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmABC]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면 [eqn: V_{GABC} = {1} over {3} times 8 times d = {8 sqrt{3}} over {9}]에서 [eqn: d = {sqrt{3}} over {3}]이다.

도형 [eqn: T]를 포함하는 평면과 평면 [eqn: rmABC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면, 직선 [eqn: rmAG]와 평면 [eqn: rmABC]가 이루는 각의 크기 [eqn: phi]에 대하여 [eqn: cos theta = sin phi]이다.

[eqn: sin phi = {d} over {rmbarAG} = {{sqrt {3}} over {3}} over {{4 sqrt {3}} over {3}} = {1} over {4}]이므로 [eqn: cos theta = {1} over {4}]이다.

따라서 도형 [eqn: T]의 평면 [eqn: rmABC] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: pi times {1} over {4} = {pi} over {4}]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {pi} over {7}]	② [eqn: {pi} over {6}]	③ [eqn: {pi} over {5}]

④ [eqn: {pi} over {4}]	⑤ [eqn: {pi} over {3}]

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF(itp,`0)(p>0)]이고 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 두 초점이 [eqn: x]축 위에 있고 세 점 [eqn: rmF], [eqn: rmA], [eqn: rmH]를 지나는 타원의 [eqn: x]좌표가 양수인 초점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이가 [eqn: p+27], 넓이가 [eqn: 2p+12]일 때, 선분 [eqn: rmHF]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 360]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})] ([eqn: x_{1} > 0], [eqn: y_{1} > 0])이라 하면 점 [eqn: rmH]는 준선 [eqn: x = -p]에 내린 수선의 발이므로 [eqn: rm H(it-p,y _{1} )]이다.

타원은 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmH]를 지나고 두 점의 [eqn: y]좌표가 같으므로 타원의 중심의 [eqn: x]좌표는 선분 [eqn: rmAH]의 중점의 [eqn: x]좌표와 같다.

타원의 중심의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{c}]라 하면 [eqn: x_{c} = {x_{1} - p} over {2}]이다.

타원이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm F(itp,0)]를 지나고 타원의 중심이 [eqn: x]축 위에 있으므로 점 [eqn: rmF]는 타원의 꼭짓점이다.

타원의 장축의 길이를 [eqn: 2a]라 하면 타원의 중심에서 꼭짓점 [eqn: rmF]까지의 거리가 [eqn: a]이므로

[eqn: a = p - x_{c} = p - {x_{1} - p} over {2} = {3p - x_{1}} over {2}]

즉, [eqn: 2a = 3p - x_{1}]이다.

타원의 다른 초점을 [eqn: rmB']라 하면 타원의 대칭성에 의해 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmH], 초점 [eqn: rmB]와 [eqn: rmB']는 각각 타원의 중심 [eqn: x = x_{c}]에 대하여 대칭이므로 선분 [eqn: rmHB]의 길이는 선분 [eqn: rmAB']의 길이와 같다.

삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이는 [eqn: rmbarAH`+rmbarHB`+rmbarAB]이고, [eqn: rmbarHB`=rmbarAB prime]이므로

[eqn: rmbarAH`+rmbarHB`+rmbarAB`=rmbarAH`+rmbarAB prime `+rmbarAB]

타원의 정의에 의해 [eqn: rmbarAB prime `+rmbarAB`=it2a=3p-x _{1}]이고, 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmbarAH`=itx _{1} -(-p)=x _{1} +p]이므로

[eqn: rmbarAH`+rmbarAB prime `+rmbarAB`=it(x _{1} +p)+(3p-x _{1} )=4p]

조건에서 삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이가 [eqn: p + 27]이므로

[eqn: 4p = p + 27] ∴ [eqn: p = 9]

[eqn: p = 9]를 삼각형 [eqn: rmAHB]의 넓이 조건에 대입하면 넓이는 [eqn: 2(9) + 12 = 30]이다.

삼각형 [eqn: rmAHB]의 밑변을 [eqn: rmbarAH], 높이를 [eqn: y_{1}]이라 하면 [eqn: rm {bar{AH}} `=itx _{1} +9]이므로 [eqn: {1} over {2} (x_{1} + 9) y_{1} = 30] ……①

점 [eqn: rmA]는 포물선 [eqn: y^{2} = 36x] 위의 점이므로 [eqn: x_{1} = {y_{1}^{2}} over {36}]이다.

이를 ①에 대입하면

[eqn: {1} over {2} left ( {y_{1}^{2}} over {36} + 9 right ) y_{1} = 30]에서 [eqn: y_{1}^{3} + 324y_{1} - 2160 = 0]

인수분해하면 [eqn: (y_{1} - 6)(y_{1}^{2} + 6y_{1} + 360) = 0]이고 [eqn: y_{1} > 0]이므로 [eqn: y_{1} = 6]

[eqn: y_{1} = 6]을 [eqn: x_{1} = {y_{1}^{2}} over {36}]에 대입하면 [eqn: x_{1} = 1]

따라서 [eqn: rmH(-9, 6)], [eqn: rmF(9, 0)]이므로

[eqn: k ^{2} =rmbarHF` ^{2} =(9-(-9)) ^{2} +(0-6) ^{2} =324+36=360]

따라서 정답은 [eqn: 360]이다.

좌표평면에서 길이가 [eqn: 10 sqrt{2}] 인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가
[eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot ( vec{PQ} + vec{PB} ) = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]
을 만족시킨다. [eqn: rmleft | vec{PB} right | = 14]일 때, [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} CDOT {vec{QB}} RIGHT | =it {q} over {p}] 이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmleft | vec{QB} right | > 0]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 221]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 선분 [eqn: rmAB]가 원의 지름이므로 [eqn: rmleft | vec{OA} right | = left | vec{OB} right | = left | vec{OP} right | = left | vec{OQ} right | = 5 sqrt{2}]이고 [eqn: rmvec{PA} cdot vec{PB} = 0]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} + left | vec{PB} right |^{2} = left | vec{AB} right |^{2}]이므로

[eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} + 196 = 200] ∴ [eqn: rmleft | vec{PA} right | = 2]

주어진 조건의 식 [eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot ( vec{PQ} + vec{PB} ) = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]을 전개하면

[eqn: rmvec{PA} cdot vec{PQ} + vec{PA} cdot vec{PB} + vec{PB} cdot vec{PQ} + left | vec{PB} right |^{2} = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]

[eqn: rmvec{PA} cdot vec{PB} = 0], [eqn: rmleft | vec{PB} right |^{2} = 196]을 대입하면

[eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot vec{PQ} + 196 = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]

[eqn: rmO]가 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로 [eqn: rmvec{PA} + vec{PB} = -2 vec{OP}]이고 [eqn: rmvec{PQ} = vec{OQ} - vec{OP}]이므로

[eqn: rm-2 vec{OP} cdot ( vec{OQ} - vec{OP} ) + 196 = 2 left | vec{OQ} - vec{OP} right |^{2}]

[eqn: rm-2 vec{OP} cdot vec{OQ} + 2 left | vec{OP} right |^{2} + 196 = 2 left | vec{OQ} right |^{2} - 4 vec{OP} cdot vec{OQ} + 2 left | vec{OP} right |^{2}]

[eqn: rm2 vec{OP} cdot vec{OQ} + 196 = 2 left | vec{OQ} right |^{2}]

[eqn: rmleft | vec{OQ} right |^{2} = 50]이므로 [eqn: rm2 vec{OP} cdot vec{OQ} = -96] ∴ [eqn: rmvec{OP} cdot vec{OQ} = -48]

한편 [eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} = left | vec{OA} - vec{OP} right |^{2} = left | vec{OA} right |^{2} - 2 vec{OA} cdot vec{OP} + left | vec{OP} right |^{2}]에서

[eqn: rm4 = 50 - 2 vec{OA} cdot vec{OP} + 50] ∴ [eqn: rmvec{OA} cdot vec{OP} = 48]

[eqn: rm {vec{OQ}} =itm {vec{rmOA}} +itn {vec{rmOP}}] ([eqn: m], [eqn: n]은 실수)라 하면

[eqn: rm {vec{OP}} CDOT {vec{OQ}} =itm( {vec{rmOA}} CDOT {vec{rmOP}} )+itn LEFT | rm {vec{OP}} RIGHT | ^{2}]에서 [eqn: 48m + 50n = -48]

즉, [eqn: 24m + 25n = -24] ……①

[eqn: LEFT | {vec{rmOQ}} RIGHT | ^{2} =itm ^{2} LEFT | {vec{rmOA}} RIGHT | ^{2} +it2mn( {vec{rmOA}} CDOT {vec{rmOP}} )+itn ^{2} LEFT | {vec{rmOP}} RIGHT | ^{2}]에서 [eqn: 50m^{2} + 96mn + 50n^{2} = 50]

즉, [eqn: 25m^{2} + 48mn + 25n^{2} = 25] ……②

①에서 [eqn: 25n = -24(m+1)]을 ②에 대입하여 정리하면

[eqn: 25m^{2} + 48m left { - {24} over {25} (m+1) right } + 25 left { - {24} over {25} (m+1) right }^{2} = 25]

[eqn: 625m^{2} - 1152m(m+1) + 576(m+1)^{2} = 625]

[eqn: 49m^{2} - 49 = 0] ∴ [eqn: m = 1] 또는 [eqn: m = -1]

[eqn: m = -1]일 때 [eqn: n = 0]이므로 [eqn: rmvec{OQ} = - vec{OA} = vec{OB}]가 되어 [eqn: rmQ]와 [eqn: rmB]가 일치하므로 [eqn: rmleft | vec{QB} right | > 0]에 모순이다.

따라서 [eqn: m = 1], [eqn: n = - {48} over {25}]이므로 [eqn: rmvec{OQ} = vec{OA} - {48} over {25} vec{OP}]

[eqn: rm {vec{OA}} CDOT {vec{OQ}} = {vec{OA}} CDOT LEFT ( {vec{OA}} - {48} over {25} {vec{OP}} RIGHT )][eqn: rm= LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} - {48} over {25} ( {vec{OA}} CDOT {vec{OP}} )=50- {48} over {25} TIMES 48=- {1054} over {25}]

[eqn: rm {vec{PA}} CDOT {vec{QB}} =( {vec{OA}} - {vec{OP}} ) CDOT (- {vec{OA}} - {vec{OQ}} )][eqn: rm=- LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} - {vec{OA}} CDOT {vec{OQ}} + {vec{OA}} CDOT {vec{OP}} + {vec{OP}} CDOT {vec{OQ}}]

[eqn: = -50 - left ( - {1054} over {25} right ) + 48 - 48 = - {196} over {25}]

[eqn: rmleft | vec{PA} cdot vec{QB} right | = {196} over {25}]이므로 [eqn: p = 25], [eqn: q = 196]

따라서 정답은 [eqn: 221]이다.