2024년 10월 고1 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 10월 학평은 30번 문항에서 이차함수 그래프와 집합의 원소 개수를 엮어내 학생들의 종합적 사고력을 깊이 있게 테스트한 점이 가장 인상적입니다. 전반적으로 앞부분은 평이했으나 14번 연립부등식부터 시작해 20번, 21번, 29번으로 이어지는 도형 문제 라인에서 시간 안배와 문제 해결 능력에 따라 등급이 갈렸을 것으로 보입니다. 특히 좌표평면 위에서 대칭이동을 활용해 최단거리를 구하거나(21번), 여러 개의 원이 얽힌 복잡한 상황에서 넓이를 계산하는(29번) 등, 단순 계산을 넘어 기하학적 직관과 대수적 풀이를 결합하는 능력은 수능 고난도 문항의 해결 열쇠가 되므로 반드시 복습해두어야 합니다.

• 14번 — 이 문항의 출제 의도는 변수를 포함한 연립이차부등식의 해가 '오직 하나' 존재할 조건을 해석하는 능력입니다. 많은 학생들이 두 부등식의 해집합을 구한 뒤, 그 교집합이 단 하나의 점이 되는 상황을 시각적으로 파악하는 데서 어려움을 겪습니다. 흔히 빠지는 함정은 각 부등식의 경계값을 제대로 확인하지 않고 대충 겹치는 부분을 찾는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 두 해집합 구간의 한쪽 끝점이 정확히 일치하여 교집합이 그 점 하나만 남게 되는 케이스를 집중적으로 분석하는 것입니다. a값에 따라 변하는 구간의 위치를 수직선 위에 그려보며 경우를 나누는 것이 핵심입니다.
  
• 17번 — 최고차항 계수가 1인 이차함수 f(x)에 대해, 닫힌구간 [n, n+3]에서의 최대·최소에 대한 까다로운 조건을 해석하는 것이 관건입니다. 특히 (나) 조건, 즉 '최댓값과 최솟값의 곱이 f(n)×f(n+3)과 같지 않다'는 표현이 이 문제의 핵심입니다. 이 말은 구간 내에 이차함수의 꼭짓점이 반드시 포함되어야 한다는 의미로 재해석해야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 이 부정형의 조건을 놓치고, 단순히 양 끝점에서의 함숫값만 비교하는 것입니다. 따라서, 꼭짓점의 x좌표를 k라 두고, n=4, 5, 6일 때 k가 (n, n+3) 범위 안에 존재해야 한다는 부등식을 세우는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  
• 20번 — 직육면체를 특정 단면으로 잘라냈을 때 생기는 두 입체도형의 부피를 문자를 이용해 표현하고, 그 차이를 이용해 방정식을 푸는 문제입니다. 출제 의도는 공간도형에 대한 이해를 바탕으로 변수(a)를 사용해 부피를 정확히 계산하는 능력입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 선분 AB와 DC를 1:a로 내분하는 점 P, Q의 좌표나 길이를 설정하고, 이를 통해 사각기둥(V₁)과 삼각기둥(V₂)의 밑넓이와 높이를 식으로 나타내는 과정입니다. 이 문제의 실마리는 점 P가 선분 AB를 1:a로 내분하므로 AP의 길이를 전체 길이와 a를 이용해 표현하는 것입니다. 일단 V₁과 V₂를 a에 대한 식으로 정확히 세우기만 하면, V₁ - V₂ = 4 라는 간단한 방정식을 푸는 문제로 바뀌게 됩니다.
  
• 21번 — 좌표평면 위의 원과 축 위를 움직이는 점들을 포함한 복잡한 거리의 합의 최솟값을 묻는, 전형적인 고난도 기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '대칭이동'을 이용해 꺾인 선분의 길이의 합을 직선 거리로 변환하는 것입니다. <보기> ㄴ에서 AR+PR'의 최솟값을 구할 때, y축 위의 점 R에 대한 거리이므로 점 A(4,2)를 y축에 대해 대칭이동한 A'(-4,2)를 생각해야 합니다. 그러면 최솟값은 A'과 원 C₁ 위의 점 P 사이의 최단 거리가 됩니다. 많은 학생들이 어떤 점을 어떤 축에 대해 대칭이동해야 할지 혼란스러워하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제에 주어진 각 선분(AR, PR', BS, QS')이 어떤 축 위의 점(R, S)을 거치는지 파악하고, 그에 맞는 대칭이동을 적용하는 것이 결정적 힌트입니다.
  
• 29번 — 여러 개의 원이 서로 복잡하게 얽혀있는 상황에서, 주어진 조건을 활용해 넓이의 합을 구하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 원의 성질, 피타고라스 정리, 좌표 설정 등 다양한 기하학적 도구를 종합적으로 사용하는 능력 평가입니다. 학생들이 가장 막막해하는 부분은 O₁C + O₁D = 6√2 와 사각형 AO₂O₃B의 넓이=34 라는 두 조건을 어떻게 식으로 변환할지입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 원 C₂, C₃의 중심 O₂, O₃가 각각 선분 AC, BD의 중점이라는 사실을 이용하는 것입니다. 원 C₁, C₂, C₃의 반지름을 각각 R, r₂, r₃로 설정하고, O₁, C, D 등의 점들을 반지름을 이용해 표현한 뒤, 사각형의 넓이와 선분의 길이 합에 대한 연립방정식을 세워 풀어내는 것이 정석적인 접근법입니다.
  
• 30번 — 두 이차함수 f(x), g(x)의 절댓값 그래프와 직선 y=1의 교점 정보를 집합의 원소 개수로 제시하고, 이를 통해 함수를 추론하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 n(X∩Y)=3, n(X∪Y)=4 라는 집합 조건을 f(x), g(x)의 그래프 개형과 위치 관계로 해석하는 것입니다. |f(x)|=1의 해가 X, |g(x)|=1의 해가 Y이므로, 이는 두 함수의 그래프가 y=1 또는 y=-1과 만나는 점들의 x좌표에 대한 정보입니다. 학생들이 가장 어려워하는 함정은 4개의 교점 중 3개가 겹친다는 상황을 그래프로 구현하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 두 이차함수 중 하나는 y=1 또는 y=-1에 접하고, 다른 하나는 이 두 직선과 총 4점에서 만나면서, 그 중 한 교점을 공유하는 상황을 가정하고 그려보는 것입니다. 주어진 모든 조건을 만족하는 그래프 개형을 찾아내는 것이 이 문제 풀이의 전부라 할 수 있습니다.