수학ETF	2025년_고3_11월	기출문제
	23~30
	미적분

[eqn: lim_{x rightarrow 0} {tan 6x} over {2x}] 의 값은?

③

[eqn: lim from {x -> 0} {tan 6x} over {2x} = lim from {x -> 0} left ( {tan 6x} over {6x} times {6x} over {2x} right ) = 1 times 3 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: int_{0}^{{pi} over {2}} sqrt{sin x - sin^{3} x} dx] 의 값은?

④

[eqn: int_{0}^{{pi} over {2}} sqrt{sin x - sin^{3} x} dx]

[eqn: = int_{0}^{{pi} over {2}} sqrt{sin x (1 - sin^{2} x)} dx][eqn: = int_{0}^{{pi} over {2}} sqrt{sin x cos^{2} x} dx]

[eqn: 0 leq x leq {pi} over {2}]에서 [eqn: cos x geq 0]이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {sinx`cos ^{2} x} dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {sinx} `cosxdx]

[eqn: sin x = t]로 놓으면

[eqn: x = 0]일 때 [eqn: t = 0], [eqn: x = {pi} over {2}]일 때 [eqn: t = 1]이고

[eqn: {dt} over {dx} = cos x]이므로

[eqn: int_{0}^{{pi} over {2}} sqrt{sin x} cos x dx = int_{0}^{1} sqrt{t} dt][eqn: = int_{0}^{1} t^{{1} over {2}} dt][eqn: = left [ {2} over {3} t^{{3} over {2}} right ]_{0}^{1}][eqn: = {2} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sqrt{9n^{2}-5} + 2n < a_{n} < 5n+1]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} { (a_{n}+2)^{2} } over { na_{n}+5n^{2}-2 }]의 값은?

③

주어진 부등식의 각 변을 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: {sqrt{9n^{2}-5} + 2n} over {n} < {a_{n}} over {n} < {5n+1} over {n}]

[eqn: sqrt{9 - {5} over {n^{2}}} + 2 < {a_{n}} over {n} < 5 + {1} over {n}]

[eqn: lim from {n -> inf} left ( sqrt{9 - {5} over {n^{2}}} + 2 right ) = 3 + 2 = 5]이고 [eqn: lim from {n -> inf} left ( 5 + {1} over {n} right ) = 5]이므로

수열의 극한의 대소 관계에 의하여 [eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {n} = 5]

구하는 식의 분모, 분자를 각각 [eqn: n^{2}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} { (a_{n}+2)^{2} } over { na_{n}+5n^{2}-2 } = lim from {n -> inf} { left ( {a_{n}} over {n} + {2} over {n} right )^{2} } over { {a_{n}} over {n} + 5 - {2} over {n^{2}} }]

[eqn: = { (5+0)^{2} } over { 5+5-0 } = {25} over {10} = {5} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y = sqrt{x + x ln x}] 와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x = 1], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

①

[eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정삼각형이므로, 좌표가 [eqn: x]인 점에서의 단면의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하면

[eqn: S(x) = {sqrt{3}} over {4} y^{2} = {sqrt{3}} over {4} (x + x ln x)]

입체도형의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V = int from {1} to {2} S(x) dx = {sqrt{3}} over {4} int from {1} to {2} (x + x ln x) dx]

부분적분법을 이용하여 [eqn: int from {1} to {2} x ln x dx]를 계산하면

[eqn: int from {1} to {2} x ln x dx = left [ {1} over {2} x^{2} ln x right ]_{1}^{2} - int from {1} to {2} left ( {1} over {2} x^{2} times {1} over {x} right ) dx]

[eqn: = 2 ln 2 - left [ {1} over {4} x^{2} right ]_{1}^{2} = 2 ln 2 - {3} over {4}]

따라서

[eqn: int _{1} ^{2} {} (x+x`lnx)dx= LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} +2ln2- {3} over {4} = {3} over {4} +2ln2]

[eqn: V = {sqrt{3}} over {4} left ( {3} over {4} + 2 ln 2 right ) = {sqrt{3} (3 + 8 ln 2)} over {16}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {sqrt{3} (3 + 8 ln 2)} over {16}]	② [eqn: {sqrt{3} (5 + 12 ln 2)} over {24}]	③ [eqn: {sqrt{3} (1 + 12 ln 2)} over {16}]

④ [eqn: {sqrt{3} (1 + 2 ln 2)} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt{3} (1 + 9 ln 2)} over {12}]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x = e^{4t} (1 + sin^{2} pi t)], [eqn: y = e^{4t} (1 - 3 cos^{2} pi t)]
를 [eqn: C] 라 하자. 곡선 [eqn: C] 가 직선 [eqn: y = 3x - 5e]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는?

②

곡선 [eqn: C] 가 직선 [eqn: y = 3x - 5e]와 만나는 점 [eqn: rmP]에 대응하는 매개변수 [eqn: t]의 값을 구하기 위해 [eqn: x], [eqn: y]를 직선의 방정식에 대입하면

[eqn: e^{4t} (1 - 3 cos^{2} pi t) = 3 e^{4t} (1 + sin^{2} pi t) - 5e]

[eqn: 5e = e^{4t} left ( 3 + 3 sin^{2} pi t - 1 + 3 cos^{2} pi t right )]

[eqn: sin^{2} pi t + cos^{2} pi t = 1]이므로

[eqn: 5e = e^{4t} left { 2 + 3 ( sin^{2} pi t + cos^{2} pi t ) right } = 5e^{4t}]

[eqn: e^{4t} = e]에서 [eqn: 4t = 1] [eqn: therefore t = {1} over {4}]

[eqn: x = e^{4t} (1 + sin^{2} pi t)]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dx} over {dt} = 4e^{4t} (1 + sin^{2} pi t) + e^{4t} (2 pi sin pi t cos pi t)]

[eqn: = e^{4t} left { 4 (1 + sin^{2} pi t) + pi sin (2 pi t) right }]

[eqn: y = e^{4t} (1 - 3 cos^{2} pi t)]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dy} over {dt} = 4e^{4t} (1 - 3 cos^{2} pi t) + e^{4t} left { -3 times 2 pi cos pi t times ( - sin pi t ) right }]

[eqn: = e^{4t} left { 4 (1 - 3 cos^{2} pi t) + 3 pi sin (2 pi t) right }]

[eqn: t = {1} over {4}]일 때, [eqn: sin^{2} {pi} over {4} = {1} over {2}], [eqn: cos^{2} {pi} over {4} = {1} over {2}], [eqn: sin {pi} over {2} = 1]이므로

[eqn: {dx} over {dt} = e left { 4 left ( 1 + {1} over {2} right ) + pi times 1 right } = e (6 + pi)]

[eqn: {dy} over {dt} = e left { 4 left ( 1 - {3} over {2} right ) + 3 pi times 1 right } = e (-2 + 3 pi)]

따라서 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {e (3 pi - 2)} over {e (pi + 6)} = {3 pi - 2} over {pi + 6}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3 pi - 4} over {pi + 4}]	② [eqn: {3 pi - 2} over {pi + 6}]	③ [eqn: {3 pi} over {pi + 8}]

④ [eqn: {3 pi + 2} over {pi + 10}]	⑤ [eqn: {3 pi + 4} over {pi + 12}]

함수
[eqn: f(x) = {1} over {2} x^{2} - x + ln (1+x)]
와 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( s,`f LEFT ( s RIGHT ) RIGHT )] [eqn: LEFT ( s>0 RIGHT )]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발과 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( s,`f LEFT ( s RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점 사이의 거리가 [eqn: t]가 되도록 하는 [eqn: s]의 값을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: int_{1 over 2}^{27 over 4} g(t) dt]의 값은?

⑤

[eqn: f(x) = {1} over {2} x^{2} - x + ln (1+x)]에서

[eqn: f'(x) = x - 1 + {1} over {1+x} = {x^{2}} over {1+x}]

점 [eqn: (s, f(s))]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA]라 하면 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (0, f(s))]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (s, f(s))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y - f(s) = f'(s)(x - s)]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y = f(s) - s f'(s)]이므로 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하면 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: (0, f(s) - s f'(s))]이다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리 [eqn: t]는

[eqn: t = left | f(s) - (f(s) - s f'(s)) right | = left | s f'(s) right |]

[eqn: s > 0]이므로 [eqn: f'(s) = {s^{2}} over {1+s} > 0]

∴ [eqn: t = s f'(s) = {s^{3}} over {1+s}]

[eqn: t = {s^{3}} over {1+s} = h(s)]라 하면 [eqn: s = g(t)]이고 [eqn: dt = h'(s) ds]이다.

[eqn: t = {1} over {2}]일 때 [eqn: {s^{3}} over {1+s} = {1} over {2}]에서 [eqn: 2s^{3} - s - 1 = 0] ∴ [eqn: s = 1]

[eqn: t = {27} over {4}]일 때 [eqn: {s^{3}} over {1+s} = {27} over {4}]에서 [eqn: 4s^{3} - 27s - 27 = 0] ∴ [eqn: s = 3]

구하는 정적분은

[eqn: int_{1 over 2}^{27 over 4} g(t) dt = int_{1}^{3} s h'(s) ds]

부분적분법을 적용하면

[eqn: int_{1}^{3} s h'(s) ds = left [ s h(s) right ]_{1}^{3} - int_{1}^{3} h(s) ds]

[eqn: left [ s h(s) right ]_{1}^{3} = 3 h(3) - 1 h(1) = 3 times {27} over {4} - 1 times {1} over {2} = {79} over {4}]

[eqn: int_{1}^{3} h(s) ds = int_{1}^{3} {s^{3}} over {s+1} ds = int_{1}^{3} left ( s^{2} - s + 1 - {1} over {s+1} right ) ds]

[eqn: = left [ {1} over {3} s^{3} - {1} over {2} s^{2} + s - ln (s+1) right ]_{1}^{3}]

[eqn: = left ( 9 - {9} over {2} + 3 - ln 4 right ) - left ( {1} over {3} - {1} over {2} + 1 - ln 2 right ) = {20} over {3} - ln 2]

∴ [eqn: int_{1 over 2}^{27 over 4} g(t) dt = {79} over {4} - left ( {20} over {3} - ln 2 right ) = {157} over {12} + ln 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {161} over {12} + ln 3]	② [eqn: {40} over {3} + ln 3]	③ [eqn: {53} over {4} + ln 2]

④ [eqn: {79} over {6} + ln 2]	⑤ [eqn: {157} over {12} + ln 2]

첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: b_{k+i} = {1} over {a_{i}} - 1] ([eqn: i = 1, 2, 3])
이다.

부등식
[eqn: 0 < sum_{n=1}^{infty} left ( b_{n} - {1} over {a_{n} a_{n+1}} right ) < 30]
이 성립할 때, [eqn: a_{2} times sum_{n=1}^{infty} b_{2n} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a_{1} neq 0]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 97]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항과 공차가 같으므로 이를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_{n} = dn]이다.

조건에 의해 [eqn: b_{k+1} = {1} over {d} - 1], [eqn: b_{k+2} = {1} over {2d} - 1], [eqn: b_{k+3} = {1} over {3d} - 1]

수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 등비수열이므로 등비중항의 성질에 의해

[eqn: left ( {1} over {2d} - 1 right )^{2} = left ( {1} over {d} - 1 right ) left ( {1} over {3d} - 1 right )]

[eqn: {1} over {4d^{2}} - {1} over {d} + 1 = {1} over {3d^{2}} - {4} over {3d} + 1]에서 [eqn: {1} over {12d^{2}} - {1} over {3d} = 0]

[eqn: a_{1} neq 0]에서 [eqn: d neq 0]이므로 [eqn: 1 - 4d = 0] ∴ [eqn: d = {1} over {4}]

[eqn: d = {1} over {4}]을 대입하면 [eqn: b_{k+1} = 3], [eqn: b_{k+2} = 1], [eqn: b_{k+3} = {1} over {3}]이므로 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 공비 [eqn: r = {1} over {3}]이다.

첫째항을 [eqn: b_{1}]이라 하면 [eqn: b_{k+1} = b_{1} left ( {1} over {3} right )^{k} = 3]에서 [eqn: b_{1} = 3^{k+1}]

등비급수의 합 공식에 의해

[eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{n} = {3^{k+1}} over {1 - {1} over {3}} = {3^{k+2}} over {2}]

한편 [eqn: a_{n} = {n} over {4}]이므로

[eqn: sum from {n=1} to {inf} {1} over {a_{n} a_{n+1}} = sum from {n=1} to {inf} {16} over {n(n+1)} = 16 sum from {n=1} to {inf} left ( {1} over {n} - {1} over {n+1} right ) = 16]

주어진 부등식에 대입하면

[eqn: 0 < {3^{k+2}} over {2} - 16 < 30]에서 [eqn: 32 < 3^{k+2} < 92]

이를 만족하는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2]이다.

[eqn: k = 2]일 때 [eqn: b_{1} = 27], [eqn: r = {1} over {3}]이므로 수열 [eqn: left { b_{2n} right }]은 첫째항이 [eqn: b_{2} = 9], 공비가 [eqn: r^{2} = {1} over {9}]인 등비수열이다.

[eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{2n} = {9} over {1 - {1} over {9}} = {81} over {8}]

[eqn: a_{2} = {2} over {4} = {1} over {2}]이므로

[eqn: a_{2} times sum from {n=1} to {inf} b_{2n} = {1} over {2} times {81} over {8} = {81} over {16}]

[eqn: p = 16], [eqn: q = 81]이므로 [eqn: p+q = 97]

따라서 정답은 [eqn: 97]이다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: f^{-1}(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left | x right | leq 1]일 때, [eqn: 4 times (f^{-1}(x))^{2} = x^{2}(x^{2}-5)^{2}]이다.

(나) [eqn: left | x right | > 1]일 때, [eqn: left | f^{-1}(x) right | = e^{left | x right | - 1} + 1]이다.

실수 [eqn: m]에 대하여 기울기가 [eqn: m]이고 점 [eqn: (1, 0)]을 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(m)]이라 하자. 함수 [eqn: g(m)]이 [eqn: m=a], [eqn: m=b (a < b)]에서 불연속일 때, [eqn: g(a) times left ( lim_{m rightarrow a+} g(m) right ) + g(b) times left ( {ln b} over {b} right )^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim_{x rightarrow infty} {ln x} over {x} = 0])

[eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수이므로 역함수 [eqn: f^{-1}(x)]도 증가하는 연속함수이다.

조건 (가)에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f^{-1}(0) = 0]이므로 [eqn: x>0]일 때 [eqn: f^{-1}(x)>0]이고, [eqn: x<0]일 때 [eqn: f^{-1}(x)<0]이다.

조건 (가), (나)에 의해 [eqn: f^{-1}(x)]의 식을 구하면

[eqn: f^{-1}(x) = left { matrix { -e^{-x-1}-1 & left ( x < -1 right ) # - {1} over {2} x^{3} + {5} over {2} x & left ( -1 leq x leq 1 right ) # e^{x-1}+1 & left ( x > 1 right ) } right .]

직선 [eqn: y = m(x-1)]과 곡선 [eqn: y = f(x)]의 교점의 개수 [eqn: g(m)]은 역함수의 성질에 의해 직선 [eqn: x = m(y-1)]과 곡선 [eqn: y = f^{-1}(x)]의 교점의 개수와 같다.

[eqn: m=0]일 때, 직선 [eqn: x=0]과 곡선 [eqn: y=f^{-1}(x)]의 교점은 [eqn: (0, 0)] 하나뿐이므로 [eqn: g(0) = 1]이다.

[eqn: m neq 0]일 때, [eqn: x = m(y-1)]에서 [eqn: y = {1} over {m} x + 1]이다.

[eqn: k = {1} over {m}]이라 하면 직선 [eqn: y = kx + 1]은 항상 점 [eqn: (0, 1)]을 지난다.

직선 [eqn: y = kx + 1]과 곡선 [eqn: y = f^{-1}(x)]의 교점의 개수를 [eqn: N(k)]라 하자.

[eqn: x geq 0] 구간에서 곡선 [eqn: y = f^{-1}(x)]와 직선 [eqn: y = kx + 1]의 교점의 개수를 확인해 보자.

원점에서 곡선 [eqn: y = e^{x-1}]에 그은 접선의 접점을 [eqn: (t, e^{t-1})]이라 하면 기울기는 [eqn: e^{t-1}]이므로 [eqn: e^{t-1} = {e^{t-1}} over {t}]에서 [eqn: t=1]이다.

즉, 원점에서 그은 접선의 방정식은 [eqn: y=x]이므로 [eqn: y = e^{x-1}]과 [eqn: y = kx]는 [eqn: k=1]일 때 [eqn: x=1]에서 접하고, [eqn: k>1]일 때 [eqn: x>1]에서 [eqn: 1]개의 교점을 가지며, [eqn: k<1]일 때 [eqn: x>1]에서 교점이 없다.

이를 바탕으로 [eqn: x in [0, 1]] 구간의 곡선과 종합하면 [eqn: k]의 값에 관계없이 [eqn: x geq 0]에서 교점은 항상 [eqn: 1]개 존재한다.

[eqn: x < 0] 구간에서 점 [eqn: (0, 1)]을 지나고 곡선 [eqn: y = -e^{-x-1}-1] ([eqn: x < -1])에 접하는 접선의 방정식을 구해보자.

접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p] ([eqn: p < -1])라 하면 [eqn: y' = e^{-x-1}]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y - (-e^{-p-1}-1) = e^{-p-1}(x-p)]

이 직선이 [eqn: (0, 1)]을 지나므로

[eqn: 1 + e^{-p-1} + 1 = e^{-p-1}(-p)]에서 [eqn: 2 = e^{-p-1}(-p-1)]

[eqn: -p-1 = alpha]라 하면 [eqn: alpha > 0]이고 [eqn: alpha e^{alpha} = 2]이다.

이때 접선의 기울기를 [eqn: k_{0}]이라 하면 [eqn: k_{0} = e^{-p-1} = e^{alpha}]이다.

따라서 [eqn: x < 0]에서 교점의 개수는 [eqn: k < k_{0}]일 때 [eqn: 0]개, [eqn: k = k_{0}]일 때 [eqn: 1]개, [eqn: k > k_{0}]일 때 [eqn: 2]개이다.

전체 교점의 개수 [eqn: N(k)]는 [eqn: x geq 0]에서의 교점 [eqn: 1]개를 더하여

[eqn: N(k) = left { matrix { 1 & left ( k < k_{0} right ) # 2 & left ( k = k_{0} right ) # 3 & left ( k > k_{0} right ) } right .]

[eqn: m = {1} over {k}]이므로 [eqn: m]에 따른 교점의 개수 [eqn: g(m)]을 구하면

[eqn: g(m) = left { matrix { 1 & left ( m leq 0 right ) # 3 & left ( 0 < m < {1} over {k_{0}} right ) # 2 & left ( m = {1} over {k_{0}} right ) # 1 & left ( m > {1} over {k_{0}} right ) } right .]

함수 [eqn: g(m)]은 [eqn: m=0], [eqn: m={1} over {k_{0}}]에서 불연속이므로 [eqn: a = 0], [eqn: b = {1} over {k_{0}} = e^{- alpha}]이다.

[eqn: g(a) = g(0) = 1], [eqn: lim from {m -> 0+} g(m) = 3], [eqn: g(b) = 2]이고

[eqn: {ln b} over {b} = {- alpha} over {e^{- alpha}} = - alpha e^{alpha} = -2]이다.

따라서 구하는 값은

[eqn: 1 times 3 + 2 times (-2)^{2} = 11]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.