2025년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 9월 모의고사는 29번, 30번에서 주어진 조건을 해석하고 종합하는 과정에서 상당한 어려움을 겪었을 시험입니다. 단순히 공식을 암기해서 푸는 문항보다는, 이차함수의 그래프 개형을 정확히 추론하고 이를 다른 개념(항등식, 도형의 넓이, 경우의 수)과 융합하는 능력을 집중적으로 평가했습니다. 특히 20번, 28번, 30번처럼 함수의 위치 관계를 시각적으로 해석하고 식으로 구체화하는 훈련은 향후 수능 수학의 핵심 역량이므로, 이번 시험을 통해 자신의 약점을 명확히 파악하고 보완하는 계기로 삼아야 합니다.

• 19번 — 이 문항의 핵심은 꼭짓점의 위치에 따라 제한된 범위 [k, k+2]에서의 최댓값과 최솟값이 어떻게 결정되는지를 케이스별로 나누어 함수 g(k)를 정의하는 것입니다. 많은 학생들이 꼭짓점이 범위 안에 포함되는 경우만 생각하고, 범위가 꼭짓점의 왼쪽 또는 오른쪽에 완전히 치우치는 경우를 놓쳐 g(k)를 잘못 설정하는 실수를 합니다. 힌트는 g(k)가 k와 대칭축 b의 상대적 위치에 따라 3가지 다른 형태로 나타나는 구간별 함수라는 점을 인지하는 것입니다. g(3)=a라는 조건은 대칭축의 위치를 특정하는 결정적인 단서가 됩니다.
  
• 20번 — 두 이차함수를 이어 붙인 h(x)의 그래프 개형을 추론하는 능력이 관건입니다. 출제 의도는 (가) 조건, 즉 'h(x)와 수평선 y=f(0)의 교점 x좌표가 0, 4, 12뿐이다'라는 정보를 통해 두 포물선 f(x), g(x)의 위치와 모양을 확정 짓게 하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 이 3개의 교점 중 하나가 반드시 접점이라는 사실을 간과하는 것입니다. 힌트는 x=3에서 두 함수가 만나고, a<0이므로 두 포물선 모두 위로 볼록하다는 점을 이용해 그래프를 그려보는 것입니다. y=f(0)이 어느 포물선에 접하고 어느 포물선을 가로지르는지 파악하면 문제가 풀리기 시작합니다.
  
• 21번 — 여러 제약 조건이 얽혀있는 복잡한 경우의 수 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 가장 강력한 제약 조건부터 순서대로 적용하여 경우의 수를 체계적으로 세어 나가는 논리적 사고력을 측정하는 데 있습니다. 흔히 저지르는 실수는 (가), (나), (다) 조건을 독립적으로 생각하여 중복되거나 누락된 경우를 제대로 처리하지 못하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 10개의 활동 슬롯(5일 x 2종목)을 4개의 종목 A, B, C, D에 배분하는 방식부터 정하는 것입니다. (가) 조건에 의해 각 종목은 최소 2번 이상 활동해야 하므로, 활동 횟수 배분은 (3, 3, 2, 2)가 유일하다는 것을 파악하는 것이 첫 단추입니다.
  
• 28번 — 이차함수 그래프와 관련된 도형의 넓이를 변수를 이용해 표현하고, 그 식의 최댓값을 구하는 문제입니다. 핵심은 두 직선 l1, l2와 포물선의 교점 B, C의 좌표를 기울기 m에 대한 식으로 정확하게 표현하는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 교점의 x좌표를 구하는 과정에서 발생하는 복잡한 계산을 감당하지 못하거나, 삼각형 AEC와 ADB의 넓이를 구하는 식을 세울 때 밑변과 높이를 잘못 설정하는 것입니다. 이 문제를 푸는 힌트는 두 넓이의 '차' S1-S2를 구하는 것이므로, 식을 정리하는 과정에서 공통 부분이 소거되어 의외로 간단한 m에 대한 이차식으로 표현될 것이라고 예측하는 것입니다. 그 후, 주어진 m의 범위(0<m<2)에서 최댓값을 찾으면 됩니다.
  
• 29번 — 순열과 정수론(배수 판정법)이 결합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 'A+B+C와 A-B-C가 모두 5의 배수'라는 조건을 '2A와 2(B+C)가 5의 배수'로, 더 나아가 'A와 B+C가 5의 배수'라는 핵심 조건으로 변환할 수 있는지를 묻는 것입니다. 이 변환 과정을 거치지 않고 원래 조건에 맞춰 숫자를 일일이 대입하려 하면 경우의 수가 너무 많아 시간 내에 풀기 어렵습니다. 결정적 힌트는 A가 5의 배수이므로 a3는 반드시 5가 되어야 한다는 점입니다. 그 후, 남은 숫자들로 B와 C를 구성하여 B+C가 5의 배수가 되는 경우를 체계적으로 세는 것이 풀이의 핵심 경로입니다.
  
• 30번 — 주어진 항등식을 통해 두 이차함수와 두 직선의 위치 관계를 추론해야 하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 {f(x)-g(x)}{f(x)-h(x)}=0의 해의 집합이 {α, β}라는 사실을 파악하는 것입니다. 즉, 포물선 f(x)가 두 직선 g(x), h(x)와 만나는 모든 점의 x좌표는 α와 β 두 종류뿐이라는 의미입니다. 학생들은 우변의 (x-α)^n(x-β)^(4-n) 형태 때문에 혼란에 빠지기 쉽지만, 이는 해의 종류와 중근 여부(기하학적으로는 접하는 상황)를 알려주는 정보입니다. 결정적 실마리는 n의 값(1, 2, 3)에 따라 f(x)와 두 직선의 접점 및 교점의 개수가 어떻게 달라지는지를 케이스별로 나누어 그래프를 그려보는 것입니다. 각 케이스가 문제의 조건을 만족하는지 따져보면 유일한 상황을 특정할 수 있습니다.