2023년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 30번 문항에서 이차함수 그래프 위의 점을 중심으로 하는 원의 평행이동과 좌표축 동시 접선 조건을 결합한, 그야말로 사고력의 끝을 요구하는 문제로 학생들의 체감 난이도를 확 끌어올렸을 겁니다. 전반적으로 계산량 자체는 많지 않았지만, 14번, 16번, 21번 등에서 보듯 주어진 조건을 단순 대수가 아닌 기하학적 상황으로 해석하고 그래프로 시각화하는 능력을 집중적으로 테스트하고 있어요. 이러한 '해석' 능력은 수능 고난도 문항의 핵심 역량이므로, 이번 시험을 계기로 문제의 조건 하나하나를 좌표평면에 그려보며 의미를 파악하는 훈련을 반드시 시작해야 합니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문제는 좌표평면 위 정사각형의 넓이를 다루는 문제로, 단순히 네 점의 좌표를 미지수로 설정하고 풀려고 하면 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 출제 의도는 '점과 직선 사이의 거리' 공식을 활용하여 정사각형의 한 변의 길이를 효율적으로 구하고, 이를 넓이 정보와 연결하는 능력을 평가하는 것입니다. 결정적 실마리는 점 A(a, 6)에서 직선 l까지의 거리가 바로 정사각형의 높이, 즉 한 변의 길이와 같다는 사실을 기하학적으로 간파하는 것입니다. 이 관계를 식으로 세우면 a에 대한 방정식을 얻어낼 수 있습니다.
  

• 16번

  — AP+PQ+QB의 최솟값을 구하는 이 문제는 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제의 전형적인 응용 버전입니다. 많은 학생들이 P와 Q의 좌표를 직접 구하려 하거나 복잡한 산술기하 평균을 떠올리지만, 이는 출제 의도에서 벗어난 접근입니다. 이 문제의 핵심은 점 A와 B가 고정된 점이 아니라 원 위의 동점이라는 점을 고려하여, 기준이 되는 축(x축, y=x)에 대해 '원 자체'를 대칭이동 시키는 것입니다. 원 C₁을 x축에 대해, 원 C₂를 직선 y=x에 대해 각각 대칭이동시킨 후, 두 새로운 원의 중심을 잇는 거리에서 반지름의 합을 빼는 것이 가장 빠른 해결책입니다.
  

• 21번

  — 이차방정식 {x-f(k)}{x-g(k)}=0의 두 실근이 0과 4라는 조건에서, 많은 학생들이 x에 0과 4를 대입하는 데 그치는 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 방정식의 해가 f(k) 또는 g(k)라는 점을 이해하는 것입니다. 즉, {f(k)=0, g(k)=4} 이거나 {f(k)=4, g(k)=0}인 두 가지 경우를 만족하는 실수 k의 개수가 총 3개라는 것이 결정적인 힌트입니다. 이차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프와 직선 y=0, y=4의 교점의 x좌표가 바로 k값들이므로, 두 가지 케이스의 교점 개수의 합이 3개가 되도록 그래프의 위치 관계를 추론해야 합니다.
  

• 28번

  — 이 문제는 변수 a의 값에 따라 변하는 사각형 ACDB의 넓이가 최대가 되는 순간을 찾는 문제입니다. 핵심은 네 꼭짓점 A, B, C, D의 좌표를 모두 매개변수 'a'에 대한 식으로 표현하는 것입니다. 그 후 사각형의 넓이를 구해야 하는데, 점 A와 B의 y좌표가 4a로 같고, 점 C와 D의 x좌표를 구해보면 사다리꼴 형태임을 파악할 수 있습니다. 넓이를 a에 대한 함수 S(a)로 표현하면, 이 함수는 a에 대한 삼차함수가 되며, 주어진 a의 범위(2<a<4) 내에서 이 함수의 최댓값을 구하는 문제로 귀결됩니다. 미분을 배우지 않은 고1 과정에서는 삼차함수의 그래프 개형을 통해 최대 지점을 찾아야 합니다.
  

• 29번

  — 무게중심과 외심(원의 중심) 조건이 함께 주어진 복합적인 기하 문제입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 점 B, C의 좌표를 (x₁, y₁), (x₂, y₂)로 놓고 모든 조건을 연립하여 풀려는 시도인데, 이는 매우 복잡한 계산을 유발합니다. 문제 해결의 열쇠는 (가) 무게중심 조건을 이용하여 x_B + x_C, y_B + y_C 값을 먼저 확정하고, (나) 외심이 원점이라는 조건으로부터 OA² = OB² = OC² 라는 관계식을 이끌어내는 것입니다. 이 두 가지 핵심 정보를 결합하면 B, C의 좌표에 대한 관계식을 훨씬 간단하게 유도할 수 있으며, 삼각형의 넓이를 구하는 과정으로 나아갈 수 있습니다.
  

• 30번

  — 이번 시험의 최고난도 문항으로, 이차함수와 원의 평행이동, 그리고 좌표축 동시 접선이라는 여러 개념을 융합했습니다. 문제의 가장 중요한 부분은 '평행이동한 원이 x축과 y축에 동시에 접하도록 하는 실수 m의 값이 1개 이상 존재한다'는 조건을 해석하는 것입니다. 원의 중심 (p, q)를 (m, m)만큼 평행이동하면 새로운 중심은 (p+m, q+m)이 됩니다. 이 원(반지름 1)이 축에 동시에 접하려면 |p+m| = |q+m| = 1 이어야 합니다. 이 식을 m에 대해 풀었을 때 실근 m이 존재할 조건이 바로 p와 q 사이의 관계식, 즉 원의 중심이 놓일 수 있는 자취가 됩니다. 이 자취와 이차함수 y=f(x)의 교점이 5개라는 사실이 f(x)의 식을 결정하는 결정적 단서입니다.