2024학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

이번 2024학년도 수능 수학은 22번 문항의 'f(k-1)f(k+1) < 0을 만족하는 정수 k가 존재하지 않는다'는 조건 해석에서 최상위권의 변별력이 갈렸을 시험입니다. 킬러 문항의 난이도를 낮추는 기조 속에서, 계산의 복잡성보다는 조건의 의미를 정확히 독해하고 여러 개념을 통합적으로 사고하는 능력을 집중적으로 평가했죠. 특히 14번, 15번, 21번과 같은 준킬러 문항들은 과거 평가원 기출 문제의 아이디어를 정교하게 변형한 형태로, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 각 개념이 어떻게 유기적으로 연결되는지 깊이 있게 학습하는 것이 중요함을 다시 한번 보여주었습니다. 결국 수능 고득점의 열쇠는 낯선 표현으로 포장된 조건을 보고 당황하지 않고, 자신이 아는 기본 개념으로 차분하게 풀어내는 해석 능력에 달려있습니다.

• 14번 — 이 문항은 구간별로 정의된 함수 f(x)와 상수함수 y=t의 교점 개수인 g(t)의 극한값을 해석하는 문제입니다. 출제 의도는 함수의 연속 조건과 그래프 개형 추론 능력을 동시에 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 'g(k) + lim g(t) + lim g(t) = 9'라는 조건을 보고, 단순히 함숫값 3개가 더해진 것으로 착각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 조건의 진짜 의미는 y=k라는 직선과 그 바로 위, 아래에서 교점 개수의 합이 9라는 뜻으로, k가 f(x)의 극값 또는 특정 지점의 함숫값일 때를 탐색하라는 결정적인 실마리(Hint)입니다. 먼저 x=2에서 함수가 연속이 되도록 a, b의 관계식을 찾고, 이차함수 그래프의 꼭짓점 위치에 따라 경우를 나누어 분석하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  
• 15번 — 첫째항이 자연수라는 조건과 홀수/짝수에 따라 달라지는 점화식을 주고 특정 항의 관계를 통해 첫째항을 역추적하는, 전형적인 고난도 수열 문항입니다. 핵심 출제 의도는 복잡한 조건 속에서 끈기 있게 모든 경우를 따져보는 논리적 추론 능력을 보는 것이죠. 대부분의 학생들이 a6, a7에서부터 a1으로 거슬러 올라가야 한다는 것은 알지만, 역추적 과정에서 an이 홀수일 때와 짝수일 때 두 갈래로 계속 나뉘기 때문에 모든 케이스를 빠뜨리지 않고 검토하다 지치는 경우가 많습니다. 힌트는 a6 + a7 = 3이라는 강력한 조건에서 시작하는 것입니다. a6이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 a7을 a6으로 표현하고, 방정식을 풀어 가능한 a6의 값을 먼저 확정한 뒤, 각 a6 값에 대해 a1까지 거슬러 올라가는 트리 구조를 그려보면 실수를 줄일 수 있습니다.
  
• 21번 — 구간 [t-1, t+1]이 움직일 때, 그 안에서 f(x)의 최댓값을 g(t)로 정의하는 새로운 함수에 대한 문제입니다. 이 문제의 핵심은 g(t)의 최솟값이 5라는 조건을 어떻게 활용하느냐에 있습니다. 학생들은 g(t)라는 함수 자체의 복잡함에 압도되어, 구간을 어떻게 나눠야 할지 막막해하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 f(x)의 그래프를 먼저 그려보는 것입니다. f(x)는 x<6에서 위로 볼록한 이차함수, x≥6에서 로그함수입니다. g(t)의 최솟값이 5라는 것은, 움직이는 구간 [t-1, t+1] 내의 최댓값이 가장 작아질 때가 5라는 의미입니다. 이는 구간이 이차함수의 꼭짓점을 포함하는 특정 상황이거나, 두 함수의 경계점에서 특별한 상황이 발생할 때일 가능성이 높다는 것을 암시하므로, 이 지점들을 중심으로 t의 범위를 나누어 g(t)를 분석해야 합니다.
  
• 22번 — 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대해 'f(k-1)f(k+1) < 0을 만족하는 정수 k가 존재하지 않는다'는 생소한 조건을 해석하는 것이 관건인 킬러 문항입니다. 이 조건은 사이값 정리에 의해 (k-1, k+1) 구간에 실근이 존재한다는 의미인데, 그런 정수 k가 없다는 것은 f(x)의 실근이 어떤 정수 k에 대해서도 폭이 2인 개구간 (k-1, k+1) 안에 포함되지 않는다는 뜻입니다. 많은 학생들이 이 조건을 '실근이 없다'거나 '모든 함숫값의 부호가 같다'고 오해하기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 이 독특한 조건이 f(x)의 근의 위치를 극도로 제한한다는 점을 파악하는 것입니다. 예를 들어, f(0)=0, f(1)=0과 같이 정수 근을 갖거나, 두 근의 간격이 2보다 크면서 그 사이에 정수가 하나만 들어가는 등의 특수한 경우를 생각하게 만듭니다. 여기에 f'(-1/4)과 f'(1/4)의 부호 정보를 결합하면 f(x)의 그래프 개형을 확정할 수 있습니다.
  
• 기하 28번 — 서로 다른 두 평면 α, β 위의 원과 타원, 그리고 정사영의 관계를 종합적으로 이해해야 하는 공간도형 문제입니다. 핵심 출제 의도는 두 평면이 이루는 각의 크기(이명각) cosθ를 기하학적 조건들을 통해 구해내는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 3차원 공간에서의 길이와 각도를 2차원 평면에 투영된 모습과 혼동하여 계산하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 점 P에서 평면 β에 내린 수선의 발 H, 그리고 타원의 초점 F, F'으로 만들어지는 삼각형 HFF'이 직각삼각형이라는 점입니다. 이 관계를 이용하여 PH의 길이와 타원의 정의, 정사영의 길이 관계(L' = Lcosθ)를 엮으면 cosθ 값을 구할 수 있습니다.
  
• 기하 29번 — 쌍곡선의 정의(|PF - PF'| = 주축의 길이)를 기하학적 상황에 얼마나 능숙하게 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 삼각형 PF'F가 이등변삼각형이라는 조건에서 PF=FF'인 경우와 PF'=FF'인 경우로 나누어 생각해야 하는데, 한 가지 경우만 고려하여 답을 놓치는 실수를 하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '점 Q가 직선 PF' 위에 있다'는 조건과 '삼각형 PQF의 둘레가 28'이라는 조건을 결합하는 데 있습니다. Q가 PF' 위에 있으므로 PQ + QF' = PF' 이고, 이를 둘레 조건에 대입하면 쌍곡선의 정의를 다시 한번 점 Q에 대해 적용할 수 있는 형태로 식이 정리됩니다. 여기서 c값에 대한 방정식을 세울 수 있습니다.
  
• 기하 30번 — 여러 벡터의 합으로 표현된 벡터 AX의 크기가 최대가 되는 상황을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 벡터 방정식을 기하학적으로 해석하고, 변수 벡터(OP, OQ, OR)와 상수 벡터를 분리하여 크기를 최적화하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 주어진 식 AX = PB + QC + RA를 성분으로 풀려고 하거나, 벡터들을 직접 더하려다 계산의 늪에 빠집니다. 이 문제의 돌파구는 모든 벡터의 시점을 원점(O)으로 통일하여 AX = OX - OA 로 표현하고, 식을 정리하여 OX = (OB+OC-OA) - (OP+OQ-OR) 꼴로 만드는 것입니다. 여기서 (OB+OC-OA)는 고정된 벡터이고, P,Q,R은 각각 중심이 D,E,F인 원 위를 움직이므로, |OX|가 최대가 되려면 움직이는 벡터의 합 (OP+OQ-OR)이 고정된 벡터와 방향이 반대이고 크기가 최대가 되도록 P,Q,R의 위치를 잡아주어야 합니다.
  
• 미적분 28번 — 연속함수 f(x)가 x<0에서 구체적으로 주어지고, 모든 양수 t에 대해 f(x)=t의 실근이 2개라는 정보와 그 두 근의 관계식(2g(t)+h(t)=k)을 통해 x>0 부분의 함수를 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 함수의 대칭성과 정적분, 그리고 치환적분의 연계입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 g(t)와 h(t)의 관계식을 어떻게 f(x)의 그래프 특징으로 변환하느냐 입니다. 이 문제의 실마리는 x>0 부분의 함수 f(x)가 x<0 부분의 함수 f(x)와 어떤 대칭 관계(선대칭)를 이룰 것이라고 가정하고, 그 대칭축을 미지수로 설정하여 관계식을 만족하는지 검증하는 것입니다. 이후 정적분 값은 치환적분을 통해 깔끔하게 계산됩니다.
  
• 미적분 29번 — 두 등비급수의 수렴과 합에 대한 문제입니다. 단순히 공식을 적용하는 것을 넘어, 절댓값이 포함된 급수와 두 급수의 관계식을 통해 첫째항과 공비를 연립하여 구해야 합니다. 핵심은 |a_2n|과 a_2n-1의 관계를 파악하고, 주어진 두 개의 급수 식을 각각 공비 r과 s에 대한 식으로 정리하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 등비급수 합 공식을 기계적으로 적용하다가, 짝수 항의 합과 홀수 항의 합의 공비가 전체 수열 공비의 제곱(r²)이 된다는 점을 놓치는 것입니다. 문제의 결정적 힌트는 Σ(a_n) = (Σa_2n-1) + (Σa_2n) 임을 이용하여 식을 세우고, 이를 b_n에 대한 식으로 변환하여 연립방정식을 푸는 것입니다.
  
• 미적분 30번 — 도함수 f'(x)가 주어진 상태에서, 함수 h(x)를 f(t)와 그 위에서의 접선 g(t)의 차이를 정적분한 함수로 정의하고 h(x)의 극값 조건을 분석하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 h'(x) = f(x) - g(x) 라는 것을 미적분의 기본정리를 통해 파악하는 것입니다. h(x)가 x=a에서 극값을 갖는다는 것은 h'(a) = f(a) - g(a) = 0임을 의미하는데, g(t)는 (a, f(a))에서의 접선이므로 g(a)=f(a)는 당연히 성립합니다. 따라서 극값이 되려면 h'(x)의 부호가 x=a 주변에서 변해야 합니다. 즉, f(x)와 접선 g(x)의 대소 관계가 x=a에서 역전되어야 합니다. 결국 이 문제는 '삼차함수 f(x)가 변곡점이 아닌 점에서 그은 접선이 다시 f(x)와 만나는 점'이 바로 극값을 갖게 하는 a라는 사실을 간파하는 것이 결정적 실마리입니다.
  
• 확률과 통계 29번 — 6 이하 자연수 a, b, c, d에 대한 부등식 'a ≤ c ≤ d'와 'b ≤ c ≤ d'를 동시에 만족하는 순서쌍의 개수를 세는 문제입니다. 이 문제는 여러 개의 부등식이 얽혀있어, 어떤 기준을 잡고 경우를 나누어야 할지 파악하는 것이 핵심입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 a, b, c, d를 한 번에 H(중복조합)로 처리하려고 시도하거나, 여사건을 생각하다가 더 복잡한 상황에 빠지는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 모든 부등식의 '중심' 역할을 하는 변수 c를 기준으로 삼는 것입니다. c가 1일 때, 2일 때, ..., 6일 때 각각의 경우로 나누어 생각하면, 복잡했던 문제가 훨씬 단순해집니다. c의 값이 k로 고정되면, a와 b는 1부터 k까지의 수 중에서 자유롭게 선택 가능하고(각각 k가지), d는 k부터 6까지의 수 중에서 자유롭게 선택 가능(7-k가지)하므로, 각 c의 값에 대한 경우의 수를 구해 모두 더하면 됩니다.
  
• 확률과 통계 30번 — 정규분포를 따르는 확률변수 X에 대해, 두 가지 조건을 만족시키며 특정 확률의 최댓값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 정규분포의 표준화와 대칭성을 깊이 있게 이해하고 있는지를 평가하는 것입니다. 첫 번째 조건 P(X ≤ 5t) ≥ 1/2로부터 t의 범위를 구하고, 그 범위 내에서 P(t²-t+1 ≤ X ≤ t²+t+1)의 최댓값을 찾아야 합니다. 많은 학생들이 복잡한 t의 식을 그대로 표준화하여 계산하다가 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 힌트는 표준화된 변수 Z로 식을 변환하는 데 있습니다. P(t²-t+1 ≤ X ≤ t²+t+1)를 표준화하면 P(t-1 ≤ Z ≤ t+1)이 됩니다. 이 확률은 Z에 대한 구간의 길이가 2로 고정되어 있으므로, 정규분포 곡선의 대칭성에 의해 구간이 평균인 0을 중심으로 할 때, 즉 구간의 중앙값인 t가 0에 가장 가까울 때 최대가 됩니다. P(X ≤ 5t) ≥ 1/2 조건에서 구한 t의 범위(t ≥ 1/5)를 고려하여 t가 0에 가장 가까운 값인 1/5일 때 최댓값을 갖는다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.