수학ETF	25_고1_9월	기출문제
	1 ~ 30

두 다항식 [eqn: A=x^{2}+3xy+2y^{2}], [eqn: B=2x^{2}-3xy-y^{2}]에 대하여 [eqn: A+B]를 간단히 하면?

③

주어진 두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]를 더하면

[eqn: A+B = (x^{2}+3xy+2y^{2}) + (2x^{2}-3xy-y^{2})]

동류항끼리 모아서 계산하면

[eqn: = (1+2)x^{2} + (3-3)xy + (2-1)y^{2}][eqn: = 3x^{2} + y^{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: x^{2}+3y^{2}]	② [eqn: 3x^{2}-2y^{2}]	③ [eqn: 3x^{2}+y^{2}]

④ [eqn: x^{2}-2xy+3y^{2}]	⑤ [eqn: 3x^{2}-2xy+y^{2}]

복소수 [eqn: z=1-2i]에 대하여 [eqn: z+bar{z}]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}]이고, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

②

[eqn: z = 1 - 2i]이므로 [eqn: bar{z} = 1 + 2i]

[eqn: z + bar{z} = (1 - 2i) + (1 + 2i)][eqn: = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식
[eqn: x^{2}+ax+b=x(x+3)+4]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a times b]의 값은?

①

주어진 등식의 우변을 전개하면

[eqn: x^{2} + ax + b = x^{2} + 3x + 4]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수가 같아야 한다.

[eqn: x]의 계수를 비교하면 [eqn: a = 3]

상수항을 비교하면 [eqn: b = 4]

∴ [eqn: a times b = 3 times 4 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`3 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it2,`a RIGHT )] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{17}] 일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

③

두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`3 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,`ita RIGHT )] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{17}]이므로

[eqn: sqrt{(2 - 1)^{2} + (a - 3)^{2}} = sqrt{17}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 1 + (a - 3)^{2} = 17], [eqn: a^{2} - 6a + 10 = 17], [eqn: a^{2} - 6a - 7 = 0]

[eqn: (a - 7)(a + 1) = 0]

∴ [eqn: a = 7] 또는 [eqn: a = -1]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a = 7]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

직선 [eqn: y=kx+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 직선이 점 [eqn: LEFT ( 3,`1 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

①

직선 [eqn: y = kx + 1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: y - (-2) = k(x - 1) + 1]

즉, [eqn: y + 2 = k(x - 1) + 1]에서

[eqn: y = k(x - 1) - 1]

이 직선이 점 [eqn: (3, 1)]을 지나므로 [eqn: x = 3], [eqn: y = 1]을 대입하면

[eqn: 1 = k(3 - 1) - 1], [eqn: 1 = 2k - 1], [eqn: 2k = 2] ∴ [eqn: k = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`2 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( ita,`b RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 2,`3 RIGHT )]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

④

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표를 구하면

[eqn: x]좌표는 [eqn: {1 times a + 2 times 1} over {1 + 2} = {a + 2} over {3}]

[eqn: y]좌표는 [eqn: {1 times b + 2 times 2} over {1 + 2} = {b + 4} over {3}]

이 내분점의 좌표가 [eqn: (2, 3)]이므로

[eqn: {a + 2} over {3} = 2]에서 [eqn: a + 2 = 6] ∴ [eqn: a = 4]

[eqn: {b + 4} over {3} = 3]에서 [eqn: b + 4 = 9] ∴ [eqn: b = 5]

따라서 [eqn: a + b = 4 + 5 = 9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-x+k=0]이 서로 다른 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖는다. [eqn: alpha^{3}+beta^{3}=10]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

⑤

이차방정식 [eqn: x^{2}-x+k=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha+beta = 1], [eqn: alpha beta = k]

[eqn: alpha^{3}+beta^{3} = (alpha+beta)^{3} - 3alpha beta(alpha+beta)]이므로

[eqn: 10 = 1^{3} - 3 times k times 1], [eqn: 10 = 1 - 3k], [eqn: 3k = -9] ∴ [eqn: k = -3]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

[eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: x^{2}+ax-12 leq 0]의 해가 [eqn: -4 leq x leq b]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

⑤

이차부등식 [eqn: x^{2}+ax-12 leq 0]의 해가 [eqn: -4 leq x leq b]이므로

이차방정식 [eqn: x^{2}+ax-12 = 0]의 두 근은 [eqn: -4], [eqn: b]이다.

근과 계수의 관계에서 두 근의 곱은 [eqn: -4 times b = -12]

∴ [eqn: b = 3]

두 근의 합은 [eqn: -4 + b = -a], [eqn: b = 3]이므로 [eqn: -4 + 3 = -a]

∴ [eqn: a = 1]

따라서 [eqn: a-b = 1 - 3 = -2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

좌표평면에서 점 [eqn: rmA LEFT ( 5,`5 RIGHT )]와 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=8] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmAP]의 길이의 최솟값은?

②

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rmO(0, 0)]이고, 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면 [eqn: r = sqrt{8} = 2 sqrt{2}]이다.

원 밖의 점 [eqn: rmA(5, 5)]에서 원 위의 점 [eqn: rmP]까지의 거리의 최솟값은 선분 [eqn: rmOA]의 길이에서 원의 반지름의 길이 [eqn: r]을 뺀 값과 같다.

선분 [eqn: rmOA]의 길이는

[eqn: rmbarOA`= sqrt {5 ^{2} +5 ^{2}} = sqrt {50} =5 sqrt {2}]

따라서 선분 [eqn: rmAP]의 길이의 최솟값은

[eqn: rmbarOA`-itr=5 sqrt {2} -2 sqrt {2} =3 sqrt {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {5 sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: 3 sqrt{2}]	③ [eqn: {7 sqrt{2}} over {2}]

④ [eqn: 4 sqrt{2}]	⑤ [eqn: {9 sqrt{2}} over {2}]

점 [eqn: LEFT ( 1,`a RIGHT )]를 지나고 직선 [eqn: 2x+3y+1=0]에 수직인 직선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 5 over 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

직선 [eqn: 2x+3y+1=0]에서 [eqn: y = -{2} over {3}x - {1} over {3}]이므로 이 직선의 기울기는 [eqn: -{2} over {3}]이다.

구하는 직선은 이 직선에 수직이므로 기울기를 [eqn: m]이라 하면

[eqn: m times left ( -{2} over {3} right ) = -1] ∴ [eqn: m = {3} over {2}]

이 직선의 [eqn: y]절편이 [eqn: {5} over {2}]이므로 직선의 방정식은 [eqn: y = {3} over {2}x + {5} over {2}]

이 직선이 점 [eqn: (1, a)]를 지나므로 [eqn: a = {3} over {2} times 1 + {5} over {2} = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

연립부등식
[eqn: left { matrix { x^{2}-x-12 leq 0 # x^{2}-3x+2 > 0 } right .]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

①

첫 번째 부등식 [eqn: x^{2}-x-12 leq 0]에서

[eqn: (x-4)(x+3) leq 0], [eqn: -3 leq x leq 4] ……①

두 번째 부등식 [eqn: x^{2}-3x+2 > 0]에서

[eqn: (x-1)(x-2) > 0], [eqn: x < 1] 또는 [eqn: x > 2] ……②

①, ②에서 연립부등식의 해는

[eqn: -3 leq x < 1] 또는 [eqn: 2 < x leq 4]

이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로

모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 3 + 4 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: (x^{2}+x)(x^{2}+x+2)-8] 이 [eqn: (x-1)(x+a)(x^{2}+x+b)] 로 인수분해될 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

④

[eqn: x^{2}+x = X]라 하면

[eqn: (x^{2}+x)(x^{2}+x+2)-8 = X(X+2)-8]

[eqn: = X^{2}+2X-8][eqn: = (X-2)(X+4)]

[eqn: X = x^{2}+x]를 대입하면

[eqn: (x^{2}+x-2)(x^{2}+x+4)][eqn: = (x-1)(x+2)(x^{2}+x+4)]

이 식이 [eqn: (x-1)(x+a)(x^{2}+x+b)]와 같으므로

[eqn: a = 2], [eqn: b = 4]

∴ [eqn: a+b = 2+4 = 6]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

점 [eqn: LEFT ( 1,`3 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: k]인 직선 [eqn: l]이 있다. 원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{5}]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

③

점 [eqn: (1, 3)]을 지나고 기울기가 [eqn: k]인 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y = k(x - 1) + 3 = kx - k + 3]

원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{5}]라는 것은 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: (x, y)]에 대하여 원점과의 거리의 제곱인 [eqn: x^{2} + y^{2}]의 최솟값이 [eqn: 5]라는 의미이다.

[eqn: x^{2} + y^{2} = x^{2} + (kx - k + 3)^{2}][eqn: = (k^{2} + 1)x^{2} - 2k(k - 3)x + (k - 3)^{2}]

[eqn: = (k^{2} + 1) left ( x - {k(k - 3)} over {k^{2} + 1} right )^{2} - {k^{2}(k - 3)^{2}} over {k^{2} + 1} + (k - 3)^{2}]

[eqn: = (k^{2} + 1) left ( x - {k(k - 3)} over {k^{2} + 1} right )^{2} + {(k - 3)^{2}} over {k^{2} + 1}]

이 이차함수의 최솟값이 [eqn: 5]이므로

[eqn: {(k - 3)^{2}} over {k^{2} + 1} = 5], [eqn: (k - 3)^{2} = 5(k^{2} + 1)], [eqn: k^{2} - 6k + 9 = 5k^{2} + 5]

[eqn: 4k^{2} + 6k - 4 = 0], [eqn: 2k^{2} + 3k - 2 = 0], [eqn: (2k - 1)(k + 2) = 0]

[eqn: ∴ k = {1} over {2}] 또는 [eqn: k = -2]

[eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k = {1} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-2(k-a)x+k^{2}-4k+b=0]이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

⑤

이차방정식 [eqn: x^{2}-2(k-a)x+k^{2}-4k+b=0]이 중근을 가지므로 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (k-a)^{2} - (k^{2}-4k+b) = 0]

[eqn: k^{2}-2ak+a^{2}-k^{2}+4k-b = 0], [eqn: (4-2a)k + a^{2}-b = 0]

이 식이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하므로 [eqn: k]에 대한 항등식이다.

따라서 [eqn: 4-2a=0], [eqn: a^{2}-b=0]

[eqn: 4-2a=0]에서 [eqn: a=2]

[eqn: a^{2}-b=0]에 [eqn: a=2]를 대입하면 [eqn: 4-b=0]에서 [eqn: b=4]

∴ [eqn: a+b = 2+4 = 6]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^{3}+5x^{2}+(a-6)x-a=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

②

주어진 삼차방정식의 좌변을 [eqn: f(x)]라 하면 [eqn: f(1) = 1 + 5 + a - 6 - a = 0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 가진다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면 [eqn: (x-1)(x^{2}+6x+a)=0]

이 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 다음 두 가지 경우 중 하나를 만족해야 한다.

(ⅰ) 이차방정식 [eqn: x^{2}+6x+a=0]이 [eqn: x=1]을 근으로 갖는 경우

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 1+6+a=0] ∴ [eqn: a=-7]

이때 주어진 방정식은 [eqn: (x-1)(x^{2}+6x-7)=0]에서 [eqn: (x-1)^{2}(x+7)=0]이 되어 서로 다른 두 실근 [eqn: x=1], [eqn: x=-7]을 가지므로 조건을 만족한다.

(ⅱ) 이차방정식 [eqn: x^{2}+6x+a=0]이 [eqn: x neq 1]인 중근을 갖는 경우

이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = 3^{2}-a=0] ∴ [eqn: a=9]

이때 주어진 방정식은 [eqn: (x-1)(x^{2}+6x+9)=0]에서 [eqn: (x-1)(x+3)^{2}=0]이 되어 서로 다른 두 실근 [eqn: x=1], [eqn: x=-3]을 가지므로 조건을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 모든 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -7], [eqn: 9]이므로 그 합은 [eqn: -7+9=2]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : (x-a)^{2}+(y-a)^{2}=10]이 있다. 원 [eqn: C] 의 중심과 직선 [eqn: y=2x] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{5}] 이고 직선 [eqn: y=kx]가 원 [eqn: C] 에 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: 0<k<1])

③

원 [eqn: C] 의 중심 [eqn: (a, a)]와 직선 [eqn: y=2x] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{5}]이므로, 중심이 [eqn: (a, a)]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{5}]인 원 [eqn: (x-a)^{2} + (y-a)^{2} = 5]는 직선 [eqn: y=2x]와 접한다.

[eqn: y=2x]를 원의 방정식에 대입하면

[eqn: (x-a)^{2} + (2x-a)^{2} = 5]

[eqn: x^{2} - 2ax + a^{2} + 4x^{2} - 4ax + a^{2} - 5 = 0]

[eqn: 5x^{2} - 6ax + 2a^{2} - 5 = 0]

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D_{1}]에 대하여

[eqn: {D_{1}} over {4} = (-3a)^{2} - 5(2a^{2} - 5) = 0], [eqn: 9a^{2} - 10a^{2} + 25 = 0], [eqn: a^{2} = 25]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 5]이다.

따라서 원 [eqn: C] 의 방정식은 [eqn: (x-5)^{2} + (y-5)^{2} = 10]이다.

직선 [eqn: y=kx]가 원 [eqn: C] 에 접하므로, [eqn: y=kx]를 원 [eqn: C] 의 방정식에 대입하면

[eqn: (x-5)^{2} + (kx-5)^{2} = 10]

[eqn: x^{2} - 10x + 25 + k^{2}x^{2} - 10kx + 25 - 10 = 0]

[eqn: (k^{2}+1)x^{2} - 10(k+1)x + 40 = 0]

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D_{2}]에 대하여

[eqn: {D_{2}} over {4} = left { -5(k+1) right }^{2} - 40(k^{2}+1) = 0]

[eqn: 25(k^{2} + 2k + 1) - 40k^{2} - 40 = 0]

[eqn: 25k^{2} + 50k + 25 - 40k^{2} - 40 = 0], [eqn: -15k^{2} + 50k - 15 = 0]

[eqn: 3k^{2} - 10k + 3 = 0], [eqn: (3k-1)(k-3) = 0]

∴ [eqn: k = {1} over {3}] 또는 [eqn: k = 3]

이때 [eqn: 0 < k < 1]이므로 [eqn: k = {1} over {3}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {5} over {18}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {7} over {18}]	⑤ [eqn: {4} over {9}]

[eqn: 1 leq k leq 3]인 실수 [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: y=k(x+4)] 위에 [eqn: x]좌표가 [eqn: -k]인 점 [eqn: rmP]가 있다. 두 점 [eqn: rmQ LEFT ( -2,`0 RIGHT )], [eqn: rmR LEFT ( 0,`1 RIGHT )]에 대하여 사각형 [eqn: rmPQOR]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

④

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -k]이므로 직선 [eqn: y = k(x+4)]에 대입하면

[eqn: y = k(-k+4) = -k^{2} + 4k]

∴ [eqn: RMP(IT-k,-k ^{2} +4k)]

그래프에서 사각형 [eqn: rmPQOR]은 [eqn: y]축을 기준으로 삼각형 [eqn: rmPQO]와 삼각형 [eqn: rmPRO]로 나눌 수 있으므로 두 삼각형의 넓이의 합을 구한다.

삼각형 [eqn: rmPQO]의 밑변을 선분 [eqn: rmOQ]라 하면 길이는 [eqn: 2]이고, 높이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표인 [eqn: -k^{2} + 4k]이다.

∴ (삼각형 [eqn: rmPQO]의 넓이) [eqn: = {1} over {2} times 2 times (-k^{2} + 4k) = -k^{2} + 4k]

삼각형 [eqn: rmPRO]의 밑변을 선분 [eqn: rmOR]이라 하면 길이는 [eqn: 1]이고, 높이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 절댓값인 [eqn: k]이다.

∴ (삼각형 [eqn: rmPRO]의 넓이) [eqn: = {1} over {2} times 1 times k = {1} over {2} k]

사각형 [eqn: rmPQOR]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = (-k^{2} + 4k) + {1} over {2} k = -k^{2} + {9} over {2} k]

이를 완전제곱식으로 변형하면

[eqn: S = - left ( k^{2} - {9} over {2} k right ) = - left ( k - {9} over {4} right )^{2} + {81} over {16}]

[eqn: 1 leq k leq 3]이므로 [eqn: k = {9} over {4}]일 때 사각형 [eqn: rmPQOR]의 넓이는 최댓값 [eqn: {81} over {16}]을 갖는다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {75} over {16}]	③ [eqn: {39} over {8}]

④ [eqn: {81} over {16}]	⑤ [eqn: {21} over {4}]

다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x^{3}-1]로 나눈 몫과 나머지는 서로 같다.

(나) [eqn: f(x)-x]는 [eqn: x^{2}+x+1]로 나누어떨어진다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 72]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

①

조건 (가)에서 [eqn: f(x)]를 [eqn: 3]차 다항식 [eqn: x^{3}-1]로 나눈 나머지는 [eqn: 2]차 이하의 다항식이므로 몫과 나머지를 모두 [eqn: R(x)]라 하면

[eqn: f(x) = (x^{3}-1)R(x) + R(x)]

[eqn: f(x) = x^{3}R(x)] ……①

조건 (나)에서 [eqn: f(x)-x]가 [eqn: x^{2}+x+1]로 나누어떨어지므로

[eqn: f(x)-x = (x^{3}-1)R(x) + R(x) - x]

[eqn: = (x-1)(x^{2}+x+1)R(x) + R(x) - x]

이때 [eqn: (x-1)(x^{2}+x+1)R(x)]는 [eqn: x^{2}+x+1]로 나누어떨어지므로 [eqn: R(x)-x]도 [eqn: x^{2}+x+1]로 나누어떨어져야 한다.

[eqn: R(x)]가 [eqn: 2]차 이하의 다항식이므로 [eqn: R(x)-x]도 [eqn: 2]차 이하의 다항식이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: R(x)-x = a(x^{2}+x+1)]이라 하면

[eqn: R(x) = a(x^{2}+x+1) + x] ……②

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 72]이므로 나머지정리에 의해 [eqn: f(2) = 72]이다.

①에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: f(2) = 2^{3} times R(2) = 8R(2) = 72]

∴ [eqn: R(2) = 9]

②에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: R(2) = a(2^{2}+2+1) + 2 = 7a + 2]

[eqn: 7a + 2 = 9]에서 [eqn: 7a = 7]

∴ [eqn: a = 1]

따라서 [eqn: R(x) = x^{2}+x+1+x = x^{2}+2x+1]이다.

구하는 값은 [eqn: f(1)]이므로 ①에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1) = 1^{3} times R(1) = R(1)]

[eqn: R(1) = 1^{2} + 2 times 1 + 1 = 4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

최고차항의 계수의 절댓값이 같은 두 이차함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고, 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: -1]이다. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(-1)+g(-1)]의 값은?

(가) [eqn: f(x)-g(x)=-4(x+3)(x-2)]

(나) [eqn: f(-3)+g(2)=5]

③

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수를 각각 [eqn: a], [eqn: p]라 하면

조건 (가)에서 [eqn: f(x) - g(x) = -4(x+3)(x-2) = -4x^{2} - 4x + 24]이므로 [eqn: a - p = -4]이다.

최고차항의 계수의 절댓값이 같으므로 [eqn: left | a right | = left | p right |]이고, [eqn: a = p]이면 [eqn: a - p = 0]이 되어 모순이므로 [eqn: a = -p]이다.

[eqn: a - (-a) = -4]에서 [eqn: 2a = -4]

∴ [eqn: a = -2], [eqn: p = 2]

두 그래프의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 방정식 [eqn: f(x) - g(x) = 0]의 근이므로

[eqn: -4(x+3)(x-2) = 0]에서 [eqn: x = -3] 또는 [eqn: x = 2]이다.

두 교점의 좌표를 [eqn: rmA LEFT ( -3,`itf LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT )]， [eqn: rmB LEFT ( 2,`itf LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]라 하면 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: -1]이므로

[eqn: {f(2) - f(-3)} over {2 - (-3)} = -1]

∴ [eqn: f(2) - f(-3) = -5] ……①

교점 [eqn: rmB]에서 [eqn: f(2) = g(2)]이므로 조건 (나)의 [eqn: f(-3) + g(2) = 5]는

[eqn: f(-3) + f(2) = 5] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2f(2) = 0]에서 [eqn: f(2) = 0]이고 [eqn: f(-3) = 5]이다.

[eqn: f(x) = -2x^{2} + bx + c]라 하면

[eqn: f(2) = -8 + 2b + c = 0]에서 [eqn: 2b + c = 8]

[eqn: f(-3) = -18 - 3b + c = 5]에서 [eqn: -3b + c = 23]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: b = -3], [eqn: c = 14]이므로

[eqn: f(x) = -2x^{2} - 3x + 14]

조건 (가)에서 [eqn: g(x) = f(x) + 4x^{2} + 4x - 24]이므로

[eqn: g(x) = (-2x^{2} - 3x + 14) + 4x^{2} + 4x - 24 = 2x^{2} + x - 10]

[eqn: f(-1) = -2(-1)^{2} - 3(-1) + 14 = 15]

[eqn: g(-1) = 2(-1)^{2} + (-1) - 10 = -9]

∴ [eqn: f(-1) + g(-1) = 15 + (-9) = 6]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT ( -8,`ita RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 7,`3 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( -6,`0 RIGHT )]이 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 직선 [eqn: rmPC]가 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이를 이등분한다. 양수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

④

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( {2 TIMES 7+1 TIMES (-8)} over {2+1} , {2 TIMES 3+1 TIMES ITa} over {2+1} RIGHT )]

즉, [eqn: rm P LEFT ( 2, {ita+6} over {3} RIGHT )]이다.

그래프에서 점 [eqn: rmC]는 [eqn: x]축 음의 방향에 있고 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 2]사분면, 점 [eqn: rmB]는 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 직선 [eqn: rmPC]는 선분 [eqn: rmOA]와 만난다.

직선 [eqn: rmPC]가 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하므로 삼각형 [eqn: rmAOP]의 넓이는 [eqn: {2} over {3} S]이다.

직선 [eqn: rmPC]가 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이를 이등분하므로 삼각형 [eqn: rmAQP]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} S]이다.

삼각형 [eqn: rmAOP]와 삼각형 [eqn: rmAQP]는 점 [eqn: rmP]를 공통 꼭짓점으로 하므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.

[eqn: rmbarAQ`:rmbarAO`=it {1} over {2} S: {2} over {3} S=3:4]이므로 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAO]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점이다.

[eqn: rmA(-8,`ita)], [eqn: rmO(0, 0)]이므로 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rmQ LEFT ( {3 TIMES 0+1 TIMES (-8)} over {3+1} , {3 TIMES 0+1 TIMES ita} over {3+1} RIGHT )]

즉, [eqn: rmQ left ( -2, {a} over {4} right )]이다.

세 점 [eqn: rmC(-6, 0)], [eqn: rm Q LEFT ( -2, {ita} over {4} RIGHT )], [eqn: rm P LEFT ( 2, {ita+6} over {3} RIGHT )]는 한 직선 위에 있으므로 직선 [eqn: rmCQ]의 기울기와 직선 [eqn: rmCP]의 기울기가 같다.

직선 [eqn: rmCQ]의 기울기는 [eqn: { {a} over {4} - 0 } over {-2 - (-6)} = {a} over {16}]

직선 [eqn: rmCP]의 기울기는 [eqn: { {a+6} over {3} - 0 } over {2 - (-6)} = {a+6} over {24}]

[eqn: {a} over {16} = {a+6} over {24}]에서 양변에 [eqn: 48]을 곱하면

[eqn: 3a = 2(a+6)], [eqn: 3a = 2a + 12] ∴ [eqn: a = 12]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 두 이차함수
[eqn: f(x) = (x-a)^{2} + b], [eqn: g(x) = - {1} over {2} (x-c)^{2} + 11]
이 있다. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x) = g(x)]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])를 갖는다. 함수 [eqn: h(x)]가
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( alpha`le`x`le`beta RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x<alpha```또는``x>beta RIGHT )}}]
일 때, 함수 [eqn: h(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 세 점에서만 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2]와 [eqn: 3]이다.

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 서로 다른 세 점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: S]라 하고, 직선 [eqn: y=3]과 만나는 서로 다른 세 점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: T]라 하자. [eqn: T - S = {a} over {2}] 일 때, [eqn: h(alpha+beta)]의 값은?

⑤

이차방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 두 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])이고, [eqn: f(x)]는 아래로 볼록, [eqn: g(x)]는 위로 볼록하므로 [eqn: alpha < x < beta]에서 [eqn: f(x) < g(x)]이다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]의 그래프는 [eqn: x < alpha]와 [eqn: x > beta]에서는 [eqn: g(x)]를, [eqn: alpha leq x leq beta]에서는 [eqn: f(x)]를 따른다.

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프 개형을 생각하면, 직선 [eqn: y=k]와 만나는 점의 개수가 [eqn: 3]이 되는 [eqn: k]의 값은 [eqn: f(x)]의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표인 [eqn: b]와, 두 점 [eqn: ( alpha, h( alpha ) )], [eqn: ( beta, h( beta ) )] 중 [eqn: y]좌표가 작은 값이다.

조건에서 [eqn: k=2, 3]이므로 [eqn: b=2]이고, [eqn: h(x)]는 [eqn: x=a]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: alpha < a < beta]이다. 또한 [eqn: h( alpha ) = 3] 또는 [eqn: h( beta ) = 3]이다.

(ⅰ) [eqn: h( alpha ) = 3]인 경우

[eqn: y=3]과 세 점에서 만나려면 [eqn: x= alpha]의 좌우에서 [eqn: h(x)]의 함숫값이 [eqn: 3]보다 작아야 한다. 즉, [eqn: x < alpha]에서 [eqn: g(x)]가 증가해야 하므로 [eqn: alpha < c]이다.

[eqn: f( alpha ) = 3]에서 [eqn: ( alpha - a)^{2} + 2 = 3]이므로 [eqn: alpha = a - 1] ([eqn: because alpha < a])

[eqn: g( alpha ) = 3]에서 [eqn: - {1} over {2} ( alpha - c)^{2} + 11 = 3]이므로 [eqn: ( alpha - c)^{2} = 16]

[eqn: alpha < c]이므로 [eqn: alpha = c - 4]

따라서 [eqn: a - 1 = c - 4]에서 [eqn: c = a + 3]이다.

[eqn: f(x) = g(x)]에서 [eqn: (x-a)^{2} + 2 = - {1} over {2} (x-a-3)^{2} + 11]

[eqn: x-a = t]라 하면 [eqn: t^{2} + 2 = - {1} over {2} (t-3)^{2} + 11]

[eqn: t^{2} + 2 = - {1} over {2} t^{2} + 3t + {13} over {2}]

[eqn: {3} over {2} t^{2} - 3t - {9} over {2} = 0]

[eqn: t^{2} - 2t - 3 = 0]

[eqn: (t+1)(t-3) = 0]이므로 [eqn: t = -1] 또는 [eqn: t = 3]

[eqn: x = a-1] 또는 [eqn: x = a+3]

[eqn: alpha < beta]이므로 [eqn: beta = a+3]이다.

직선 [eqn: y=2]와 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: f(x)=2]에서 [eqn: x=a], [eqn: g(x)=2]에서 [eqn: x = c - 3 sqrt{2}], [eqn: x = c + 3 sqrt{2}]이므로

[eqn: S = a + (c - 3 sqrt{2} ) + (c + 3 sqrt{2} ) = a + 2c = 3a + 6]

직선 [eqn: y=3]과 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x= alpha = a-1], [eqn: f(x)=3]에서 [eqn: x=a+1], [eqn: g(x)=3]에서 [eqn: x=c+4=a+7]이므로

[eqn: T = (a-1) + (a+1) + (a+7) = 3a + 7]

[eqn: T - S = (3a+7) - (3a+6) = 1]

조건에서 [eqn: T - S = {a} over {2}]이므로 [eqn: {a} over {2} = 1]

∴ [eqn: a = 2]

이때 [eqn: a=2 > 0], [eqn: b=2 > 0], [eqn: c=5 > 0]이므로 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: h( beta ) = 3]인 경우

[eqn: y=3]과 세 점에서 만나려면 [eqn: x= beta]의 좌우에서 [eqn: h(x)]의 함숫값이 [eqn: 3]보다 작아야 한다. 즉, [eqn: x > beta]에서 [eqn: g(x)]가 감소해야 하므로 [eqn: beta > c]이다.

[eqn: f( beta ) = 3]에서 [eqn: ( beta - a)^{2} + 2 = 3]이므로 [eqn: beta = a + 1] ([eqn: because beta > a])

[eqn: g( beta ) = 3]에서 [eqn: - {1} over {2} ( beta - c)^{2} + 11 = 3]이므로 [eqn: ( beta - c)^{2} = 16]

[eqn: beta > c]이므로 [eqn: beta = c + 4]

따라서 [eqn: a + 1 = c + 4]에서 [eqn: c = a - 3]이다.

[eqn: f(x) = g(x)]에서 [eqn: (x-a)^{2} + 2 = - {1} over {2} (x-a+3)^{2} + 11]

[eqn: x-a = t]라 하면 [eqn: t^{2} + 2 = - {1} over {2} (t+3)^{2} + 11]

[eqn: t^{2} + 2 = - {1} over {2} t^{2} - 3t + {13} over {2}]

[eqn: {3} over {2} t^{2} + 3t - {9} over {2} = 0]

[eqn: t^{2} + 2t - 3 = 0]

[eqn: (t+3)(t-1) = 0]이므로 [eqn: t = -3] 또는 [eqn: t = 1]

[eqn: x = a-3] 또는 [eqn: x = a+1]

[eqn: alpha < beta]이므로 [eqn: alpha = a-3]이다.

직선 [eqn: y=2]와 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: S = a + 2c = 3a - 6]

직선 [eqn: y=3]과 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: g(x)=3]에서 [eqn: x=c-4=a-7], [eqn: f(x)=3]에서 [eqn: x=a-1], [eqn: x= beta = a+1]이므로

[eqn: T = (a-7) + (a-1) + (a+1) = 3a - 7]

[eqn: T - S = (3a-7) - (3a-6) = -1]

조건에서 [eqn: T - S = {a} over {2}]이므로 [eqn: {a} over {2} = -1]

∴ [eqn: a = -2]

이는 [eqn: a > 0]이라는 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=2], [eqn: b=2], [eqn: c=5]이고 [eqn: alpha = 1], [eqn: beta = 5]이다.

[eqn: alpha + beta = 6]이고 [eqn: 6 > beta]이므로

[eqn: h( alpha + beta ) = h(6) = g(6)]

[eqn: g(6) = - {1} over {2} (6-5)^{2} + 11 = {21} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^{3}+2x^{2}-9x+a]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 7]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: P(x) = x^{3} + 2x^{2} - 9x + a]라 하면 나머지정리에 의해 [eqn: P(1) = 7]이다.

[eqn: P(1) = 1^{3} + 2 times 1^{2} - 9 times 1 + a = 7]이므로

[eqn: 1 + 2 - 9 + a = 7], [eqn: a - 6 = 7] ∴ [eqn: a = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

연립부등식
[eqn: {cases{2x`le`x+11&#x+5<4x-2&}}]
를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[eqn: 9]

주어진 연립부등식의 첫 번째 부등식을 풀면

[eqn: 2x leq x+11], [eqn: x leq 11] ……①

두 번째 부등식을 풀면

[eqn: x+5 < 4x-2], [eqn: -3x < -7], [eqn: x > {7} over {3}] ……②

①, ②에서 연립부등식의 해는 [eqn: {7} over {3} < x leq 11]

이때 [eqn: {7} over {3} = 2.333...]이므로 이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

직선 [eqn: y=2x]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 직선이 이차함수 [eqn: y=x^{2}-4x+12]의 그래프에 접할 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

직선 [eqn: y=2x]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 직선은 [eqn: y=2x+m]이고, 이 직선이 이차함수 [eqn: y=x^{2}-4x+12]의 그래프에 접하므로

[eqn: x^{2}-4x+12=2x+m]에서

[eqn: x^{2}-6x+12-m=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} = (-3)^{2} - (12-m) = 0], [eqn: 9 - 12 + m = 0] ∴ [eqn: m=3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

연립방정식
[eqn: {cases{x ^{2} -4xy+4y ^{2} =0&#x ^{2} -6x-12y+36=0&}}]
의 해가 [eqn: x = alpha], [eqn: y = beta]일 때, [eqn: alpha times beta]의 값을 구하시오.

[eqn: 18]

첫 번째 식 [eqn: x^{2} - 4xy + 4y^{2} = 0]에서

[eqn: (x - 2y)^{2} = 0]

∴ [eqn: x = 2y] ……①

①을 두 번째 식 [eqn: x^{2} - 6x - 12y + 36 = 0]에 대입하면

[eqn: (2y)^{2} - 6(2y) - 12y + 36 = 0], [eqn: 4y^{2} - 24y + 36 = 0]

[eqn: y^{2} - 6y + 9 = 0], [eqn: (y - 3)^{2} = 0]

∴ [eqn: y = 3]

[eqn: y = 3]을 ①에 대입하면 [eqn: x = 6]

따라서 [eqn: alpha = 6], [eqn: beta = 3]이므로 [eqn: alpha times beta = 6 times 3 = 18]

따라서 정답은 [eqn: 18]이다.

그림과 같이 좌표평면 위에 직선 [eqn: l_{1} : x-2y-2=0]과 평행하고 [eqn: y]절편이 양수인 직선 [eqn: l_{2}]가 있다. 직선 [eqn: l_{1}]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고 직선 [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 사각형 [eqn: rmADCB]의 넓이가 [eqn: 25]이다. 두 직선 [eqn: l_{1}]과 [eqn: l_{2}] 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: d^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

직선 [eqn: l_{1} : x-2y-2=0]에서

[eqn: y=0]일 때 [eqn: x=2]이므로 [eqn: rmA(2, 0)]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: y=-1]이므로 [eqn: rmB(0, -1)]

직선 [eqn: l_{2}]는 [eqn: l_{1}]과 평행하므로 [eqn: l_{2}]의 방정식을 [eqn: x-2y+k=0]이라 하면

[eqn: y]절편이 양수이므로 [eqn: k > 0]

[eqn: y=0]일 때 [eqn: x=-k]이므로 [eqn: rm C(it-k,0)]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: y={k} over {2}]이므로 [eqn: rm D LEFT ( 0,it {k} over {2} RIGHT )]

사각형 [eqn: rmADCB]의 두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]는 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위에 있으므로 서로 수직이다.

대각선이 직교하는 사각형의 넓이는 두 대각선의 길이의 곱의 절반이므로

[eqn: rmbarAC`=it2- LEFT ( -k RIGHT ) =k+2]

[eqn: rmbarBD`=it {k} over {2} - LEFT ( -1 RIGHT ) = {k+2} over {2}]

사각형 [eqn: rmADCB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES rmbarAC` TIMES rmbarBD`=it {1} over {2} LEFT ( k+2 RIGHT ) TIMES {k+2} over {2} = {LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2}} over {4}]이고

이 넓이가 [eqn: 25]이므로 [eqn: {(k+2)^{2}} over {4} = 25], [eqn: (k+2)^{2} = 100]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k+2 = 10]

∴ [eqn: k = 8]

따라서 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: rmC(-8, 0)], [eqn: rmD(0, 4)]이다.

피타고라스 정리에서

[eqn: rmbarAB`= sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}} = sqrt {5}]

[eqn: rmbarCD`= sqrt {(-8) ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {80} =4 sqrt {5}]

두 직선 [eqn: l_{1}]과 [eqn: l_{2}]가 평행하므로 사각형 [eqn: rmADCB]는 선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]가 평행한 사다리꼴이다.

이 사다리꼴의 높이는 두 평행선 사이의 거리 [eqn: d]와 같으므로

[eqn: {1} over {2} TIMES ( rm {bar{AB}} `+ rm {bar{CD}} ) TIMES itd=25], [eqn: {1} over {2} times ( sqrt{5} + 4 sqrt{5} ) times d = 25]

[eqn: {5 sqrt{5}} over {2} times d = 25]

∴ [eqn: d = {50} over {5 sqrt{5}} = {10} over {sqrt{5}} = 2 sqrt{5}]

[eqn: d^{2} = (2 sqrt{5})^{2} = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`2 RIGHT )] [eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmAOC]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_{1}], [eqn: r_{2}]라 할 때, [eqn: r_{1} times r_{2} = 18 sqrt{2}] 이다. 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[eqn: 32]

점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB]라 하면 [eqn: rmB LEFT ( it2,`ita RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmB LEFT ( it2,`ita RIGHT )]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC]라 하면 [eqn: rmC LEFT ( 2,`it-a RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 외심을 [eqn: rmP LEFT ( itp,`q RIGHT )]라 하면, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같으므로

[eqn: rmbarPA` ^{2} =rmbarPB` ^{2} =rmbarPC` ^{2}]

[eqn: rmbarPB` ^{2} =rmbarPC` ^{2}]에서 [eqn: (p-2)^{2} + (q-a)^{2} = (p-2)^{2} + (q+a)^{2}]

[eqn: q^{2} - 2aq + a^{2} = q^{2} + 2aq + a^{2}], [eqn: 4aq = 0]

[eqn: a > 2]이므로 [eqn: q = 0]

[eqn: rmbarPA` ^{2} =rmbarPB` ^{2}]에서 [eqn: q=0]을 대입하면

[eqn: (p-a)^{2} + 2^{2} = (p-2)^{2} + a^{2}]

[eqn: p^{2} - 2ap + a^{2} + 4 = p^{2} - 4p + 4 + a^{2}]

[eqn: 2p(a-2) = 0]

[eqn: a > 2]이므로 [eqn: p = 0]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 외심은 원점 [eqn: rmO(0, 0)]이고, 외접원의 반지름의 길이 [eqn: r_{1}]은 선분 [eqn: rmOB]의 길이와 같으므로

[eqn: r_{1} = sqrt{2^{2} + a^{2}} = sqrt{a^{2} + 4}]

삼각형 [eqn: rmAOC]의 세 꼭짓점은 [eqn: rmA LEFT ( ita,`2 RIGHT )], [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmC LEFT ( 2,`it-a RIGHT )]이므로 세 변의 길이의 제곱을 구하면

[eqn: rm {bar{OA}} ` ^{2} =ita ^{2} +2 ^{2} =a ^{2} +4]

[eqn: rmbarOC` ^{2} =it2 ^{2} +(-a) ^{2} =a ^{2} +4]

[eqn: rm {bar{AC}} ` ^{2} = it (a-2) ^{2} +(2-(-a)) ^{2} =2a ^{2} +8]

[eqn: rmbarOA` ^{2} +rmbarOC` ^{2} =ita ^{2} +4+a ^{2} +4=2a ^{2} +8=rmbarAC` ^{2}]이 성립하므로 삼각형 [eqn: rmAOC]는 [eqn: rmangle AOC = 90^{circ}]인 직각삼각형이다.

직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변 [eqn: rmAC]의 중점이므로, 외접원의 반지름의 길이 [eqn: r_{2}]는 빗변 [eqn: rmAC]의 길이의 절반이다.

[eqn: r _{2} = {1} over {2} rmbarAC`it= {1} over {2} sqrt {2a ^{2} +8} = {sqrt {2}} over {2} sqrt {a ^{2} +4}]

[eqn: r_{1} times r_{2} = 18 sqrt{2}]이므로 [eqn: sqrt{a^{2} + 4} times {sqrt{2}} over {2} sqrt{a^{2} + 4} = 18 sqrt{2}]

[eqn: {sqrt{2}} over {2} (a^{2} + 4) = 18 sqrt{2}], [eqn: a^{2} + 4 = 36] [eqn: therefore a^{2} = 32]

따라서 정답은 [eqn: 32]이다.

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,`0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( ita,`0 RIGHT )] [eqn: (a>2)]에서 만나고 [eqn: y]축과 점 [eqn: rmC]에서 만난다. 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: rmP], 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 하자. 사각형 [eqn: rmAPRQ]가 정사각형일 때, [eqn: f(12)]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: k] ([eqn: k>0])라 하면

[eqn: f(x) = k(x-2)(x-a)]

[eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rmC LEFT ( it0,`2ak RIGHT )]이다.

이차함수의 꼭짓점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {a+2} over {2}]이므로

[eqn: y]좌표는 [eqn: f left ( {a+2} over {2} right ) = k left ( {a+2} over {2} - 2 right ) left ( {a+2} over {2} - a right ) = - {k(a-2)^{2}} over {4}]

∴ [eqn: rmP LEFT ( it {a+2} over {2} ,- {k(a-2) ^{2}} over {4} RIGHT )]

두 점 [eqn: rmB(ita,0)], [eqn: rmC(it0,2ak)]를 지나는 직선 [eqn: rmBC]의 기울기는

[eqn: {0 - 2ak} over {a - 0} = -2k]

사각형 [eqn: rmAPRQ]가 정사각형이 되려면 선분 [eqn: rmAP]와 직선 [eqn: rmBC]가 평행해야 하므로

선분 [eqn: rmAP]의 기울기는 직선 [eqn: rmBC]의 기울기와 같아야 한다.

[eqn: rmA(2, 0)]이므로 선분 [eqn: rmAP]의 기울기는

[eqn: { - {k(a-2)^{2}} over {4} - 0 } over { {a+2} over {2} - 2 } = { - {k(a-2)^{2}} over {4} } over { {a-2} over {2} } = - {k(a-2)} over {2}]

[eqn: - {k(a-2)} over {2} = -2k]에서 [eqn: k>0]이므로

[eqn: {a-2} over {2} = 2]

∴ [eqn: a = 6]

[eqn: a=6]을 대입하면 [eqn: rmA(2, 0)], [eqn: rmB(6, 0)], [eqn: rm C(0,1it2k)], [eqn: rm P(4,-4itk)]이다.

사각형 [eqn: rmAPRQ]가 정사각형이려면 선분 [eqn: rmAP]의 길이와 선분 [eqn: rmAQ]의 길이가 같아야 한다.

선분 [eqn: rmAP]의 길이는

[eqn: rm {bar{AP}} `= sqrt {it(4-2) ^{2} +(-4k-0) ^{2}} = sqrt {4+16k ^{2}}]

원점을 [eqn: rmO]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOBC]와 삼각형 [eqn: rmQBA]는 직각삼각형이고 각 [eqn: rmB]가 공통이므로 서로 닮음이다.

[eqn: rmbarOB`=6], [eqn: rmbarOC`=it12k]이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmbarBC`it= sqrt {6 ^{2} +(12k) ^{2}} =6 sqrt {1+4k ^{2}}]

닮음비에 의해 [eqn: rmbarAB`:rmbarBC`=rmbarAQ`:rmbarOC]가 성립한다.

[eqn: rmbarAB`=4]이므로

[eqn: 4:6 sqrt {1+4k ^{2}} =rmbarAQ`it:12k]

[eqn: rmbarAQ`it= {4 TIMES 12k} over {6 sqrt {1+4k ^{2}}} = {8k} over {sqrt {1+4k ^{2}}}]

[eqn: rmbarAP`=rmbarAQ]에서 [eqn: sqrt{ 4 + 16k^{2} } = { 8k } over { sqrt{ 1 + 4k^{2} } }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4(1 + 4k^{2}) = { 64k^{2} } over { 1 + 4k^{2} }], [eqn: (1 + 4k^{2})^{2} = 16k^{2}]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: 1 + 4k^{2} = 4k]

[eqn: 4k^{2} - 4k + 1 = 0], [eqn: (2k - 1)^{2} = 0] ∴ [eqn: k = {1} over {2}]

따라서 [eqn: f(x) = {1} over {2} (x-2)(x-6)]이므로

[eqn: f(12) = {1} over {2} times 10 times 6 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

두 양수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=(x-p)^{2}+q]와 자연수 [eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(10)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: 0 leq x leq 3]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: m]이고 최댓값은 [eqn: m+4]이다.

(나) [eqn: 0 leq x leq 5]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: m]이고 최댓값은 [eqn: 4m]이다.

[eqn: 67]

이차함수 [eqn: f(x) = (x-p)^{2} + q]의 꼭짓점은 [eqn: (p, q)]이고 아래로 볼록하다.

조건 (가), (나)에서 구간 [eqn: 0 leq x leq 3]과 [eqn: 0 leq x leq 5]에서의 최솟값이 모두 [eqn: m]으로 같다.

만약 [eqn: p > 3]이라면 [eqn: 0 leq x leq 3]에서 [eqn: f(x)]는 감소하므로 최솟값은 [eqn: f(3)]이고, [eqn: 0 leq x leq 5]에서의 최솟값은 [eqn: f(p)=q] 또는 [eqn: f(5)]가 되어 두 최솟값이 같을 수 없다.

따라서 [eqn: 0 < p leq 3]이어야 한다.

이때 두 구간 모두 꼭짓점 [eqn: x=p]를 포함하므로 최솟값은 [eqn: f(p) = q]이다.

따라서 [eqn: q = m]이다.

조건 (가)에서 [eqn: 0 leq x leq 3]일 때 최댓값은 [eqn: f(0)] 또는 [eqn: f(3)] 중 큰 값이다.

[eqn: f(0) = p^{2} + m], [eqn: f(3) = (3-p)^{2} + m]

(ⅰ) [eqn: 0 < p leq {3} over {2}]일 때

[eqn: 3-p geq p]이므로 최댓값은 [eqn: f(3) = (3-p)^{2} + m]이다.

조건 (가)에서 최댓값이 [eqn: m+4]이므로 [eqn: (3-p)^{2} + m = m+4]에서 [eqn: (3-p)^{2} = 4]

[eqn: 3-p = 2] ([eqn: p>0]이므로) ∴ [eqn: p = 1]

[eqn: p=1]일 때 [eqn: f(x) = (x-1)^{2} + m]이고, [eqn: 0 leq x leq 5]에서 최댓값은 [eqn: f(5) = 16+m]이다.

조건 (나)에서 최댓값이 [eqn: 4m]이므로 [eqn: 16+m = 4m]에서 [eqn: m = {16} over {3}]

이는 [eqn: m]이 자연수라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: {3} over {2} < p leq 3]일 때

[eqn: p > 3-p]이므로 최댓값은 [eqn: f(0) = p^{2} + m]이다.

조건 (가)에서 최댓값이 [eqn: m+4]이므로 [eqn: p^{2} + m = m+4]에서 [eqn: p^{2} = 4]

[eqn: p>0]이므로 ∴ [eqn: p = 2]

[eqn: p=2]일 때 [eqn: f(x) = (x-2)^{2} + m]이고, [eqn: 0 leq x leq 5]에서 최댓값은 [eqn: f(5) = 9+m]이다.

조건 (나)에서 최댓값이 [eqn: 4m]이므로 [eqn: 9+m = 4m]에서 [eqn: 3m = 9] ∴ [eqn: m = 3]

이는 [eqn: m]이 자연수라는 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: p = 2], [eqn: q = 3]이므로 [eqn: f(x) = (x-2)^{2} + 3]이다.

[eqn: f(10) = (10-2)^{2} + 3 = 64 + 3 = 67]

따라서 정답은 [eqn: 67]이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=a(x-b)^{2}]이 있다. 중심이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위에 있고 직선 [eqn: y={4} over {3}x]와 [eqn: x]축에 동시에 접하는 서로 다른 원의 개수는 [eqn: 3]이다. 이 세 원의 중심의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이라 할 때, 세 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x_{1} times x_{2} times x_{3} > 0]

(나) 세 점 [eqn: (x_{1}, f(x_{1}))], [eqn: (x_{2}, f(x_{2}))], [eqn: (x_{3}, f(x_{3}))]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -{7} over {3}]이다.

[eqn: f(4) times f(6)]의 값을 구하시오.

[eqn: 144]

원의 중심의 좌표를 [eqn: (t, f(t))]라 하면, 이 원이 [eqn: x]축과 직선 [eqn: y={4} over {3}x] (즉, [eqn: 4x-3y=0])에 동시에 접하므로 중심에서 두 직선까지의 거리가 같다.

[eqn: x]축까지의 거리는 [eqn: left | f(t) right |]이고 직선 [eqn: 4x-3y=0]까지의 거리는 [eqn: {left | 4t - 3f(t) right |} over {sqrt{4^{2} + (-3)^{2}}} = {left | 4t - 3f(t) right |} over {5}]이므로

[eqn: left | f(t) right | = {left | 4t - 3f(t) right |} over {5}]

[eqn: 5 left | f(t) right | = left | 4t - 3f(t) right |]

[eqn: 5f(t) = 4t - 3f(t)] 또는 [eqn: 5f(t) = -4t + 3f(t)]

[eqn: 8f(t) = 4t]에서 [eqn: f(t) = {1} over {2}t]

[eqn: 2f(t) = -4t]에서 [eqn: f(t) = -2t]

따라서 원의 중심은 곡선 [eqn: y=f(x)]와 두 직선 [eqn: y={1} over {2}x], [eqn: y=-2x]의 교점이다.

교점의 개수가 [eqn: 3]개이므로, 이차함수 [eqn: y=f(x)]는 두 직선 중 하나와 접하고 다른 하나와 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: f(x) = a(x-b)^{2}]의 부호는 [eqn: a]의 부호와 같다.

(ⅰ) [eqn: a > 0]일 때

[eqn: f(x) geq 0]이므로 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0] 이상이다.

[eqn: y={1} over {2}x geq 0]에서 [eqn: x geq 0], [eqn: y=-2x geq 0]에서 [eqn: x leq 0]이다.

교점 [eqn: 3]개의 [eqn: x]좌표 중 양수 [eqn: 2]개, 음수 [eqn: 1]개이면 곱이 음수이므로 조건 (가)에 위배된다.

양수 [eqn: 1]개, 음수 [eqn: 2]개이려면 [eqn: y={1} over {2}x]와 접하고 [eqn: y=-2x]와 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: a(x-b)^{2} = {1} over {2}x]가 중근을 가질 조건에서 판별식 [eqn: D = left ( 2ab + {1} over {2} right )^{2} - 4a^{2}b^{2} = 0]이므로 [eqn: ab = -{1} over {8}]이다.

이때 접점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x = {2ab + {1} over {2}} over {2a} = 0]이 되어 [eqn: x_{1} times x_{2} times x_{3} = 0]이므로 조건 (가)에 위배된다.

(ⅱ) [eqn: a < 0]일 때

[eqn: f(x) leq 0]이므로 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0] 이하이다.

[eqn: y={1} over {2}x leq 0]에서 [eqn: x leq 0], [eqn: y=-2x leq 0]에서 [eqn: x geq 0]이다.

교점 [eqn: 3]개의 [eqn: x]좌표 중 음수 [eqn: 2]개, 양수 [eqn: 1]개이면 곱이 양수이므로 조건 (가)를 만족한다.

따라서 [eqn: y=-2x]와 접하고 [eqn: y={1} over {2}x]와 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: a(x-b)^{2} = -2x]에서 [eqn: ax^{2} - 2(ab - 1)x + ab^{2} = 0]이다.

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = (ab - 1)^{2} - a^{2}b^{2} = 0]에서 [eqn: -2ab + 1 = 0] ∴ [eqn: ab = {1} over {2}]

이때 접점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x = {ab - 1} over {a} = -{1} over {2a}]이고, [eqn: y]좌표는 [eqn: y = -2x = {1} over {a}]이다.

[eqn: y={1} over {2}x]와의 교점은 [eqn: a(x-b)^{2} = {1} over {2}x]에서 [eqn: ax^{2} - left ( 2ab + {1} over {2} right )x + ab^{2} = 0]의 두 근이다.

[eqn: ab = {1} over {2}]이므로 [eqn: ax^{2} - {3} over {2}x + {1} over {4a} = 0]이다.

두 근을 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]라 하면 근과 계수의 관계에서 [eqn: x_{1} + x_{2} = {3} over {2a}]이다.

이때 두 점의 [eqn: y]좌표의 합은 [eqn: y_{1} + y_{2} = {1} over {2}(x_{1} + x_{2}) = {3} over {4a}]이다.

세 점의 무게중심의 [eqn: y]좌표가 [eqn: -{7} over {3}]이므로

[eqn: {y_{1} + y_{2} + y_{3}} over {3} = {1} over {3} left ( {3} over {4a} + {1} over {a} right ) = {7} over {12a} = -{7} over {3}]

따라서 [eqn: a = -{1} over {4}]이고, [eqn: ab = {1} over {2}]에서 [eqn: b = -2]이다.

[eqn: f(x) = -{1} over {4}(x+2)^{2}]이므로

[eqn: f(4) = -{1} over {4} times 36 = -9]

[eqn: f(6) = -{1} over {4} times 64 = -16]

[eqn: f(4) times f(6) = (-9) times (-16) = 144]

따라서 정답은 [eqn: 144]이다.