2024년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 9월 모의고사는 21번, 29번처럼 제한된 범위에서 이차함수의 그래프 개형을 정확히 추론하고 경우를 나누는 문항에서 등급이 갈렸을 것입니다. 단순 공식 암기만으로는 해결하기 어려운, 도형과 함수를 융합한 16번, 20번, 28번 같은 문항들이 중상위권 학생들의 시간과 멘탈을 흔들었을 가능성이 높습니다. 이러한 출제 경향은 수능 수학에서 고난도 문항을 설계하는 방식과 그 맥을 같이하므로, 지금부터라도 각 개념이 좌표평면 위에서 어떻게 기하학적으로 구현되는지 시각적으로 이해하는 훈련을 꾸준히 해야 합니다.

• 16번 — 원의 중심 (a, a)와 두 직선 y=2x, y=kx 사이의 관계를 '점과 직선 사이의 거리' 공식으로 풀어내는 문제입니다. 출제 의도는 두 번의 거리 공식 적용을 통해 미지수를 구해내는 계산 능력을 확인하는 것이죠. 많은 학생들이 첫 번째 조건(직선 y=2x와의 거리가 √5)을 이용해 a값을 구하는 것까지는 성공하지만, 그 이후 원이 y=kx에 '접한다'는 조건을 다시 거리 공식으로 연결하지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. 힌트는 '접한다'는 말은 '원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다'는 사실을 이용하라는 결정적인 신호입니다.
  
• 20번 — 선분의 내분점 공식과 삼각형의 넓이 이등분이라는 두 가지 핵심 개념이 결합된 문제입니다. 이 문제의 함정은 '직선 PC가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분한다'는 조건을 어설프게 암기한 공식으로 접근하려는 것입니다. 직선이 삼각형의 꼭짓점을 지나지 않기 때문에, '밑변을 이등분한다'는 성질을 쓸 수 없죠. 이 문제 해결의 실마리는 먼저 내분점 P의 좌표를 a에 대한 식으로 표현한 뒤, 직선 PC의 방정식을 구하는 것입니다. 그 후, 직선 PC가 삼각형 AOB의 변 OA 또는 OB와 만나는 교점을 찾아, 잘려나간 부분의 삼각형 넓이가 전체 넓이의 절반이 된다는 등식을 세워야 a값을 구할 수 있습니다.
  
• 21번 — 구간에 따라 다르게 정의된 함수 h(x)의 그래프를 추론하는, 고난도 문항의 전형적인 패턴입니다. 출제 의도는 두 이차함수의 교점(α, β)을 기준으로 나뉜 그래프의 개형을 상상하고, y=k와의 교점이 3개가 되는 순간의 기하학적 의미를 파악하는 데 있습니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은, 교점이 3개가 되는 순간이 '한쪽 포물선의 꼭짓점을 지날 때'와 '두 포물선의 교점을 지날 때'라는 사실을 놓치는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 k=2와 k=3이라는 두 상수입니다. 둘 중 하나는 반드시 f(x) 또는 g(x)의 꼭짓점의 y좌표가 되고, 다른 하나는 두 그래프의 교점의 y좌표(f(α)=g(α))가 될 수밖에 없다는 사실을 간파해야 문제가 풀리기 시작합니다.
  
• 수학 28번 — 이차함수의 그래프와 도형(정사각형)의 성질을 결합한 최고난도 문항입니다. 출제자는 단순히 식을 계산하는 능력을 넘어, '정사각형'이라는 조건이 주는 기하학적 의미(네 변의 길이가 같고, 이웃한 변이 수직)를 좌표평면 위에서 식으로 번역할 수 있는지를 묻고 있습니다. 많은 학생들이 복잡한 점들의 좌표를 설정하다가 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 돌파구는 두 가지입니다. 첫째, '두 직선이 수직이면 기울기의 곱은 -1이다'라는 성질을 이용해 직선 AP와 직선 BC(또는 PQ)의 관계를 식으로 세우는 것. 둘째, '정사각형의 한 변의 길이'를 두 점 사이의 거리 공식과 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 두 가지 방식으로 표현하고, 그 두 값이 같다고 등식을 세우는 것입니다.
  
• 수학 29번 — 제한된 범위 내에서 이차함수의 최대·최소를 다루는 문제로, 축의 위치에 따라 케이스를 나누는 능력이 관건입니다. 출제 의도는 정의역 [0, 3]과 [0, 5]에 따라 최대·최소값이 어떻게 변하는지를 축의 방정식 x=p를 기준으로 끈질기게 추적할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 p의 범위를 (1) 0<p<3, (2) p≥3 정도로만 나누고, 더 넓은 범위인 [0, 5]에서의 변화를 꼼꼼히 따지지 않는 것입니다. 이 문제의 핵심 실마리는 (가) 조건과 (나) 조건을 만족하는 p의 범위를 각각 구한 뒤, 두 조건을 동시에 만족시키는 공통 범위를 찾는 것입니다. 각 케이스별로 최댓값과 최솟값을 p와 q에 대한 식으로 나타내고, 주어진 조건(m, m+4, 4m)에 대입하여 연립방정식을 풀어야 합니다.
  
• 수학 30번 — 원의 방정식, 포물선, 그리고 접선 개념이 총망라된 킬러 문항입니다. 출제 의도는 '원이 x축과 다른 직선에 동시에 접한다'는 조건의 기하학적 의미를 파악하고, 이를 만족하는 원의 중심이 그리는 자취(두 직선의 각의 이등분선)와 주어진 이차함수 그래프의 교점이 3개일 조건을 찾아내는 것입니다. 가장 큰 함정은 '교점이 3개'라는 조건의 해석입니다. 이는 보통 '한 직선과는 접하고, 다른 직선과는 두 점에서 만난다'는 상황을 의미합니다. 문제 해결의 첫 단추는 원의 중심 좌표를 (x, y)라 두고, 원이 x축(y=0)과 직선 y=4/3x (즉, 4x-3y=0)에 동시에 접할 조건을 식으로 나타내는 것입니다. 이 과정에서 중심의 자취가 두 개의 직선임을 밝혀내고, 이 두 직선과 이차함수 y=a(x-b)²의 위치 관계를 분석하는 것이 문제 해결의 핵심 경로입니다.