2025년 10월 고1 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 10월 학평은 30번 문항에서 두 이차함수의 대칭성을 이용해 새로운 함수를 정의하고, 실근의 합 조건을 해석하는 고난도 그래프 추론 문제를 출제하여 최상위권 변별력을 확보했습니다. 전반적으로 단순 연산보다는 21번, 28번처럼 여러 도형의 성질을 좌표평면 위에서 융합적으로 사고하는 능력을 요구하는 문항들이 까다롭게 느껴졌을 것입니다. 특히 함수 그래프의 개형을 추론하고 조건을 만족시키는 미지수를 찾아내는 17번, 30번과 같은 유형은 수1, 수2의 핵심 주제로 직접 연결되므로, 이번 시험을 계기로 관련 개념을 확실히 다져두는 것이 중요합니다.

• 18번 — 이 문제는 사차식이 (x+c)² 형태의 완전제곱식을 인수로 갖는다는 조건을 해석하는 것이 핵심입니다. 많은 학생들이 x=-b를 대입하여 관계식을 하나 찾은 뒤, 조립제법을 연달아 두 번 시도하다가 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는, 어떤 다항식 P(x)가 (x-α)²을 인수로 가지면 P(α)=0 뿐만 아니라 P'(α)=0 (미분계수가 0)이라는 사실을 이용하는 것입니다. (고1 과정에서는, 남은 삼차식이 x=-c를 중근으로 가지므로 판별식 D=0을 활용하여 접근해야 합니다.)
  
• 21번 — 여러 조건이 복합적으로 얽힌 고난도 기하 문제입니다. 출제 의도는 '삼각형 OPQ의 외접원의 중심이 선분 PQ 위에 있다'는 말을 보고 '∠POQ=90°'라는 결론을 이끌어낼 수 있는지를 묻는 것입니다. (지름에 대한 원주각은 90°) 이 사실을 깨닫는 순간, 두 원의 중심 A와 A'(-a, -b), 그리고 원점 O가 이루는 삼각형 OAA'가 직각이등변삼각형임을 파악할 수 있고, 이를 통해 원의 중심 좌표와 반지름을 구할 수 있습니다. 여기서 막혔다면 원의 기본 성질부터 다시 점검해야 합니다.
  
• 28번 — 원의 중심과 반지름을 미지수로 설정하고, 주어진 조건들을 방정식으로 번역하는 능력을 측정하는 문제입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 (가) 조건의 '1:4 내분점'을 어떻게 활용할지 몰라 헤매는 것입니다. 원의 중심을 (a, b)라 할 때, x축과 만나는 두 점의 중점은 (a, 0)이고 y축과 만나는 두 점의 중점은 (0, b)라는 사실을 이용해야 합니다. 이 중점 좌표와 내분점 공식을 연결하는 것이 문제 해결의 첫 단추이며, 마지막은 (나) 조건인 '원과 직선의 접할 조건(d=r)'으로 마무리됩니다.
  
• 29번 — 입체도형 문제를 좌표나 문자를 이용해 대수적으로 풀어내는 능력이 필요한 문항입니다. AB=x, BF=y로 설정하는 것이 기본이지만, 결정적인 실마리는 SD의 길이를 x와 y로 표현하는 데 있습니다. 점 S는 점 Q(x, y, 0)를 z축 방향으로 y만큼 올린 점으로 볼 수 있으므로 S(x, y, y)가 되고, D는 (0, 0, y)가 됩니다. (좌표축 설정에 따라 다름) 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 SD²을 x, y에 대한 식으로 나타내고, 주어진 두 개의 등식을 연립하여 x+y와 xy의 값을 구한 뒤 곱셈 공식을 활용하는 방향으로 풀어야 합니다.
  
• 30번 — 이 시험의 최고난도 문항으로, 함수 그래프의 대칭성과 실근의 합에 대한 깊은 이해를 요구합니다. 핵심은 'h(x)=t의 모든 실근의 합이 4p+2m으로 일정하다'는 조건의 의미를 파악하는 것입니다. 이는 실근들이 특정 축에 대해 대칭적으로 발생함을 암시합니다. 함수 h(x)는 x=α와 x=β를 경계로 f(x)와 g(x)가 합쳐진 형태인데, g(x)는 f(x)를 x축 대칭 후 평행이동한 것이므로 두 함수의 대칭축 사이의 관계를 파악하는 것이 중요합니다. h(x)의 그래프 개형을 그려보고, y=t 직선을 움직여가며 교점들의 x좌표 합이 어떻게 대칭축으로 표현되는지 관찰하는 것이 결정적 힌트입니다.