수학ETF	2025년_고3_11월	기출문제
	23~30
	확통

네 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

서로 다른 [eqn: 4]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4^{3} = 64]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: rmP LEFT ( itA RIGHT ) = {2} over {5}], [eqn: rmP LEFT ( itB`|`A RIGHT ) = {1} over {4}], [eqn: rmP LEFT ( itA`cupB RIGHT ) =1]
일 때, [eqn: rmP LEFT ( itB RIGHT )]의 값은?

①

조건부확률의 정의와 확률의 곱셈정리에 의하여

[eqn: rmP(itA SMALLINTER B)=rmP(itA)rmP(itB`|`A)= {2} over {5} TIMES {1} over {4} = {1} over {10}]

확률의 덧셈정리 [eqn: rmP(itA CUP B)=rmP(itA)+rmP(itB)-rmP(itA SMALLINTER B)]에서

[eqn: 1= {2} over {5} +rmP(itB)- {1} over {10}]

∴ [eqn: rmP(itB)=1- {2} over {5} + {1} over {10} = {7} over {10}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {7} over {10}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {17} over {20}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

주머니에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: 5]개와 숫자 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 서로 같은 색이거나 꺼낸 [eqn: 2]개의 공에 적힌 수가 서로 같을 확률은?

②

[eqn: 10]개의 공 중에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{10}} C _{{2}} = 45]

꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 서로 같은 색인 사건을 [eqn: A], 꺼낸 [eqn: 2]개의 공에 적힌 수가 서로 같은 사건을 [eqn: B]라 하자.

사건 [eqn: A]는 흰 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내거나 검은 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우이므로

사건 [eqn: A]가 일어날 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} + {}{}_{{5}} C _{{2}} = 10 + 10 = 20]

∴ [eqn: rmP(itA)= {20} over {45}]

사건 [eqn: B]는 흰 공과 검은 공에 공통으로 적힌 숫자인 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 같은 숫자가 적힌 두 공을 꺼내는 경우이므로 사건 [eqn: B]가 일어날 경우의 수는 [eqn: 4]이다.

∴ [eqn: rmP(itB)= {4} over {45}]

이때 각 색깔의 공에 적힌 숫자는 모두 다르므로, 같은 색이면서 같은 숫자인 두 공을 꺼내는 경우는 존재하지 않는다.

즉, [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로 [eqn: rmP(itA SMALLINTER B)=0]이다.

따라서 확률의 덧셈정리에 의해 구하는 확률은

[eqn: rm P( it A CUP B)= rm P( it A)+ rm P( it B)- rm P( it A SMALLINTER B)][eqn: = {20} over {45} + {4} over {45} -0= {24} over {45} = {8} over {15}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {15}]	② [eqn: {8} over {15}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {15}]

평균이 [eqn: m]이고 표준편차가 [eqn: 5]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 36]인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: 1.2 leq m leq a]이다. [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P LEFT ( | it Z``| RIGHT ) LEQ 2.58=0.99]로 계산한다.)

⑤

표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하면 모표준편차가 [eqn: sigma = 5], 표본의 크기가 [eqn: n = 36]이고, 신뢰도 [eqn: 99%]에 대한 [eqn: z]의 값이 [eqn: 2.58]이므로

오차의 한계는 [eqn: 2.58 times {5} over {sqrt{36}} = 2.15]

모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: 1.2 leq m leq a]이므로

[eqn: bar{X} - 2.15 = 1.2]에서 [eqn: bar{X} = 3.35]

[eqn: a = bar{X} + 2.15]이므로

[eqn: a = 3.35 + 2.15 = 5.5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5.1]	② [eqn: 5.2]	③ [eqn: 5.3]

④ [eqn: 5.4]	⑤ [eqn: 5.5]

이산확률변수 [eqn: X]가 가지는 값이 [eqn: 0]부터 [eqn: 4]까지의 정수이고
[eqn: rmP(itX=x)= LEFT { {matrix{{LEFT | 2x-1 RIGHT |} over {12}&(x=0,1,2,3)#a&(x=4)}} RIGHT .]
일 때, [eqn: rmV LEFT ( it {1} over {a} X RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.)

④

확률질량함수의 성질에 의해 확률의 총합은 [eqn: 1]이므로

[eqn: sum _{x=0} ^{4} rmP(itX=x)=1]에서

[eqn: {1} over {12} + {1} over {12} + {3} over {12} + {5} over {12} + a = 1] ∴ [eqn: a = {1} over {6}]

확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: rmE(itX)]는

[eqn: rmE(itX)=0 TIMES {1} over {12} +1 TIMES {1} over {12} +2 TIMES {3} over {12} +3 TIMES {5} over {12} +4 TIMES {2} over {12} = {30} over {12} = {5} over {2}]

확률변수 [eqn: X^{2}]의 기댓값 [eqn: rmE(itX ^{2} )]은

[eqn: rm E( it X ^{2} )]

[eqn: =0 ^{2} TIMES {1} over {12} +1 ^{2} TIMES {1} over {12} +2 ^{2} TIMES {3} over {12} +3 ^{2} TIMES {5} over {12} +4 ^{2} TIMES {2} over {12} = {90} over {12} = {15} over {2}]

확률변수 [eqn: X]의 분산 [eqn: rmV( it X)]는 [eqn: rmV(itX)=rmE(itX ^{2} )- LEFT { rmE(itX) RIGHT } ^{2} = {15} over {2} - LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} = {5} over {4}]

[eqn: a = {1} over {6}]이므로

[eqn: rmV LEFT ( it {1} over {a} X RIGHT ) =rmV(it6X)=6 ^{2} rmV(itX)=36 TIMES {5} over {4} =45]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: 16]개의 공과 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: k]일 때,

[eqn: k]가 홀수이면
[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]가 적힌 상자에 공을 각각 [eqn: 1]개씩 넣고,

[eqn: k]가 짝수이면
[eqn: k]의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 [eqn: 1]개씩 넣는다.

이 시행을 [eqn: 4]번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, [eqn: 3]이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 2]가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 [eqn: 1]개 더 많을 확률은?

②

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: k]일 때, 추가되는 공의 개수와 그 홀짝성을 분석하면 다음과 같다.

[eqn: k in left { 1, 3, 5 right }]일 때 [eqn: 3]개(홀수), [eqn: k=2]일 때 [eqn: 2]개(짝수), [eqn: k=4]일 때 [eqn: 3]개(홀수), [eqn: k=6]일 때 [eqn: 4]개(짝수)가 추가된다.

[eqn: 1]회 시행 시 추가되는 공이 홀수 개인 사건을 [eqn: O], 짝수 개인 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: rmP(itO)= {4} over {6}], [eqn: rmP(itE)= {2} over {6}]

[eqn: 4]번 시행 후 전체 공의 개수가 홀수일 사건을 [eqn: A]라 하면, [eqn: O]가 [eqn: 1]번, [eqn: E]가 [eqn: 3]번 또는 [eqn: O]가 [eqn: 3]번, [eqn: E]가 [eqn: 1]번 나와야 하므로

[eqn: rmP(itA)= _{4} rmC _{1} LEFT ( {4} over {6} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {6} RIGHT ) ^{3} + _{4} C _{3} LEFT ( {4} over {6} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {6} RIGHT ) ^{1} = {640} over {6 ^{4}}]

주사위 눈 [eqn: k]에 따른 ([eqn: 3]번 상자 공 개수) - ([eqn: 2]번 상자 공 개수)의 변화량을 분석하면

[eqn: k in left { 1, 3, 5 right }]일 때 [eqn: +1], [eqn: k=2]일 때 [eqn: -1], [eqn: k=4]일 때 [eqn: -1], [eqn: k=6]일 때 [eqn: 0]이다.

[eqn: k in left { 1, 3, 5 right }], [eqn: k=2], [eqn: k=4], [eqn: k=6]이 나오는 횟수를 각각 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{4}], [eqn: x_{6}]라 하면 총 [eqn: 4]회 시행이므로 [eqn: x_{1} + x_{2} + x_{4} + x_{6} = 4] ……①

[eqn: 3]번 상자의 공 개수가 [eqn: 2]번 상자의 공 개수보다 [eqn: 1]개 더 많을 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: x_{1} - x_{2} - x_{4} = 1] ……②

사건 [eqn: A]를 만족하려면 홀수 개가 추가되는 횟수인 [eqn: x_{1} + x_{4}]가 홀수이어야 한다.

①, ②에서 [eqn: x_{2} + x_{4} = x_{1} - 1]을 ①에 대입하면 [eqn: 2x_{1} + x_{6} = 5]

[eqn: x_{1}], [eqn: x_{6}]는 [eqn: 0] 이상의 정수이므로 가능한 순서쌍 [eqn: (x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{6})]는

[eqn: x_{1}=1]일 때 [eqn: x_{6}=3]이고 [eqn: x_{2}+x_{4}=0]에서 [eqn: (1, 0, 0, 3)]이며, 이때 [eqn: x_{1}+x_{4}=1]로 홀수이므로 사건 [eqn: A]를 만족한다.

[eqn: x_{1}=2]일 때 [eqn: x_{6}=1]이고 [eqn: x_{2}+x_{4}=1]에서 [eqn: (2, 1, 0, 1)] 또는 [eqn: (2, 0, 1, 1)]이다.

이 중 [eqn: x_{1}+x_{4}]가 홀수인 경우는 [eqn: (2, 0, 1, 1)]뿐이다.

따라서 사건 [eqn: A cap B]를 만족하는 순서쌍은 [eqn: (1, 0, 0, 3)]과 [eqn: (2, 0, 1, 1)] 두 가지뿐이므로

[eqn: P(A SMALLINTER B)][eqn: = {4!} over {1!3!} LEFT ( {3} over {6} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{3} + {4!} over {2!1!1!} LEFT ( {3} over {6} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{1} = {12} over {6 ^{4}} + {108} over {6 ^{4}} = {120} over {6 ^{4}}]

조건부확률의 정의에 의해

[eqn: rmP(itB`|`A)= {rmP(itA SMALLINTER B)} over {rmP(itA)} = {{120} over {6 ^{4}}} over {{640} over {6 ^{4}}} = {3} over {16}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {5} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {8}]

[eqn: 6] 이하의 자연수 [eqn: a]에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 [eqn: a]보다 작거나 같으면

동전을 [eqn: 5]번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고,

나온 눈의 수가 [eqn: a]보다 크면

동전을 [eqn: 3]번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( it0 LEQ Z LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.191]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.494]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.499]

이 시행을 [eqn: 19200]번 반복하여 기록한 수가 [eqn: 3]인 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) =4800]일 때, [eqn: rmP(itX LEQ 4800+30a)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 [eqn: k]이다. [eqn: 1000 times k]의 값을 구하시오.

[eqn: 977]

한 번의 시행에서 기록한 수가 [eqn: 3]일 확률을 [eqn: p]라 하면

[eqn: p= {a} over {6} TIMES _{5} rmC _{3} it LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} + {6-a} over {6} TIMES _{3} rmC _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: = {a} over {6} times {10} over {32} + {6-a} over {6} times {1} over {8} = {a+4} over {32}]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 19200, {a+4} over {32} RIGHT )]를 따르므로

[eqn: rmE(itX)=19200 TIMES {a+4} over {32} =4800]에서

[eqn: {a+4} over {32} = {1} over {4}] ∴ [eqn: a = 4]

[eqn: a = 4]일 때 [eqn: p = {1} over {4}]이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 19200, {1} over {4} RIGHT )]를 따른다.

[eqn: X]의 분산 [eqn: rmV(itX)]와 표준편차 [eqn: sigma(X)]는

[eqn: rmV(itX)=19200 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =3600], [eqn: sigma(X) = 60]

시행 횟수가 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN(4800,60 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: a = 4]이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: rmP(itX LEQ 4800+30 TIMES 4)=rmP(itX LEQ 4920)]

[eqn: Z = {X - 4800} over {60}]으로 표준화하면

[eqn: rmP(itX LEQ 4920)=rmP LEFT ( itZ LEQ {4920-4800} over {60} RIGHT ) =rmP(itZ LEQ 2)]

표준정규분포표에서 [eqn: rmP(it0 LEQ Z LEQ 2)=0.477]이므로

[eqn: k= rm P( it Z LEQ 2)= rm P( it Z LEQ 0)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2)=0.977]

따라서 정답은 [eqn: 977]이다.

비어 있는 주머니 [eqn: 10]개가 일렬로 놓여 있고, 공 [eqn: 8]개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 2] 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 1]인 주머니는 [eqn: 4]개 또는 [eqn: 6]개이다.

(나) 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 2]인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다.

[eqn: 262]

공이 [eqn: 1]개 들어 있는 주머니의 개수를 [eqn: x], [eqn: 2]개 들어 있는 주머니의 개수를 [eqn: y], 비어 있는 주머니의 개수를 [eqn: z]라 하면

[eqn: x+y+z=10], [eqn: x+2y=8] ……①

조건 (가)에서 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=6]이다.

(ⅰ) [eqn: x=4]일 때

①에 대입하면 [eqn: y=2], [eqn: z=4]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: 2]개 들어 있는 주머니 양 옆에는 반드시 비어 있는 주머니가 있어야 한다.

비어 있는 주머니 [eqn: 4]개를 일렬로 나열하면 그 사이와 양 끝에 [eqn: 5]개의 공간이 생긴다.

이 [eqn: 5]개의 공간에 공이 [eqn: 1]개 들어 있는 주머니 [eqn: 4]개를 분배하는 중복조합 방정식을 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=4]라 하자.

공이 [eqn: 2]개 들어 있는 주머니가 들어갈 수 있는 유효한 빈 공간은 [eqn: x_{i}=0]인 공간이다.

유효한 빈 공간의 개수를 [eqn: k]라 할 때, 공이 [eqn: 2]개 들어 있는 주머니 [eqn: 2]개를 배치하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{k}} C _{{2}}]이다.

모든 배열에 대해 [eqn: {}{}_{{k}} C _{{2}}]의 합을 구하는 것은, 처음부터 [eqn: 5]개의 공간 중 공이 [eqn: 2]개 들어갈 [eqn: 2]개의 빈 공간을 선택하여 고정하고, 나머지 [eqn: 3]개 공간에 공이 [eqn: 1]개 들어 있는 주머니 [eqn: 4]개를 중복조합으로 분배하는 것과 같다.

따라서 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} times {}_{3} H _{4} = 10 times {}{}_{{6}} C _{{4}} = 10 times 15 = 150]

(ⅱ) [eqn: x=6]일 때

①에 대입하면 [eqn: y=1], [eqn: z=3]이다.

비어 있는 주머니 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하면 그 사이와 양 끝에 [eqn: 4]개의 공간이 생긴다.

이 [eqn: 4]개의 공간에 공이 [eqn: 1]개 들어 있는 주머니 [eqn: 6]개를 분배하는 중복조합 방정식을 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=6]이라 하자.

공이 [eqn: 2]개 들어 있는 주머니가 들어갈 수 있는 유효한 빈 공간은 [eqn: x_{i}=0]인 공간이다.

유효한 빈 공간의 개수를 [eqn: k]라 할 때, 공이 [eqn: 2]개 들어 있는 주머니 [eqn: 1]개를 배치하는 경우의 수는 [eqn: {} _{k} rmC _{1} =itk]이다.

모든 배열에 대해 [eqn: k]의 합을 구하는 것은, [eqn: 4]개의 공간 중 공이 [eqn: 2]개 들어갈 [eqn: 1]개의 빈 공간을 선택하여 고정하고, 나머지 [eqn: 3]개 공간에 공이 [eqn: 1]개 들어 있는 주머니 [eqn: 6]개를 중복조합으로 분배하는 것과 같다.

따라서 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}_{3} H _{6} = 4 times {}{}_{{8}} C _{{6}} = 4 times 28 = 112]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 전체 경우의 수는 [eqn: 150+112=262]

따라서 정답은 [eqn: 262]이다.