수학ETF	2025년_고3_11월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: 9^{1 over 4} times 3^{- 1 over 2}]의 값은?

①

[eqn: 9^{1 over 4} times 3^{- 1 over 2} = (3^{2})^{1 over 4} times 3^{- 1 over 2}]

[eqn: = 3^{1 over 2} times 3^{- 1 over 2}][eqn: = 3^{{1 over 2} - {1 over 2}}][eqn: = 3^{0} = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt{3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x) = 3x^{3} + 4x + 1]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+h) - f(1)} over {h}]의 값은?

④

미분계수의 정의에서

[eqn: lim from {h -> 0} {f(1+h) - f(1)} over {h} = f'(1)]

함수 [eqn: f(x) = 3x^{3} + 4x + 1]에서 [eqn: f'(x) = 9x^{2} + 4]

[eqn: x = 1]을 대입하면 [eqn: f'(1) = 9 + 4 = 13]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{4} (2a_{k}-k)=0]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{4} a_{k}]의 값은?

⑤

[eqn: sum from {k=1} to {4} (2a_{k}-k)=0]에서 시그마의 성질을 이용하면

[eqn: 2 sum from {k=1} to {4} a_{k} - sum from {k=1} to {4} k = 0]

이때 [eqn: sum from {k=1} to {4} k = {4 times 5} over {2} = 10]이므로 [eqn: 2 sum from {k=1} to {4} a_{k} - 10 = 0]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {4} a_{k} = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{3x-2&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#x ^{2} -3x+a&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x = 1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = lim from {x -> 1+} f(x) = f(1)]

[eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = lim from {x -> 1-} (3x - 2) = 1]

[eqn: lim from {x -> 1+} f(x) = lim from {x -> 1+} (x^{2} - 3x + a) = a - 2]

[eqn: f(1) = a - 2]

[eqn: a - 2 = 1]에서 [eqn: a = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = (x+2)(2x^{2}-x-2)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x) = (x+2)(2x^{2}-x-2)]에서 곱의 미분법을 이용하면

[eqn: f'(x) = (2x^{2}-x-2) + (x+2)(4x-1)]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = (2-1-2) + (1+2)(4-1) = -1 + 9 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 1]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log` _{a} `b=3], [eqn: log` _{3} ` {b} over {a} = {1} over {2}]
을 만족시킬 때, [eqn: log` _{9} `ab]의 값은?

②

[eqn: log_{a}b = 3]에서 로그의 정의에 의해 [eqn: b = a^{3}] ……①

①을 [eqn: log_{3} {b} over {a} = {1} over {2}]에 대입하면

[eqn: log_{3} {a^{3}} over {a} = {1} over {2}]에서 [eqn: log_{3}a^{2} = {1} over {2}]

[eqn: a > 1]이므로 [eqn: 2 log_{3}a = {1} over {2}] ∴ [eqn: log_{3}a = {1} over {4}]

구하는 식 [eqn: log_{9}ab]에 ①을 대입하면

[eqn: log_{9}ab = log_{9}(a times a^{3}) = log_{3^{2}}a^{4}]

로그의 성질에 의해 [eqn: log _{3 ^{2}} a ^{4} = {4} over {2} `log _{3} a=2log _{3} a]

[eqn: log_{3}a = {1} over {4}]이므로 [eqn: 2 log_{3}a = 2 times {1} over {4} = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

두 곡선 [eqn: y = x^{2} + 3], [eqn: y = - {1} over {5} x^{2} + 3]과 직선 [eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

⑤

두 곡선 [eqn: y = x^{2} + 3]과 [eqn: y = - {1} over {5} x^{2} + 3]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^{2} + 3 = - {1} over {5} x^{2} + 3]에서 [eqn: {6} over {5} x^{2} = 0] ∴ [eqn: x = 0]

구간 [eqn: [0, 2]]에서 [eqn: x^{2} + 3 geq - {1} over {5} x^{2} + 3]이므로 구하는 넓이는

[eqn: int from {0} to {2} left { (x^{2} + 3) - left ( - {1} over {5} x^{2} + 3 right ) right } dx = int from {0} to {2} {6} over {5} x^{2} dx]

[eqn: = left [ {2} over {5} x^{3} right ] _{0} ^{2} = {16} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {18} over {5}]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: {17} over {5}]

④ [eqn: {33} over {10}]	⑤ [eqn: {16} over {5}]

[eqn: sin theta + 3 cos theta = 0]이고 [eqn: cos ( pi - theta ) > 0]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

①

[eqn: cos ( pi - theta ) = - cos theta > 0]에서 [eqn: cos theta < 0]

[eqn: sin theta + 3 cos theta = 0]에서 [eqn: sin theta = -3 cos theta]이고 [eqn: cos theta < 0]이므로 [eqn: sin theta > 0]

[eqn: cos theta =- {1} over {3} `sin theta]를 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 대입하면

[eqn: sin ^{2} theta + LEFT ( - {1} over {3} `sin theta RIGHT ) ^{2} =1]

[eqn: {10} over {9} `sin ^{2} theta =1] ∴ [eqn: sin^{2} theta = {9} over {10}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {3} over {sqrt{10}} = {3 sqrt{10}} over {10}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3 sqrt{10}} over {10}]	② [eqn: {sqrt{10}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - {sqrt{10}} over {5}]	⑤ [eqn: - {3 sqrt{10}} over {10}]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = x^{3} + 3ax^{2} - 9a^{2}x + 4]
라 하자. 직선 [eqn: y=5]가 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때, [eqn: f(2)]의 값은?

④

[eqn: f(x) = x^{3} + 3ax^{2} - 9a^{2}x + 4]에서

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 6ax - 9a^{2} = 3(x+3a)(x-a)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -3a] 또는 [eqn: x = a]

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -3a]에서 극대, [eqn: x = a]에서 극소이다.

직선 [eqn: y=5]가 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하므로 [eqn: f(-3a) = 5] 또는 [eqn: f(a) = 5]이다.

(ⅰ) [eqn: f(-3a) = 5]일 때

[eqn: f(-3a) = -27a^{3} + 27a^{3} + 27a^{3} + 4 = 27a^{3} + 4 = 5]에서 [eqn: a = {1} over {3}]

(ⅱ) [eqn: f(a) = 5]일 때

[eqn: f(a) = a^{3} + 3a^{3} - 9a^{3} + 4 = -5a^{3} + 4 = 5]에서 [eqn: a^{3} = - {1} over {5}]

[eqn: a > 0]이므로 조건을 만족하는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a = {1} over {3}]이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} - x + 4]

[eqn: f(2) = 8 + 4 - 2 + 4 = 14]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

상수 [eqn: a(a>1)]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^{x}-2] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB], 곡선 [eqn: y=a^{x}-2]의 점근선과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = overline {BC}]이고 삼각형 [eqn: rmAOC]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, [eqn: a TIMES {bar{rmOB}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t] ([eqn: t>0])라 하면 [eqn: rmA LEFT ( itt,`a ^{t} -2 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itt,`0 RIGHT )]이다.

곡선 [eqn: y=a^{x}-2]의 점근선의 방정식은 [eqn: y=-2]이므로 [eqn: rmC LEFT ( itt,`-2 RIGHT )]

[eqn: rmoverline {AB} = overline {BC}]이므로

[eqn: a^{t}-2 = 2]에서 [eqn: a^{t} = 4]

삼각형 [eqn: rmAOC]의 밑변을 선분 [eqn: rmAC]라 하면

[eqn: rmoverline {AC} = overline {AB} + overline {BC} = 4]이고 높이는 [eqn: t]이므로

삼각형 [eqn: rmAOC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times t = 8]에서 [eqn: t = 4]

[eqn: a^{4} = 4]이고 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a = 2^{ {1} over {2} }]

점 [eqn: rmB]의 좌표가 [eqn: (4, 0)]이므로 [eqn: rmoverline {OB} = 4]

따라서 [eqn: a TIMES {bar{rmOB}} =2 ^{{1} over {2}} TIMES 4=2 ^{{5} over {2}}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2^{ {13} over {6} }]	② [eqn: 2^{ {7} over {3} }]	③ [eqn: 2^{ {5} over {2} }]

④ [eqn: 2^{ {8} over {3} }]	⑤ [eqn: 2^{ {17} over {6} }]

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 실수 [eqn: k]에 대하여 시각이 [eqn: t(t geq 0)]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t) = t^{2} - kt + 4]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k=0]이면, 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: {13} over {3}]이다. ㄴ. [eqn: k=3]이면, 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 한 번 바뀐다. ㄷ. [eqn: k=5]이면, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 3]이다.

③

시각 [eqn: t=0]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 0]이므로 시각 [eqn: t]일 때 점 [eqn: P]의 위치 [eqn: x(t)]는 [eqn: x(t) = int from {0} to {t} v(s) ds]

ㄱ. [eqn: k=0]이면 [eqn: v(t) = t^{2} + 4]이므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: x(1) = int from {0} to {1} (t^{2} + 4) dt = left [ {1} over {3} t^{3} + 4t right ] _{0} ^{1} = {13} over {3}] (참)

ㄴ. [eqn: k=3]이면 [eqn: v(t) = t^{2} - 3t + 4]이다.

이차방정식 [eqn: t^{2} - 3t + 4 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = (-3)^{2} - 4 times 1 times 4 = -7 < 0]

모든 [eqn: t geq 0]에 대하여 [eqn: v(t) > 0]이므로 점 [eqn: rmP]의 운동 방향은 바뀌지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: k=5]이면 [eqn: v(t) = t^{2} - 5t + 4 = (t-1)(t-4)]이다.

[eqn: 0 leq t leq 1]에서 [eqn: v(t) geq 0]이고, [eqn: 1 leq t leq 2]에서 [eqn: v(t) leq 0]이므로

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int from {0} to {2} left | v(t) right | dt = int from {0} to {1} (t^{2} - 5t + 4) dt - int from {1} to {2} (t^{2} - 5t + 4) dt]

[eqn: int from {0} to {1} (t^{2} - 5t + 4) dt = left [ {1} over {3} t^{3} - {5} over {2} t^{2} + 4t right ] _{0} ^{1} = {11} over {6}]

[eqn: int _{1} ^{2} {} (t ^{2} -5t+4)dt= LEFT [ {1} over {3} t ^{3} - {5} over {2} t ^{2} +4t RIGHT ] _{1} ^{2} =- {7} over {6}]

[eqn: int from {0} to {2} left | v(t) right | dt = {11} over {6} - left ( - {7} over {6} right ) = 3] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ③이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]이
[eqn: 2(a_{1}+a_{4}+a_{7}) = a_{4}+a_{7}+a_{10} = 6]
을 만족시킬 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

②

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{1} + a_{4} + a_{7} = a_{1} + a_{1} r^{3} + a_{1} r^{6} = a_{1} (1 + r^{3} + r^{6})]

[eqn: a_{4} + a_{7} + a_{10} = a_{1} r^{3} + a_{1} r^{6} + a_{1} r^{9} = a_{1} r^{3} (1 + r^{3} + r^{6})]

조건에서 [eqn: 2(a_{1} + a_{4} + a_{7}) = a_{4} + a_{7} + a_{10}]이므로

[eqn: 2a_{1} (1 + r^{3} + r^{6}) = a_{1} r^{3} (1 + r^{3} + r^{6})]

이때 [eqn: a_{4} + a_{7} + a_{10} = 6]에서 [eqn: a_{1} neq 0]이고 [eqn: 1 + r^{3} + r^{6} = left ( r^{3} + {1} over {2} right )^{2} + {3} over {4} > 0]이므로 [eqn: r^{3} = 2]

[eqn: a_{4} + a_{7} + a_{10} = a_{4} (1 + r^{3} + r^{6}) = 6]에 [eqn: r^{3} = 2], [eqn: r^{6} = 4]를 대입하면 [eqn: a_{4} (1 + 2 + 4) = 6] ∴ [eqn: a_{4} = {6} over {7}]

[eqn: a_{10} = a_{4} r^{6}]이므로 [eqn: a_{10} = {6} over {7} times 4 = {24} over {7}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {22} over {7}]	② [eqn: {24} over {7}]	③ [eqn: {26} over {7}]

④ [eqn: {30} over {7}]	⑤ [eqn: {32} over {7}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 4x - 3]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (1,`-6)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하고, 함수 [eqn: g(x) = (x^{3} - 2x)f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y = g(x)] 위의 점 [eqn: (1,`6)]에서의 접선을 [eqn: m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

⑤

[eqn: f(x) = x^{2} - 4x - 3]에서 [eqn: f'(x) = 2x - 4]이므로 [eqn: f'(1) = -2]

곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (1, -6)]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y - (-6) = -2(x - 1)]에서 [eqn: y = -2x - 4]

함수 [eqn: g(x) = (x^{3} - 2x)f(x)]에서 곱의 미분법에 의해

[eqn: g'(x) = (3x^{2} - 2)f(x) + (x^{3} - 2x)f'(x)]이므로

[eqn: g'(1) = f(1) - f'(1) = -6 - (-2) = -4]

곡선 [eqn: y = g(x)] 위의 점 [eqn: (1, 6)]에서의 접선 [eqn: m]의 방정식은

[eqn: y - 6 = -4(x - 1)]에서 [eqn: y = -4x + 10]

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -2x - 4 = -4x + 10]에서 [eqn: 2x = 14] ∴ [eqn: x = 7]

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]의 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: -4], [eqn: 10]이므로

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 밑변의 길이는 [eqn: 10 - (-4) = 14]이고, 높이는 교점의 [eqn: x]좌표의 절댓값인 [eqn: 7]이다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 14 times 7 = 49]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 49]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB} = 3], [eqn: rmoverline{BC} = 4]이고 [eqn: rmangle B = {pi} over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rmoverline{AD}]인 원이 선분 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmE], 직선 [eqn: rmAB]가 이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmD]가 아닌 점을 [eqn: rmF]라 하고, 호 [eqn: rmEF] 위의 점 [eqn: rmG]를 [eqn: rmoverline{CG} = 2 sqrt{6}]이 되도록 잡는다. 세 점 [eqn: rmC], [eqn: rmE], [eqn: rmG]를 지나는 원 위의 점 [eqn: rmH]가 [eqn: rmangle HCG = angle BAC]를 만족시킬 때, 선분 [eqn: rmGH]의 길이는?

④

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 피타고라스 정리에 의해 [eqn: rmoverline{AC} = sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5]이고 [eqn: rmangle BAC = alpha]라 하면 [eqn: sin alpha = {4} over {5}]

점 [eqn: rmD]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하므로 [eqn: rmoverline{AD} = 3 times {2} over {3} = 2]

원 [eqn: rmA]의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 [eqn: rmoverline{AE} = 2], [eqn: rmoverline{CE} = 5 - 2 = 3]

점 [eqn: rmG]는 원 [eqn: A] 위의 점이므로 [eqn: rmoverline{AG} = 2]

삼각형 [eqn: rmAGC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmcos ( angle CAG ) = {2^{2} + 5^{2} - (2 sqrt{6})^{2}} over {2 times 2 times 5} = {1} over {4}]

삼각형 [eqn: rmAEG]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{EG}^{2} = 2^{2} + 2^{2} - 2 times 2 times 2 times {1} over {4} = 6] ∴ [eqn: rmoverline{EG} = sqrt{6}]

삼각형 [eqn: rmCEG]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmcos ( angle CEG ) = {3^{2} + ( sqrt{6})^{2} - (2 sqrt{6})^{2}} over {2 times 3 times sqrt{6}} = - {sqrt{6}} over {4}]

[eqn: rmsin ( angle CEG ) > 0]이므로 [eqn: rmsin ( angle CEG ) = sqrt{1 - left ( - {sqrt{6}} over {4} right )^{2}} = {sqrt{10}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmCEG]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해 [eqn: rm 2R= {{bar{rmCG}}} over {sin( ANGLE rmCEG)} = {2 sqrt {6}} over {{sqrt {10}} over {4}} = {8 sqrt {15}} over {5}]

세 점 [eqn: rmC], [eqn: rmE], [eqn: rmG]를 지나는 원에서 현 [eqn: rmGH]에 대한 원주각이 [eqn: rmangle HCG]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: rm {bar{GH}} =2itR`sin( ANGLE rmHCG)]

[eqn: rmangle HCG = angle BAC = alpha]이므로 [eqn: rmoverline{GH} = {8 sqrt{15}} over {5} times {4} over {5} = {32 sqrt{15}} over {25}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {6 sqrt{15}} over {5}]	② [eqn: {38 sqrt{10}} over {25}]	③ [eqn: {14 sqrt{3}} over {5}]

④ [eqn: {32 sqrt{15}} over {25}]	⑤ [eqn: {8 sqrt{10}} over {5}]

함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x) = left { matrix { -x^{2} & left ( x < 0 right ) # x^{2} - x & left ( x geq 0 right ) } right .]
이고, 양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = left { matrix { ax + a & left ( x < -1 right ) # 0 & left ( -1 leq x < 1 right ) # ax - a & left ( x geq 1 right ) } right .]
이라 하자. 함수 [eqn: h(x) = int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: k]라 하자. [eqn: a = k]일 때, [eqn: k + h(3)]의 값은?

④

[eqn: h(x) = int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: h'(x) = g(x) - f(x)]

각 구간별로 [eqn: h'(x)]를 구하면

[eqn: h'(x) = left { matrix { x^{2} + ax + a & left ( x < -1 right ) # x^{2} & left ( -1 leq x < 0 right ) # -x^{2} + x & left ( 0 leq x < 1 right ) # -x^{2} + (a+1)x - a & left ( x geq 1 right ) } right .]

[eqn: x geq -1]일 때 [eqn: h'(x)]의 부호 변화를 살펴보면

[eqn: -1 leq x < 0]에서 [eqn: h'(x) = x^{2} geq 0]

[eqn: 0 leq x < 1]에서 [eqn: h'(x) = -x(x-1) > 0]

[eqn: x geq 1]에서 [eqn: h'(x) = -(x-1)(x-a)]이므로

[eqn: a > 1]이면 [eqn: x = a]에서 [eqn: h'(x)]의 부호가 양에서 음으로 한 번 바뀌고, [eqn: 0 < a leq 1]이면 [eqn: x = 1]에서 [eqn: h'(x)]의 부호가 양에서 음으로 한 번 바뀐다.

즉, [eqn: x geq -1] 구간에서 [eqn: h'(x)]의 부호는 양에서 음으로 오직 한 번 바뀐다.

함수 [eqn: h(x)]가 오직 하나의 극값을 가지려면 [eqn: x < -1] 구간에서 [eqn: h'(x)]의 부호 변화가 없어야 한다.

[eqn: x < -1]에서 [eqn: h'(x) = x^{2} + ax + a]이므로 이차방정식 [eqn: x^{2} + ax + a = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^{2} - 4a leq 0]에서 [eqn: 0 leq a leq 4]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: 0 < a leq 4]

만약 [eqn: D > 0]이면 [eqn: a > 4]이고, 이차함수 [eqn: y = x^{2} + ax + a]의 대칭축이 [eqn: x = - {a} over {2} < -2]이며 [eqn: x = -1]일 때 [eqn: y = 1 > 0]이므로 [eqn: x < -1]에서 [eqn: h'(x)]의 부호가 두 번 바뀐다.

따라서 [eqn: h(x)]가 오직 하나의 극값을 갖기 위한 [eqn: a]의 조건은 [eqn: 0 < a leq 4]이다.

[eqn: a]의 최댓값 [eqn: k = 4]

[eqn: a = 4]일 때, [eqn: h(3)]의 값은

[eqn: h(3) = int_{0}^{3} h'(x) dx = int_{0}^{1} (-x^{2} + x) dx + int_{1}^{3} (-x^{2} + 5x - 4) dx]

[eqn: int_{0}^{1} (-x^{2} + x) dx = left [ - {1} over {3} x^{3} + {1} over {2} x^{2} right ]_{0}^{1} = {1} over {6}]

[eqn: int _{1} ^{3} {} (-x ^{2} +5x-4)dx= LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {5} over {2} x ^{2} -4x RIGHT ] _{1} ^{3}][eqn: = LEFT ( -9+ {45} over {2} -12 RIGHT ) - LEFT ( - {1} over {3} + {5} over {2} -4 RIGHT ) = {10} over {3}]

[eqn: h(3) = {1} over {6} + {10} over {3} = {21} over {6} = {7} over {2}]

∴ [eqn: k + h(3) = 4 + {7} over {2} = {15} over {2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: a_{1} = 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = n^{2} a_{n} + 1]
을 만족시킨다. [eqn: a_{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

주어진 점화식 [eqn: a_{n+1} = n^{2} a_{n} + 1]에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: a_{2} = 1^{2} times a_{1} + 1 = 1 times 1 + 1 = 2]

[eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: a_{3} = 2^{2} times a_{2} + 1 = 4 times 2 + 1 = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

함수 [eqn: f(x) = 4x^{3} - 2x]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(0) = 4]일 때, [eqn: F(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: F(x)]는 [eqn: f(x)]의 한 부정적분이므로

[eqn: F(x) = int (4x^{3} - 2x) dx = x^{4} - x^{2} + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: F(0) = 4]이므로 [eqn: C = 4]

따라서 [eqn: F(x) = x^{4} - x^{2} + 4]

[eqn: x = 2]를 대입하면 [eqn: F(2) = 2^{4} - 2^{2} + 4 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 5], [eqn: rmoverline {AC} = 6]이고 [eqn: rmcos ( angle BAC ) = - {3} over {5}]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하시오.

[eqn: 12]

삼각형의 내각의 크기는 [eqn: rm0 < angle BAC < pi]이므로 [eqn: rmsin ( angle BAC ) > 0]이다.

[eqn: rm sin ^{2} ( ANGLE BAC)+cos ^{2} ( ANGLE rmBAC)=1]에서

[eqn: rmsin ( angle BAC ) = sqrt{1 - left ( - {3} over {5} right )^{2}} = {4} over {5}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: itS= {1} over {2} TIMES {bar{rmAB}} TIMES {bar{rmAC}} TIMES sin( ANGLE rmBAC)]

[eqn: S = {1} over {2} times 5 times 6 times {4} over {5} = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

[eqn: -2 leq x leq 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: -k leq 2x^{3}+3x^{2}-12x-8 leq k]
가 성립하도록 하는 양수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 15]

[eqn: f(x) = 2x^{3}+3x^{2}-12x-8]이라 하면

[eqn: f'(x) = 6x^{2}+6x-12 = 6(x+2)(x-1)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -2] 또는 [eqn: x = 1]

구간 [eqn: [-2, 2]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 함숫값을 구하면

[eqn: f(-2) = 12], [eqn: f(1) = -15], [eqn: f(2) = -4]

에서 함수 [eqn: y]=[eqn: f]([eqn: x])의 그래프]

따라서 구간 [eqn: [-2, 2]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 12]이고 최솟값은 [eqn: -15]이다.

주어진 부등식 [eqn: -k leq f(x) leq k]가 성립하려면

[eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: k] 이하이고 최솟값이 [eqn: -k] 이상이어야 하므로 [eqn: 12 leq k]이고 [eqn: -15 geq -k]

즉, [eqn: k geq 12]이고 [eqn: k geq 15]이므로 [eqn: k geq 15]

따라서 양수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 15]이다.

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_{1} = 7]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} a_{k} = {2} over {3} a_{n} + {1} over {6} n^{2} - {1} over {6} n + 10]
이다.

다음은 [eqn: sum_{k=1}^{12} a_{k} + sum_{k=1}^{5} a_{2k+1}]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+1} = sum_{k=1}^{n+1} a_{k} - sum_{k=1}^{n} a_{k}]이므로

[eqn: a _{n+1} = {2} over {3} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) +box{```(가)```}]

이고, 이 식을 정리하면

[eqn: 2a _{n} +a _{n+1} =3 TIMES box{```(가)```}] [eqn: cdots cdots] ㉠이다.

[eqn: sum_{k=1}^{n} a_{k} = {2} over {3} a_{n} + {1} over {6} n^{2} - {1} over {6} n + 10] [eqn: (n geq 2)]

에서 양변에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: a _{2} =box{```(나)```}] [eqn: cdots cdots] ㉡

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

[eqn: sum_{k=1}^{12} a_{k} + sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} = a_{1} + a_{2} + sum_{k=1}^{5} left ( 2a_{2k+1} + a_{2k+2} right )][eqn: =box{```(다)```}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: {p times q} over {f(12)}]의 값을 구하시오.

[eqn: 130]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum from {k=1} to {n+1} a_{k} = {2} over {3} a_{n+1} + {1} over {6} (n+1)^{2} - {1} over {6} (n+1) + 10]

[eqn: sum from {k=1} to {n} a_{k} = {2} over {3} a_{n} + {1} over {6} n^{2} - {1} over {6} n + 10]

위의 두 식을 변끼리 빼면

[eqn: a_{n+1} = {2} over {3} (a_{n+1} - a_{n}) + {1} over {6} left { (n+1)^{2} - n^{2} right } - {1} over {6} left { (n+1) - n right }]

[eqn: a_{n+1} = {2} over {3} (a_{n+1} - a_{n}) + {1} over {3} n] ∴ [eqn: f(n) = {1} over {3} n]

[eqn: sum from {k=1} to {n} a_{k} = {2} over {3} a_{n} + {1} over {6} n^{2} - {1} over {6} n + 10]에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: a_{1} + a_{2} = {2} over {3} a_{2} + {1} over {6} times 4 - {1} over {6} times 2 + 10]

[eqn: a_{1} = 7]이므로 [eqn: 7 + a_{2} = {2} over {3} a_{2} + {31} over {3}]에서 [eqn: {1} over {3} a_{2} = {10} over {3}] ∴ [eqn: a_{2} = 10]

따라서 [eqn: p = 10]이다.

[eqn: 2a_{n} + a_{n+1} = n]에 [eqn: n=2k+1]을 대입하면

[eqn: 2a_{2k+1} + a_{2k+2} = 2k+1]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {12} a_{k} + sum from {k=1} to {5} a_{2k+1} = a_{1} + a_{2} + sum from {k=1} to {5} (2a_{2k+1} + a_{2k+2})]

[eqn: = 7 + 10 + sum from {k=1} to {5} (2k+1)][eqn: = 17 + 35 = 52]

따라서 [eqn: q = 52]이다.

[eqn: f(12) = {1} over {3} times 12 = 4]이므로 [eqn: {p times q} over {f(12)} = {10 times 52} over {4} = 130]

따라서 정답은 [eqn: 130]이다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x<t RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x GEQ t RIGHT )}}]
는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow a+} {g(x)} over {x(x-2)}]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim_{x rightarrow m+} {g(x)} over {x(x-2)}]의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 집합은 [eqn: LEFT { g(-1),`- {7} over {2} g(1) RIGHT }]이다.

[eqn: g(-5)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: g(-1) neq -{7} over {2} g(1)])

[eqn: 65]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=t]에서 연속이므로

[eqn: -f(t) = f(t)]에서 [eqn: f(t) = 0]

조건 (가)에서 [eqn: lim from {x -> 0+} {g(x)} over {x(x-2)}]와 [eqn: lim from {x -> 2+} {g(x)} over {x(x-2)}]의 값이 존재하므로

[eqn: g(0) = 0], [eqn: g(2) = 0]

[eqn: g(x)]의 정의에 의해 [eqn: f(0) = 0], [eqn: f(2) = 0]

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: k] ([eqn: k>0])라 하면

[eqn: f(x) = kx(x-2)(x- alpha)]

[eqn: f(t) = 0]이므로 [eqn: t]는 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: alpha] 중 하나이다.

[eqn: L(m) = lim from {x -> m+} {g(x)} over {x(x-2)}]라 하자.

(ⅰ) [eqn: t=0]일 때

자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: m > 0]이므로 [eqn: x -> m+]일 때 [eqn: g(x) = f(x)]

[eqn: L(m) = lim from {x -> m+} {kx(x-2)(x- alpha)} over {x(x-2)} = k(m- alpha)]

[eqn: L(m) < 0]에서 [eqn: m < alpha]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 집합의 원소가 [eqn: 2]개이므로 [eqn: m=1, 2]이고 [eqn: 2 < alpha leq 3]

[eqn: g(-1) = -f(-1) = 3k(1+ alpha)], [eqn: g(1) = f(1) = k( alpha -1)]

[eqn: - {7} over {2} g(1) = - {7} over {2} k( alpha -1)]

[eqn: 2 < alpha leq 3]에서 [eqn: alpha -1 > 0]이므로 [eqn: - {7} over {2} g(1) < 0]

조건 (나)의 집합의 원소는 자연수이어야 하므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: t= alpha]일 때

[eqn: m geq alpha]이면 [eqn: x -> m+]일 때 [eqn: g(x) = f(x)]이므로 [eqn: L(m) = k(m- alpha) geq 0]

[eqn: m < alpha]이면 [eqn: x -> m+]일 때 [eqn: g(x) = -f(x)]이므로 [eqn: L(m) = -k(m- alpha) > 0]

[eqn: L(m) < 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]이 존재하지 않으므로 모순이다.

(ⅲ) [eqn: t=2]일 때

[eqn: m geq 2]이면 [eqn: x -> m+]일 때 [eqn: g(x) = f(x)]이므로 [eqn: L(m) = k(m- alpha)]

[eqn: m=1]이면 [eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: g(x) = -f(x)]이므로 [eqn: L(1) = -k(1- alpha) = k( alpha -1)]

[eqn: L(1) < 0]이면 [eqn: alpha < 1]이고, [eqn: m geq 2]일 때 [eqn: L(m) = k(m- alpha) > 0]이 되어 [eqn: L(m) < 0]인 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 1]뿐이므로 모순이다.

따라서 [eqn: L(1) geq 0]에서 [eqn: alpha geq 1]

[eqn: m geq 2]일 때 [eqn: L(m) = k(m- alpha) < 0]에서 [eqn: m < alpha]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: m]이 [eqn: 2]개이어야 하므로 [eqn: m=2, 3]이고 [eqn: 3 < alpha leq 4]

조건 (나)를 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 집합은 [eqn: left { 2, 3 right }]이다.

[eqn: g(-1) = -f(-1) = 3k(1+ alpha)], [eqn: g(1) = -f(1) = k(1- alpha)]

[eqn: - {7} over {2} g(1) = {7} over {2} k( alpha -1)]

[eqn: 3 < alpha leq 4]에서 [eqn: 3k(1+ alpha) - {7} over {2} k( alpha -1) = {k} over {2} (13- alpha) > 0]이므로

[eqn: 3k(1+ alpha) = 3], [eqn: {7} over {2} k( alpha -1) = 2]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: alpha = {11} over {3}], [eqn: k = {3} over {14}]

따라서 [eqn: f(x) = {3} over {14} x(x-2) left ( x- {11} over {3} right )]

[eqn: g(-5) = -f(-5) = - {3} over {14} times (-5) times (-7) times left ( - {26} over {3} right ) = 65]

따라서 정답은 [eqn: 65]이다.

곡선 [eqn: y=log` _{16} `(8x+2)] 위의 점 [eqn: rmA(ita,`b)]와 곡선 [eqn: y = 4^{x-1} - {1} over {2}] 위의 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 1]사분면에 있다. 점 [eqn: rmA]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점이 직선 [eqn: rmOB] 위에 있고 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( {77} over {8} ,` {133} over {8} RIGHT )]일 때, [eqn: a times b = {q} over {p}]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 457]

점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`b RIGHT )]가 곡선 [eqn: y = log_{16}(8x + 2)] 위에 있으므로

[eqn: b = log_{16}(8a + 2)]에서 [eqn: 16^{b} = 8a + 2]

[eqn: 4^{2b} = 8a + 2]의 양변을 [eqn: 4]로 나누면 [eqn: 2a = 4^{2b-1} - {1} over {2}]

따라서 점 [eqn: (2b, 2a)]는 곡선 [eqn: y = 4^{x-1} - {1} over {2}] 위에 있다.

점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`b RIGHT )]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmA' LEFT ( itb,`a RIGHT )]가 직선 [eqn: rmOB] 위에 있으므로 직선 [eqn: rmOB]의 방정식은 [eqn: y = {a} over {b} x]이다.

이때 점 [eqn: (2b, 2a)]를 직선 [eqn: y = {a} over {b} x]에 대입하면 [eqn: 2a = {a} over {b} times 2b]가 성립하므로 점 [eqn: (2b, 2a)]는 직선 [eqn: rmOB] 위에 있다.

점 [eqn: rmB]는 제[eqn: 1]사분면에서 곡선 [eqn: y = 4^{x-1} - {1} over {2}]와 직선 [eqn: rmOB]의 교점이므로 [eqn: rmB(it2b,2a)]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: left ( {77} over {8} , {133} over {8} right )]이므로

[eqn: {a + 2b} over {2} = {77} over {8}]에서 [eqn: a + 2b = {77} over {4}] ……①

[eqn: {b + 2a} over {2} = {133} over {8}]에서 [eqn: 2a + b = {133} over {4}] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: a = {63} over {4}], [eqn: b = {7} over {4}]

따라서 [eqn: a times b = {63} over {4} times {7} over {4} = {441} over {16}]이므로 [eqn: p = 16], [eqn: q = 441]

∴ [eqn: p + q = 16 + 441 = 457]

따라서 정답은 [eqn: 457]이다.

두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(4,`1)], [eqn: {vec{b}} =(-1,`-1)]에 대하여 [eqn: vec{a} + vec{b}]의 모든 성분의 합은?

③

[eqn: vec{a} = (4, 1)], [eqn: vec{b} = (-1, -1)]이므로

[eqn: vec{a} + vec{b} = (4, 1) + (-1, -1) = (3, 0)]

따라서 [eqn: vec{a} + vec{b}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 3 + 0 = 3]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]의 초점과 준선 사이의 거리는?

①

포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]는 포물선 [eqn: y^{2} = 12x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.

포물선 [eqn: y^{2} = 12x]의 초점의 좌표는 [eqn: (3, 0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x = -3]이다.

따라서 포물선 [eqn: y^{2} = 12(x-2)]의 초점의 좌표는 [eqn: (5, 0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x = -1]이다.

초점과 준선 사이의 거리는 [eqn: 5 - (-1) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

좌표공간의 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,`- {3} over {2} ,`-2 RIGHT )]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmA]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는?

⑤

점 [eqn: rmA left ( 3, - {3} over {2}, -2 right )]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: x]좌표의 부호가 반대이므로 [eqn: rmB left ( -3, - {3} over {2}, -2 right )]

점 [eqn: rmA left ( 3, - {3} over {2}, -2 right )]를 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmC]의 좌표는 각 좌표의 부호가 모두 반대이므로 [eqn: rmC left ( -3, {3} over {2}, 2 right )]

두 점 사이의 거리 공식에서 선분 [eqn: rmBC]의 길이는

[eqn: rm {bar{BC}} `= sqrt {LEFT ( -3-(-3) RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} - LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2-(-2) RIGHT ) ^{2}} =5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: sqrt{21}]	② [eqn: sqrt{22}]	③ [eqn: sqrt{23}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 5]

양수 [eqn: a]에 대하여 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}} = -1] 위의 점 [eqn: (a, sqrt{2}a)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: rmoverline{PF} times overline{PF'} = 8]일 때, [eqn: a]의 값은?

②

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}} = -1]에서 [eqn: c^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}]이므로 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']의 좌표는 [eqn: rm F(0, sqrt {2} ita)], [eqn: rm F prime (0,- sqrt {2} ita)]

쌍곡선 위의 점 [eqn: (a, sqrt{2}a)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {a x} over {a^{2}} - {sqrt{2}a y} over {a^{2}} = -1]에서 [eqn: {x} over {a} - {sqrt{2}y} over {a} = -1]

이 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: x=0]을 대입하여 구하면 [eqn: rm P LEFT ( 0, {sqrt {2}} over {2} ita RIGHT )]

점 [eqn: rmP], [eqn: rmF], [eqn: rmF']가 모두 [eqn: y]축 위의 점이므로

[eqn: {bar{rmPF}} =it LEFT | sqrt {2} a- {sqrt {2}} over {2} a RIGHT | = {sqrt {2}} over {2} a]

[eqn: {bar{rmPF prime }} =it LEFT | - sqrt {2} a- {sqrt {2}} over {2} a RIGHT | = {3 sqrt {2}} over {2} a]

[eqn: rmoverline{PF} times overline{PF'} = 8]에서 [eqn: {sqrt{2}} over {2} a times {3 sqrt{2}} over {2} a = 8], [eqn: {3} over {2} a^{2} = 8]

∴ [eqn: a^{2} = {16} over {3}]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = {4 sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: sqrt{3}]	② [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: {5 sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: 2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: {7 sqrt{3}} over {3}]

그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 5]인 두 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 [eqn: C_{1}] 위의 [eqn: rmoverline{AB} = 5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 원 [eqn: C_{2}] 위의 [eqn: rmoverline{CD} = 3]인 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: rmoverline{AD} = overline{BC}]이다. 점 [eqn: rmD]에서 원 [eqn: C_{1}]을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이의 [eqn: 4]배일 때, 이 원기둥의 높이는?

④

점 [eqn: rmC]에서 원 [eqn: C_{1}]을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC']이라 하면, 선분 [eqn: rmC'H]는 선분 [eqn: rmCD]의 정사영이므로

[eqn: rmoverline{C'H} = overline{CD} = 3]

원기둥의 높이를 [eqn: h]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmADH]와 [eqn: rmBC'C]에서

[eqn: rm {bar{AD ^{2}}} = {bar{AH ^{2}}} +ith ^{2}], [eqn: rm {bar{BC ^{2}}} = {bar{BC prime ^{2}}} +ith ^{2}]

[eqn: rmoverline{AD} = overline{BC}]이므로 [eqn: rmoverline{AH} = overline{BC'}]

원 [eqn: C_{1}]에서 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 지름의 길이인 [eqn: 5]와 같으므로 선분 [eqn: rmAB]는 원 [eqn: C_{1}]의 지름이다.

현 [eqn: rmAH]와 현 [eqn: rmBC']의 길이가 같으므로 두 현 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmC'H]는 평행하다.

원 [eqn: C_{1}]의 중심에서 현 [eqn: rmC'H]에 내린 수선의 길이를 [eqn: d]라 하면 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: d = sqrt{ left ( {5} over {2} right )^{2} - left ( {3} over {2} right )^{2}} = 2]

선분 [eqn: rmAB]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: d]인 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 5 times 2 = 5]

조건에서 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABH]의 넓이의 [eqn: 4]배이므로 [eqn: rm4 times 5 = 20]

[eqn: rmoverline{AB} // overline{C'H}]이고 [eqn: rmoverline{C'H} // overline{CD}]이므로 사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다.

사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 높이를 [eqn: h']이라 하면

[eqn: {1} over {2} times (5 + 3) times h' = 20]에서 [eqn: h' = 5]

점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmrmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하면 삼수선의 정리에 의해 점 [eqn: rmH]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선도 점 [eqn: rmP]를 지난다.

이때 [eqn: {bar{rmHP}} =itd=2]이고 [eqn: {bar{rmDP}} =ith prime =5]이다.

직각삼각형 [eqn: rmDHP]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: h= sqrt {{bar{rmDP ^{2}}} - {bar{rmHP ^{2}}}} = sqrt {5 ^{2} -2 ^{2}} = sqrt {21}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3 sqrt{2}]	② [eqn: sqrt{19}]	③ [eqn: 2 sqrt{5}]

④ [eqn: sqrt{21}]	⑤ [eqn: sqrt{22}]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB} = overline{CD} = 4], [eqn: rmoverline{BC} = overline{BD} = 2 sqrt{5}] 인 사면체 [eqn: rmABCD]가 있고, 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rmCD]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]에 대하여 두 평면 [eqn: rmABH]와 [eqn: rmBCD]는 서로 수직이고 [eqn: rmoverline{AH} = 4]이다. 삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하고, 점 [eqn: rmG]를 중심으로 하고 평면 [eqn: rmACD]에 접하는 구를 [eqn: S]라 하자. [eqn: rmangle APG = {pi} over {2}] 인 구 [eqn: S] 위의 모든 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형을 [eqn: T] 라 할 때, 도형 [eqn: T]의 평면 [eqn: rmABC] 위로의 정사영의 넓이는?

④

점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA']이라 하면

평면 [eqn: rmABH]와 평면 [eqn: rmBCD]가 서로 수직이므로 점 [eqn: rmA']은 교선 [eqn: rmBH] 위에 있다.

직선 [eqn: rmAA']은 평면 [eqn: rmBCD]와 수직이고 [eqn: rmbarAH`BOT`rmbarCD]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rmbarA'H`BOT`rmbarCD]이다.

점 [eqn: rmA']과 [eqn: rmH]는 모두 직선 [eqn: rmBH] 위의 점이므로 [eqn: rmbarBH`BOT`rmbarCD]이고, 직선 [eqn: rmCD]는 평면 [eqn: rmABH]와 수직이다.

이등변삼각형 [eqn: rmBCD]에서 [eqn: rmbarBH`BOT`rmbarCD]이므로 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmCD]의 중점이다.

[eqn: rmbarCD`=4]에서 [eqn: rmbarCH`=2]이고, 직각삼각형 [eqn: rmBHC]에서 [eqn: rmbarBH`= sqrt {(2 sqrt {5} ) ^{2} -2 ^{2}} =4]이다.

[eqn: rmbarAB`=4], [eqn: rmbarAH`=4], [eqn: rmbarBH`=4]이므로 삼각형 [eqn: rmABH]는 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이다.

직선 [eqn: rmCD]가 평면 [eqn: rmABH]와 수직이므로 평면 [eqn: rmACD]와 평면 [eqn: rmABH]는 서로 수직이다.

점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmACD]에 내린 수선의 발은 두 평면의 교선인 [eqn: rmAH] 위에 있으므로 점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmACD]까지의 거리는 점 [eqn: rmG]에서 선분 [eqn: rmAH]까지의 거리와 같다.

삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심 [eqn: rmG]에서 선분 [eqn: rmAH]까지의 거리는 정삼각형의 내접원의 반지름의 길이와 같으므로 구 [eqn: S]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: r = {1} over {3} times {sqrt{3}} over {2} times 4 = {2 sqrt{3}} over {3}]이다.

선분 [eqn: rmAG]의 길이는 정삼각형 [eqn: rmABH]의 외접원의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: rmbarAG`= {4 sqrt {3}} over {3}]이다.

[eqn: rmangle APG = {pi} over {2}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmAPG]에서 [eqn: rmbarAP`= sqrt {rmbarAG` ^{2} -rmbarPG` ^{2}} = sqrt {{48} over {9} - {12} over {9}} =2]이다.

도형 [eqn: T]는 선분 [eqn: rmAG]에 수직인 평면 위에 있고, 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하면 선분 [eqn: rmPQ]가 도형 [eqn: T]인 원의 반지름의 길이이다.

[eqn: rmbarAP` TIMES rmbarPG`=rmbarAG` TIMES rmbarPQ]에서 [eqn: 2 TIMES {2 sqrt {3}} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3} TIMES rmbarPQ] ∴ [eqn: rmbarPQ`=1]

따라서 도형 [eqn: T]의 넓이는 [eqn: S = pi times 1^{2} = pi]이다.

사면체 [eqn: rmHABC]의 밑면을 삼각형 [eqn: rmBHC]라 하면 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times 2 = 4]이고, 높이는 정삼각형 [eqn: rmABH]의 높이인 [eqn: 2 sqrt{3}]이므로 부피는 [eqn: V_{HABC} = {1} over {3} times 4 times 2 sqrt{3} = {8 sqrt{3}} over {3}]이다.

점 [eqn: rmG]가 삼각형 [eqn: rmABH]의 무게중심이므로 사면체 [eqn: rmGABC]의 부피는 [eqn: V_{GABC} = {1} over {3} V_{HABC} = {8 sqrt{3}} over {9}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAHC]에서 [eqn: rmbarAC`= sqrt {4 ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {5}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmbarAC`=rmbarBC`=2 sqrt {5}]인 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmbarAM`=2]이므로 [eqn: rmbarCM`= sqrt {(2 sqrt {5} ) ^{2} -2 ^{2}} =4]이고, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times 4 = 8]이다.

점 [eqn: rmG]에서 평면 [eqn: rmABC]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면 [eqn: V_{GABC} = {1} over {3} times 8 times d = {8 sqrt{3}} over {9}]에서 [eqn: d = {sqrt{3}} over {3}]이다.

도형 [eqn: T]를 포함하는 평면과 평면 [eqn: rmABC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면, 직선 [eqn: rmAG]와 평면 [eqn: rmABC]가 이루는 각의 크기 [eqn: phi]에 대하여 [eqn: cos theta = sin phi]이다.

[eqn: sin phi = {d} over {rmbarAG} = {{sqrt {3}} over {3}} over {{4 sqrt {3}} over {3}} = {1} over {4}]이므로 [eqn: cos theta = {1} over {4}]이다.

따라서 도형 [eqn: T]의 평면 [eqn: rmABC] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: pi times {1} over {4} = {pi} over {4}]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {pi} over {7}]	② [eqn: {pi} over {6}]	③ [eqn: {pi} over {5}]

④ [eqn: {pi} over {4}]	⑤ [eqn: {pi} over {3}]

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF(itp,`0)(p>0)]이고 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 두 초점이 [eqn: x]축 위에 있고 세 점 [eqn: rmF], [eqn: rmA], [eqn: rmH]를 지나는 타원의 [eqn: x]좌표가 양수인 초점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이가 [eqn: p+27], 넓이가 [eqn: 2p+12]일 때, 선분 [eqn: rmHF]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 360]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})] ([eqn: x_{1} > 0], [eqn: y_{1} > 0])이라 하면 점 [eqn: rmH]는 준선 [eqn: x = -p]에 내린 수선의 발이므로 [eqn: rm H(it-p,y _{1} )]이다.

타원은 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmH]를 지나고 두 점의 [eqn: y]좌표가 같으므로 타원의 중심의 [eqn: x]좌표는 선분 [eqn: rmAH]의 중점의 [eqn: x]좌표와 같다.

타원의 중심의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{c}]라 하면 [eqn: x_{c} = {x_{1} - p} over {2}]이다.

타원이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm F(itp,0)]를 지나고 타원의 중심이 [eqn: x]축 위에 있으므로 점 [eqn: rmF]는 타원의 꼭짓점이다.

타원의 장축의 길이를 [eqn: 2a]라 하면 타원의 중심에서 꼭짓점 [eqn: rmF]까지의 거리가 [eqn: a]이므로

[eqn: a = p - x_{c} = p - {x_{1} - p} over {2} = {3p - x_{1}} over {2}]

즉, [eqn: 2a = 3p - x_{1}]이다.

타원의 다른 초점을 [eqn: rmB']라 하면 타원의 대칭성에 의해 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmH], 초점 [eqn: rmB]와 [eqn: rmB']는 각각 타원의 중심 [eqn: x = x_{c}]에 대하여 대칭이므로 선분 [eqn: rmHB]의 길이는 선분 [eqn: rmAB']의 길이와 같다.

삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이는 [eqn: rmbarAH`+rmbarHB`+rmbarAB]이고, [eqn: rmbarHB`=rmbarAB prime]이므로

[eqn: rmbarAH`+rmbarHB`+rmbarAB`=rmbarAH`+rmbarAB prime `+rmbarAB]

타원의 정의에 의해 [eqn: rmbarAB prime `+rmbarAB`=it2a=3p-x _{1}]이고, 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmbarAH`=itx _{1} -(-p)=x _{1} +p]이므로

[eqn: rmbarAH`+rmbarAB prime `+rmbarAB`=it(x _{1} +p)+(3p-x _{1} )=4p]

조건에서 삼각형 [eqn: rmAHB]의 둘레의 길이가 [eqn: p + 27]이므로

[eqn: 4p = p + 27] ∴ [eqn: p = 9]

[eqn: p = 9]를 삼각형 [eqn: rmAHB]의 넓이 조건에 대입하면 넓이는 [eqn: 2(9) + 12 = 30]이다.

삼각형 [eqn: rmAHB]의 밑변을 [eqn: rmbarAH], 높이를 [eqn: y_{1}]이라 하면 [eqn: rm {bar{AH}} `=itx _{1} +9]이므로 [eqn: {1} over {2} (x_{1} + 9) y_{1} = 30] ……①

점 [eqn: rmA]는 포물선 [eqn: y^{2} = 36x] 위의 점이므로 [eqn: x_{1} = {y_{1}^{2}} over {36}]이다.

이를 ①에 대입하면

[eqn: {1} over {2} left ( {y_{1}^{2}} over {36} + 9 right ) y_{1} = 30]에서 [eqn: y_{1}^{3} + 324y_{1} - 2160 = 0]

인수분해하면 [eqn: (y_{1} - 6)(y_{1}^{2} + 6y_{1} + 360) = 0]이고 [eqn: y_{1} > 0]이므로 [eqn: y_{1} = 6]

[eqn: y_{1} = 6]을 [eqn: x_{1} = {y_{1}^{2}} over {36}]에 대입하면 [eqn: x_{1} = 1]

따라서 [eqn: rmH(-9, 6)], [eqn: rmF(9, 0)]이므로

[eqn: k ^{2} =rmbarHF` ^{2} =(9-(-9)) ^{2} +(0-6) ^{2} =324+36=360]

따라서 정답은 [eqn: 360]이다.

좌표평면에서 길이가 [eqn: 10 sqrt{2}] 인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가
[eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot ( vec{PQ} + vec{PB} ) = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]
을 만족시킨다. [eqn: rmleft | vec{PB} right | = 14]일 때, [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} CDOT {vec{QB}} RIGHT | =it {q} over {p}] 이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmleft | vec{QB} right | > 0]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 221]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 선분 [eqn: rmAB]가 원의 지름이므로 [eqn: rmleft | vec{OA} right | = left | vec{OB} right | = left | vec{OP} right | = left | vec{OQ} right | = 5 sqrt{2}]이고 [eqn: rmvec{PA} cdot vec{PB} = 0]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} + left | vec{PB} right |^{2} = left | vec{AB} right |^{2}]이므로

[eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} + 196 = 200] ∴ [eqn: rmleft | vec{PA} right | = 2]

주어진 조건의 식 [eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot ( vec{PQ} + vec{PB} ) = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]을 전개하면

[eqn: rmvec{PA} cdot vec{PQ} + vec{PA} cdot vec{PB} + vec{PB} cdot vec{PQ} + left | vec{PB} right |^{2} = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]

[eqn: rmvec{PA} cdot vec{PB} = 0], [eqn: rmleft | vec{PB} right |^{2} = 196]을 대입하면

[eqn: rm( vec{PA} + vec{PB} ) cdot vec{PQ} + 196 = 2 left | vec{PQ} right |^{2}]

[eqn: rmO]가 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로 [eqn: rmvec{PA} + vec{PB} = -2 vec{OP}]이고 [eqn: rmvec{PQ} = vec{OQ} - vec{OP}]이므로

[eqn: rm-2 vec{OP} cdot ( vec{OQ} - vec{OP} ) + 196 = 2 left | vec{OQ} - vec{OP} right |^{2}]

[eqn: rm-2 vec{OP} cdot vec{OQ} + 2 left | vec{OP} right |^{2} + 196 = 2 left | vec{OQ} right |^{2} - 4 vec{OP} cdot vec{OQ} + 2 left | vec{OP} right |^{2}]

[eqn: rm2 vec{OP} cdot vec{OQ} + 196 = 2 left | vec{OQ} right |^{2}]

[eqn: rmleft | vec{OQ} right |^{2} = 50]이므로 [eqn: rm2 vec{OP} cdot vec{OQ} = -96] ∴ [eqn: rmvec{OP} cdot vec{OQ} = -48]

한편 [eqn: rmleft | vec{PA} right |^{2} = left | vec{OA} - vec{OP} right |^{2} = left | vec{OA} right |^{2} - 2 vec{OA} cdot vec{OP} + left | vec{OP} right |^{2}]에서

[eqn: rm4 = 50 - 2 vec{OA} cdot vec{OP} + 50] ∴ [eqn: rmvec{OA} cdot vec{OP} = 48]

[eqn: rm {vec{OQ}} =itm {vec{rmOA}} +itn {vec{rmOP}}] ([eqn: m], [eqn: n]은 실수)라 하면

[eqn: rm {vec{OP}} CDOT {vec{OQ}} =itm( {vec{rmOA}} CDOT {vec{rmOP}} )+itn LEFT | rm {vec{OP}} RIGHT | ^{2}]에서 [eqn: 48m + 50n = -48]

즉, [eqn: 24m + 25n = -24] ……①

[eqn: LEFT | {vec{rmOQ}} RIGHT | ^{2} =itm ^{2} LEFT | {vec{rmOA}} RIGHT | ^{2} +it2mn( {vec{rmOA}} CDOT {vec{rmOP}} )+itn ^{2} LEFT | {vec{rmOP}} RIGHT | ^{2}]에서 [eqn: 50m^{2} + 96mn + 50n^{2} = 50]

즉, [eqn: 25m^{2} + 48mn + 25n^{2} = 25] ……②

①에서 [eqn: 25n = -24(m+1)]을 ②에 대입하여 정리하면

[eqn: 25m^{2} + 48m left { - {24} over {25} (m+1) right } + 25 left { - {24} over {25} (m+1) right }^{2} = 25]

[eqn: 625m^{2} - 1152m(m+1) + 576(m+1)^{2} = 625]

[eqn: 49m^{2} - 49 = 0] ∴ [eqn: m = 1] 또는 [eqn: m = -1]

[eqn: m = -1]일 때 [eqn: n = 0]이므로 [eqn: rmvec{OQ} = - vec{OA} = vec{OB}]가 되어 [eqn: rmQ]와 [eqn: rmB]가 일치하므로 [eqn: rmleft | vec{QB} right | > 0]에 모순이다.

따라서 [eqn: m = 1], [eqn: n = - {48} over {25}]이므로 [eqn: rmvec{OQ} = vec{OA} - {48} over {25} vec{OP}]

[eqn: rm {vec{OA}} CDOT {vec{OQ}} = {vec{OA}} CDOT LEFT ( {vec{OA}} - {48} over {25} {vec{OP}} RIGHT )][eqn: rm= LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} - {48} over {25} ( {vec{OA}} CDOT {vec{OP}} )=50- {48} over {25} TIMES 48=- {1054} over {25}]

[eqn: rm {vec{PA}} CDOT {vec{QB}} =( {vec{OA}} - {vec{OP}} ) CDOT (- {vec{OA}} - {vec{OQ}} )][eqn: rm=- LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} - {vec{OA}} CDOT {vec{OQ}} + {vec{OA}} CDOT {vec{OP}} + {vec{OP}} CDOT {vec{OQ}}]

[eqn: = -50 - left ( - {1054} over {25} right ) + 48 - 48 = - {196} over {25}]

[eqn: rmleft | vec{PA} cdot vec{QB} right | = {196} over {25}]이므로 [eqn: p = 25], [eqn: q = 196]

따라서 정답은 [eqn: 221]이다.