2023년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 문항에서 두 이차함수 그래프를 그려가며 실근의 합 h(t)의 변화를 추론하지 못했다면, 상위권 진입은 어려웠을 것입니다. 이번 시험은 단순히 공식을 암기하는 수준을 넘어, 이차함수, 원의 방정식 등 고1 수학(상)의 핵심 도형 단원을 얼마나 깊이 있게 이해하고 융합적으로 사고할 수 있는지를 집중적으로 평가했습니다. 특히 20번, 28번, 30번처럼 여러 개념을 복합적으로 활용하는 문항들은 앞으로 수능에서 만나게 될 준킬러, 킬러 문항의 기초 체력을 다지는 데 매우 중요하므로, 틀렸다면 반드시 자신의 풀이 과정을 복기하고 약점을 보완해야 합니다.

문항 분석

• 20번

  — 이 문제의 핵심은 '∠APB=90°'라는 조건을 보고 선분 AB를 지름으로 하는 원을 떠올리는 것입니다. 많은 학생들이 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 AP² + BP² = AB² 라는 식을 세우려다 복잡한 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 점 P는 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점이면서, 동시에 선분 CD 위의 점이어야 한다는 사실이 결정적 실마리입니다. 따라서 원의 방정식과 직선 CD의 방정식을 구한 뒤, 두 도형의 교점이 '선분' CD 위에 존재할 t값의 범위를 찾아내면 최댓값과 최솟값을 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 집합의 원소 개수를 추론하는 이 문항의 함정은 'ㄷ' 보기에 있습니다. 주어진 조건 n(B-A)=1, n(C-A)=2, n(B∩C)=2 등을 벤다이어그램에 표시하고, 미지수(예: n(A∩B∩C)=x)를 설정하여 각 영역의 원소 개수를 표현해야 합니다. 여기서 n(U)=5라는 전체집합의 조건을 이용해 각 영역의 원소 개수가 0 이상이라는 부등식을 세워 x의 범위를 구하는 것이 첫 단계입니다. 최댓값과 최솟값은 n(A), n(B), n(C)가 가질 수 있는 양 극단의 경우를 모두 따져봐야 하므로, 한 가지 경우만 보고 성급하게 판단해서는 안 됩니다.
  

• 28번

  — 직육면체에서 사면체를 잘라낸 입체도형 문제로, 기하학적 상황을 정확한 대수식으로 변환하는 능력을 측정합니다. 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 a, b, c로 설정하는 것이 문제 해결의 시작입니다. 잘라내기 전후의 '모서리 길이의 합(l)'과 '겉넓이(S)'의 변화를 정확히 계산하는 것이 관건인데, 특히 겉넓이는 3개의 직각삼각형 면이 사라지는 대신 새로운 삼각형 면(AFC)이 추가된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 주어진 l₁-l₂=28, S₁-S₂=61 식을 a, b, c로 표현하여 연립하면 문제에서 요구하는 AC²+CF²+FA² = 2(a²+b²+c²)의 값을 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 일대일함수의 결정 문제로, 주어진 (가) 조건의 방정식이 이 문제의 모든 것을 담고 있습니다. (가) 조건은 X의 각 원소 x에 대해 f(x)가 5-x² 또는 -4x, 둘 중 하나의 값을 가져야 함을 의미합니다. 해결의 실마리는 정의역 X의 각 원소에 대해 가능한 함숫값 후보를 표로 정리하는 것에서 시작됩니다. 이후 '일대일' 조건, 즉 서로 다른 x에 대해 함숫값이 달라야 한다는 점과 (나) 조건 f(0)×f(1)×f(2)<0을 이용해 마치 스도쿠를 풀 듯이 각 x에 대한 f(x) 값을 하나씩 확정해 나가야 합니다. 경우를 나누어 논리적으로 모순을 제거하는 과정이 핵심입니다.
  

• 30번

  — 이 시험의 최고난도 문항으로, 방정식의 실근을 두 함수의 교점으로 해석하는 능력을 극한까지 요구합니다. h(t)는 f(x)=t 또는 g(x)=t를 만족하는 모든 x값의 '합'이라는 점을 명심해야 합니다. 이차함수의 가장 중요한 성질인 '축대칭'을 이용하는 것이 결정적 힌트입니다. f(x)의 두 근의 합은 축의 2배인 -2로 항상 일정하고, g(x)의 두 근의 합은 2m으로 일정합니다. h(t)의 값은 t의 위치에 따라 두 포물선이 각각 몇 개의 근을 갖는지에 따라 달라지며, 이 변화가 일어나는 경계는 바로 두 포물선의 꼭짓점의 y좌표입니다. 가능한 h(t) 값들을 모두 구해 그 합이 19가 되도록 하는 m을 찾는, 매우 정교한 그래프 추론 문제입니다.