수학ETF	25_고1_10월	기출문제
	1 ~ 30

두 다항식
[eqn: A=2x^{2}+x+3], [eqn: B=x^{2}+x+2]
에 대하여 [eqn: A-B]는?

①

[eqn: A = 2x^{2} + x + 3], [eqn: B = x^{2} + x + 2]이므로

[eqn: A - B = (2x^{2} + x + 3) - (x^{2} + x + 2)]

[eqn: = 2x^{2} + x + 3 - x^{2} - x - 2][eqn: = (2 - 1)x^{2} + (1 - 1)x + (3 - 2)]

[eqn: = x^{2} + 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: x^{2}+1]	② [eqn: x^{2}+5]	③ [eqn: 3x^{2}+1]

④ [eqn: x^{2}+2x+1]	⑤ [eqn: x^{2}+2x+5]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: (1,`3)], [eqn: (2,`5)]사이의 거리는?

①

좌표평면 위의 두 점 [eqn: (1, 3)], [eqn: (2, 5)] 사이의 거리는

[eqn: sqrt{(2 - 1)^{2} + (5 - 3)^{2}}][eqn: = sqrt{1^{2} + 2^{2}}][eqn: = sqrt{1 + 4}][eqn: = sqrt{5}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt{5}]	② [eqn: sqrt{6}]	③ [eqn: sqrt{7}]

④ [eqn: 2sqrt{2}]	⑤ [eqn: 3]

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,`3,`5 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A^{C}]의 모든 원소의 곱은?

④

전체집합 [eqn: U = left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]이고 부분집합 [eqn: A = left { 1, 3, 5 right }]이므로

집합 [eqn: A]의 여집합 [eqn: A^{C}]는 [eqn: A^{C} = U - A = left { 2, 4 right }]

따라서 집합 [eqn: A^{C}]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 2 times 4 = 8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

직선 [eqn: y=2x+4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 직선의 [eqn: y]절편은?

⑤

직선 [eqn: y = 2x + 4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: y - 3 = 2(x - 1) + 4], [eqn: y = 2x - 2 + 4 + 3], [eqn: y = 2x + 5]

이 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: x = 0]일 때의 [eqn: y]의 값이므로 [eqn: 5]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식
[eqn: (x+2)(x^{2}-2x+4)=x^{3}+(a-3)x+4b]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a times b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

주어진 등식의 좌변을 전개하면

[eqn: (x+2)(x^{2}-2x+4) = x^{3} + 2^{3} = x^{3} + 8]

이므로 주어진 등식은 [eqn: x^{3} + 8 = x^{3} + (a-3)x + 4b]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 [eqn: a - 3 = 0], [eqn: 4b = 8]

[eqn: a - 3 = 0]에서 [eqn: a = 3], [eqn: 4b = 8]에서 [eqn: b = 2]

∴ [eqn: a times b = 3 times 2 = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

연립방정식
[eqn: {cases{x-y=2&#x ^{2} +8x+y ^{2} =2&}}]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

④

[eqn: x-y=2]에서 [eqn: y=x-2] ……①

①을 [eqn: x^{2}+8x+y^{2}=2]에 대입하면

[eqn: x^{2}+8x+(x-2)^{2}=2], [eqn: x^{2}+8x+x^{2}-4x+4=2]

[eqn: 2x^{2}+4x+2=0], [eqn: x^{2}+2x+1=0]

[eqn: (x+1)^{2}=0] ∴ [eqn: x=-1]

[eqn: x=-1]을 ①에 대입하면

[eqn: y=-1-2=-3]

따라서 [eqn: alpha=-1], [eqn: beta=-3]이므로

[eqn: alpha+beta=-1+(-3)=-4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

다항식 [eqn: P(x)]는 [eqn: x+2]로 나누어떨어지고, [eqn: P(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 12]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}-2x-8]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(1)]의 값은?

②

다항식 [eqn: P(x)]를 이차식 [eqn: x^{2}-2x-8]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 하고, 나머지 [eqn: R(x)]는 일차 이하의 다항식이므로 [eqn: R(x) = ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

[eqn: P(x) = (x^{2}-2x-8)Q(x) + ax+b]

즉, [eqn: P(x) = (x-4)(x+2)Q(x) + ax+b] ……①

나머지정리에 의해 [eqn: P(x)]가 [eqn: x+2]로 나누어떨어지므로

[eqn: P(-2) = 0]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 12]이므로

[eqn: P(4) = 12]

①에 [eqn: x = -2], [eqn: x = 4]를 각각 대입하면

[eqn: -2a+b = 0] ……②, [eqn: 4a+b = 12] ……③

③에서 ②를 빼면 [eqn: 6a = 12] ∴ [eqn: a = 2]

[eqn: a = 2]를 ②에 대입하면 [eqn: -4+b = 0] ∴ [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: R(x) = 2x+4]이므로 [eqn: R(1) = 2 times 1 + 4 = 6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

실수가 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z-3 bar{z} = z^{2}]일 때, [eqn: z bar{z}]의 값은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

②

[eqn: z = a + bi] ([eqn: a], [eqn: b]는 실수, [eqn: b neq 0])라 하면 [eqn: bar{z} = a - bi]

주어진 식 [eqn: z - 3 bar{z} = z^{2}]에 대입하면

[eqn: (a + bi) - 3(a - bi) = (a + bi)^{2}]

[eqn: -2a + 4bi = a^{2} - b^{2} + 2abi]

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: -2a = a^{2} - b^{2}] ……①, [eqn: 4b = 2ab] ……②

[eqn: z]는 실수가 아니므로 [eqn: b neq 0]

②에서 양변을 [eqn: 2b]로 나누면 [eqn: a = 2]

[eqn: a = 2]를 ①에 대입하면 [eqn: -4 = 4 - b^{2}], [eqn: b^{2} = 8]

구하는 값은 [eqn: z bar{z}]이므로

[eqn: z bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^{2} + b^{2}]

[eqn: a^{2} + b^{2} = 2^{2} + 8 = 12]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,`0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it0,`a RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점이 원 [eqn: (x-3)^{2}+(y+8)^{2}=36] 위에 있을 때, [eqn: a]의 값은?

②

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점의 좌표를 구하면

[eqn: x]좌표는 [eqn: {2 times 0 - 3 times 3} over {2 - 3} = {-9} over {-1} = 9]

[eqn: y]좌표는 [eqn: {2 times a - 3 times 0} over {2 - 3} = {2a} over {-1} = -2a]

즉, 외분점의 좌표는 [eqn: (9, -2a)]이다.

이 점이 원 [eqn: (x-3)^{2}+(y+8)^{2}=36] 위에 있으므로 대입하면

[eqn: (9-3)^{2} + (-2a+8)^{2} = 36], [eqn: 36 + (-2a+8)^{2} = 36]

[eqn: (-2a+8)^{2} = 0], [eqn: -2a+8 = 0], [eqn: 2a = 8] ∴ [eqn: a = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

중심이 원점이고 직선 [eqn: y=-2x+k]와 만나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 [eqn: C] 라 하자. 원 [eqn: C] 의 넓이가 [eqn: 45pi]일 때, 양의 상수 [eqn: k]의 값은?

①

원의 중심 [eqn: (0, 0)]에서 직선 [eqn: 2x + y - k = 0]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d = {left | -k right |} over {sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = {k} over {sqrt{5}}] ([eqn: k > 0]이므로)

중심이 원점인 원이 직선과 만나려면 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 할 때 [eqn: d leq r]이어야 한다.

원의 넓이가 최소가 되려면 반지름의 길이가 최소이어야 하므로 [eqn: r = d]일 때이다.

즉, 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는 [eqn: r = {k} over {sqrt{5}}]이다.

원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: 45pi]이므로

[eqn: pi r^{2} = pi left ( {k} over {sqrt{5}} right )^{2} = {k^{2}} over {5} pi = 45pi], [eqn: k^{2} = 225]

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 15]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`2 RIGHT )], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (6,`7)], 선분 [eqn: rmAC]의 중점의 좌표가 [eqn: (a,`6)]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는 [eqn: (5,`b)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})]이라 하면 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (6, 7)]이므로

[eqn: {1 + x_{1}} over {2} = 6], [eqn: {2 + y_{1}} over {2} = 7]

[eqn: x_{1} = 11], [eqn: y_{1} = 12]

∴ [eqn: rmB(11, 12)]

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x_{2}, y_{2})]라 하면 선분 [eqn: rmAC]의 중점의 좌표가 [eqn: (a, 6)]이므로

[eqn: {1 + x_{2}} over {2} = a], [eqn: {2 + y_{2}} over {2} = 6]

[eqn: x_{2} = 2a - 1], [eqn: y_{2} = 10]

∴ [eqn: rmC(it2a-1,10)]

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (5, b)]이므로

[eqn: {1 + 11 + (2a - 1)} over {3} = 5], [eqn: {2 + 12 + 10} over {3} = b]

[eqn: 11 + 2a = 15]에서 [eqn: a = 2], [eqn: b = {24} over {3} = 8]

∴ [eqn: a + b = 2 + 8 = 10]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B)]

(나) [eqn: n((A cup C) cap (B cup C)) = 2 times n(B - C)]

[eqn: n(B cup C) = 12]일 때, [eqn: n(C)]의 값은?

③

조건 (가)에서 [eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B)]이므로

[eqn: n(A cap B) = 0]

즉, [eqn: A cap B = emptyset]이다.

조건 (나)의 좌변을 분배법칙을 이용하여 정리하면

[eqn: (A cup C) cap (B cup C) = (A cap B) cup C]

[eqn: A cap B = emptyset]이므로

[eqn: (A cap B) cup C = emptyset cup C = C]

따라서 조건 (나)는 다음과 같이 정리된다.

[eqn: n(C) = 2 times n(B - C)] ……①

한편, 집합의 연산 성질에 의해 [eqn: B cup C = (B - C) cup C]이고, [eqn: (B - C) cap C = emptyset]이므로

[eqn: n(B cup C) = n(B - C) + n(C)]

주어진 조건에서 [eqn: n(B cup C) = 12]이므로

[eqn: n(B - C) + n(C) = 12] ……②

①을 ②에 대입하면

[eqn: n(B - C) + 2 times n(B - C) = 12]

[eqn: 3 times n(B - C) = 12]

[eqn: n(B - C) = 4]

따라서 [eqn: n(C) = 2 times 4 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,`3,`4 RIGHT }], [eqn: LEFT . LEFT . B= LEFT { {x+k} over {2} ` RIGHT | `x IN A RIGHT }]에 대하여 [eqn: (A cap B) subset X subset A]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수가 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

⑤

집합 [eqn: A = left { 1, 3, 4 right }]이므로 [eqn: n(A) = 3]이다.

조건 [eqn: (A cap B) subset X subset A]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 2^{n(A) - n(A cap B)}]이다.

집합 [eqn: X]의 개수가 [eqn: 2]이므로 [eqn: 2^{3 - n(A cap B)} = 2]에서 [eqn: 3 - n(A cap B) = 1]

∴ [eqn: n(A cap B) = 2]

즉, 집합 [eqn: B]의 원소 중 [eqn: 2]개가 집합 [eqn: A]의 원소와 같아야 한다.

집합 [eqn: B = left { {1+k} over {2}, {3+k} over {2}, {4+k} over {2} right }]에서 원소들의 차이는

[eqn: {3+k} over {2} - {1+k} over {2} = 1], [eqn: {4+k} over {2} - {3+k} over {2} = {1} over {2}]

[eqn: {4+k} over {2} - {1+k} over {2} = {3} over {2}]이다.

집합 [eqn: A = left { 1, 3, 4 right }]에서 두 원소의 차이가 [eqn: 1]인 경우는 [eqn: 4 - 3 = 1]뿐이다.

따라서 집합 [eqn: B]의 두 원소 [eqn: {1+k} over {2}], [eqn: {3+k} over {2}]가 각각 집합 [eqn: A]의 두 원소 [eqn: 3], [eqn: 4]와 같아야 한다.

[eqn: {1+k} over {2} = 3]에서 [eqn: 1+k = 6] ∴ [eqn: k = 5]

[eqn: {3+k} over {2} = 4]에서 [eqn: 3+k = 8] ∴ [eqn: k = 5]

이때 [eqn: k = 5]를 집합 [eqn: B]에 대입하면 [eqn: B = left { 3, 4, {9} over {2} right }]이므로 [eqn: A cap B = left { 3, 4 right }]가 되어 [eqn: n(A cap B) = 2]를 만족한다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: left { matrix { (x+9)(x-a^{2}+6a) leq 0 ## (x-2a)(x-2a+16) leq 0 } right .]
을 만족시키는 실수 [eqn: x]가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

⑤

첫 번째 부등식 [eqn: (x+9)(x-a^{2}+6a) leq 0]에서 두 근은 [eqn: -9]와 [eqn: a^{2}-6a]이다.

이때 [eqn: a^{2}-6a - (-9) = a^{2}-6a+9 = (a-3)^{2} geq 0]이므로 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: -9 leq a^{2}-6a]이다.

따라서 첫 번째 부등식의 해는

[eqn: -9 leq x leq a^{2}-6a] ……①

두 번째 부등식 [eqn: (x-2a)(x-2a+16) leq 0]에서 두 근은 [eqn: 2a]와 [eqn: 2a-16]이다.

[eqn: 2a-16 < 2a]이므로 두 번째 부등식의 해는

[eqn: 2a-16 leq x leq 2a] ……②

①, ②를 동시에 만족시키는 실수 [eqn: x]가 오직 하나 존재하려면, 두 닫힌구간이 끝점에서만 만나거나 한 구간이 단 하나의 점으로 이루어져 있고 그 점이 다른 구간에 포함되어야 한다.

(ⅰ) ①의 최댓값과 ②의 최솟값이 같을 때

[eqn: a^{2}-6a = 2a-16]에서 [eqn: a^{2}-8a+16 = 0]

[eqn: (a-4)^{2} = 0] ∴ [eqn: a = 4]

이때 ①은 [eqn: -9 leq x leq -8], ②는 [eqn: -8 leq x leq 8]이므로 공통부분은 [eqn: x = -8]로 유일하다.

(ⅱ) ①의 최솟값과 ②의 최댓값이 같을 때

[eqn: -9 = 2a] ∴ [eqn: a = -{9} over {2}]

이때 ①은 [eqn: -9 leq x leq {189} over {4}], ②는 [eqn: -25 leq x leq -9]이므로 공통부분은 [eqn: x = -9]로 유일하다.

(ⅲ) ①의 해가 단 하나의 점일 때

[eqn: -9 = a^{2}-6a]에서 [eqn: a^{2}-6a+9 = 0]

[eqn: (a-3)^{2} = 0] ∴ [eqn: a = 3]

이때 ①의 해는 [eqn: x = -9]이고, ②의 해는 [eqn: -10 leq x leq 6]이다.

[eqn: x = -9]가 ②의 구간에 포함되므로 공통부분은 [eqn: x = -9]로 유일하다.

(ⅳ) ②의 해가 단 하나의 점일 때

[eqn: 2a-16 = 2a]를 만족하는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서 조건을 만족하는 모든 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 4], [eqn: -{9} over {2}], [eqn: 3]이다.

모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 4 + left ( -{9} over {2} right ) + 3 = {5} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

원 [eqn: C : x^{2}+y^{2}=4] 위에 서로 다른 두 점 [eqn: rm A LEFT ( it a,`b RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it b,`a RIGHT )]가 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 중 [eqn: rmoverline {AP} = overline {BP}], [eqn: rmoverline {AQ} = overline {BQ}]를 만족시키는 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 사각형 [eqn: rmAPBQ]의 넓이가 [eqn: 2 sqrt{2}]일 때, [eqn: a times b]의 값은?

⑤

점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`b RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itb,`a RIGHT )]는 원 [eqn: C : x^{2}+y^{2}=4] 위의 점이므로

[eqn: a^{2}+b^{2}=4] ……①

[eqn: rmoverline {AP} = overline {BP}], [eqn: rmoverline {AQ} = overline {BQ}]이므로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선 위에 있다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표는 [eqn: left ( {a+b} over {2}, {a+b} over {2} right )]이고, 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {a-b} over {b-a} = -1]이므로 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선의 방정식은 [eqn: y=x]이다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: y=x]의 교점이므로

[eqn: x^{2}+x^{2}=4]에서 [eqn: 2x^{2}=4], 즉 [eqn: x^{2}=2]

∴ [eqn: x = +- sqrt{2}]

따라서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표는 각각 [eqn: ( sqrt{2}, sqrt{2} )], [eqn: ( - sqrt{2}, - sqrt{2} )]라 할 수 있고, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는

[eqn: rmoverline {PQ} = sqrt{ ( - sqrt{2} - sqrt{2} )^{2} + ( - sqrt{2} - sqrt{2} )^{2} } = sqrt{8+8} = 4]이다.

사각형 [eqn: rmAPBQ]의 두 대각선 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmPQ]는 서로 수직이므로 사각형 [eqn: rmAPBQ]의 넓이는

[eqn: rm{1} over {2} times overline {AB} times overline {PQ} = 2 sqrt{2}]

[eqn: rm{1} over {2} times overline {AB} times 4 = 2 sqrt{2}]

∴ [eqn: rmoverline {AB} = sqrt{2}]

두 점 [eqn: rmA(ita,b)], [eqn: rmB(itb,a)] 사이의 거리에 대하여

[eqn: {bar{rmAB}} ^{2} =(b-a) ^{2} +(a-b) ^{2} =2(a-b) ^{2}]이므로

[eqn: 2(a-b)^{2} = ( sqrt{2} )^{2} = 2]

∴ [eqn: (a-b)^{2} = 1]

[eqn: (a-b)^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab = 1]이고 ①에 의해 [eqn: a^{2}+b^{2}=4]이므로

[eqn: 4-2ab=1], [eqn: 2ab=3] ∴ [eqn: a times b = {3} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : x^{2}-4x+a+2 leq 0],
[eqn: q : 0 < left | x-b right | leq 4]
의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하자.
[eqn: P!=emptyset], [eqn: P subset Q]
가 되도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는?

③

조건 [eqn: p]에서 [eqn: x^{2}-4x+a+2 leq 0]을 변형하면

[eqn: (x-2)^{2} leq 2-a]

[eqn: P neq emptyset]이므로 [eqn: 2-a geq 0]에서 [eqn: a leq 2]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2]이다.

조건 [eqn: q]에서 [eqn: 0 < left | x-b right | leq 4]를 풀면

[eqn: -4 leq x-b leq 4]이고 [eqn: x-b neq 0]

[eqn: b-4 leq x leq b+4]이고 [eqn: x neq b]

즉, [eqn: Q = left { x | b-4 leq x leq b+4, x neq b right }]이다.

(ⅰ) [eqn: a=1]일 때

[eqn: (x-2)^{2} leq 1]에서 [eqn: -1 leq x-2 leq 1]이므로 [eqn: 1 leq x leq 3]

[eqn: P = left { x | 1 leq x leq 3 right }]

[eqn: P subset Q]이려면 [eqn: b-4 leq 1]이고 [eqn: b+4 geq 3]이며, 집합 [eqn: P]의 원소 중 [eqn: b]가 없어야 하므로 [eqn: b < 1] 또는 [eqn: b > 3]이어야 한다.

[eqn: -1 leq b leq 5]이고 [eqn: b < 1] 또는 [eqn: b > 3]을 만족하는 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 4)], [eqn: (1, 5)]로 [eqn: 2]개이다.

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때

[eqn: (x-2)^{2} leq 0]에서 [eqn: x=2]

[eqn: P = left { 2 right }]

[eqn: P subset Q]이려면 [eqn: b-4 leq 2 leq b+4]이고 [eqn: b neq 2]이어야 한다.

[eqn: -2 leq b leq 6]이고 [eqn: b neq 2]를 만족하는 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (2, 1)], [eqn: (2, 3)], [eqn: (2, 4)], [eqn: (2, 5)], [eqn: (2, 6)]으로 [eqn: 5]개이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 2+5=7]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(p)=f(q)]인 서로 다른 두 정수 [eqn: p], [eqn: q]가 존재한다.

(나) [eqn: n leq x leq n+3]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 곱이 [eqn: f(n) times f(n+3)]의 값과 같지 않도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: f(8)]의 값은?

②

이차함수 [eqn: f(x)]의 대칭축을 [eqn: x = k]라 하면

조건 (가)에서 [eqn: f(p) = f(q)]인 서로 다른 두 정수 [eqn: p], [eqn: q]가 존재하므로

[eqn: k = {p+q} over {2}]에서 [eqn: 2k = p+q]이고 [eqn: p], [eqn: q]가 정수이므로 [eqn: 2k]는 정수이다.

[eqn: n LEQ x LEQ n+3]에서 대칭축 [eqn: x = k]가 포함되지 않으면 최댓값과 최솟값은 양 끝점인 [eqn: f(n)]과 [eqn: f(n+3)]이 되어 그 곱이 [eqn: f(n) times f(n+3)]과 같아진다.

대칭축 [eqn: x = k]가 [eqn: n LEQ x LEQ n+3] 내부에 존재하면 최솟값은 [eqn: f(k)]이고 최댓값은 [eqn: f(n)] 또는 [eqn: f(n+3)]이다.

최댓값이 [eqn: f(n)]이라 할 때, 최댓값과 최솟값의 곱이 [eqn: f(n) times f(n+3)]과 같아지려면

[eqn: f(k) times f(n) = f(n) times f(n+3)]에서 [eqn: f(n) = 0]이거나 [eqn: f(k) = f(n+3)]이어야 한다.

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: 1]이므로 [eqn: f(n) geq 1]에서 [eqn: f(n) neq 0]이고, [eqn: k neq n+3]이므로 [eqn: f(k) neq f(n+3)]이다.

따라서 조건 (나)를 만족하려면 대칭축 [eqn: x = k]가 구간 [eqn: n<x<n+3]에 존재해야 하므로

[eqn: n < k < n+3]이다.

이 부등식을 만족하는 자연수 [eqn: n]이 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]뿐이므로

[eqn: n < k]에서 [eqn: n=6]일 때 성립해야 하므로 [eqn: 6 < k]이고, [eqn: n=7]일 때 성립하지 않아야 하므로 [eqn: k leq 7]이다.

[eqn: k < n+3]에서 [eqn: n=4]일 때 성립해야 하므로 [eqn: k < 7]이고, [eqn: n=3]일 때 성립하지 않아야 하므로 [eqn: k geq 6]이다.

두 조건을 모두 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 6 < k < 7]이다.

[eqn: 2k]가 정수이므로 [eqn: 12 < 2k < 14]에서 [eqn: 2k = 13]

∴ [eqn: k = {13} over {2}]

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x) = left ( x - {13} over {2} right )^{2} + 1]이다.

[eqn: f(8) = left ( 8 - {13} over {2} right )^{2} + 1 = left ( {3} over {2} right )^{2} + 1 = {13} over {4}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 2]가 아닌 양수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: x=a]가 두 함수 [eqn: f(x)=x^{2}-3x+3], [eqn: g(x)=2x^{2}-4x]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 직선 [eqn: x=a]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. [eqn: rmoverline{PR}+overline{QR} leq 3]을 만족시키는 [eqn: a]의 최댓값과 최솟값의 합은?

⑤

점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 좌표는 각각 [eqn: rmP LEFT ( ita,`a ^{2} -3a+3 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( ita,`2a ^{2} -4a RIGHT )], [eqn: rmR LEFT ( ita,`0 RIGHT )]이다.

[eqn: {bar{rmPR}} = LEFT | a ^{2} -3a+3 RIGHT |], [eqn: {bar{rmQR}} = LEFT | 2a ^{2} -4a RIGHT |]이므로

주어진 부등식은 [eqn: left | a^{2}-3a+3 right | + left | 2a^{2}-4a right | leq 3]이다.

이때 [eqn: a^{2}-3a+3 = left ( a - {3} over {2} right )^{2} + {3} over {4} > 0]이므로

[eqn: a^{2}-3a+3 + left | 2a^{2}-4a right | leq 3] ……①

[eqn: 2]가 아닌 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 2a^{2}-4a = 2a(a-2)]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: 0 < a < 2]일 때

[eqn: 2a^{2}-4a < 0]이므로 [eqn: left | 2a^{2}-4a right | = -2a^{2}+4a]

①에 대입하면 [eqn: a^{2}-3a+3 - 2a^{2} + 4a leq 3]

[eqn: -a^{2}+a leq 0], [eqn: a(a-1) geq 0]

∴ [eqn: a leq 0] 또는 [eqn: a geq 1]

[eqn: 0 < a < 2]이므로 [eqn: 1 leq a < 2]

(ⅱ) [eqn: a > 2]일 때

[eqn: 2a^{2}-4a > 0]이므로 [eqn: left | 2a^{2}-4a right | = 2a^{2}-4a]

①에 대입하면 [eqn: a^{2}-3a+3 + 2a^{2} - 4a leq 3]

[eqn: 3a^{2}-7a leq 0], [eqn: a(3a-7) leq 0] ∴ [eqn: 0 leq a leq {7} over {3}]

[eqn: a > 2]이므로 [eqn: 2 < a leq {7} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: 1 leq a < 2] 또는 [eqn: 2 < a leq {7} over {3}]이다.

따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: {7} over {3}], 최솟값은 [eqn: 1]이므로 그 합은 [eqn: {7} over {3} + 1 = {10} over {3}]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

곡선 [eqn: y = -x^{2} + 6x] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C] 라 하자. 원 [eqn: C] 의 넓이가 [eqn: 8pi]이고, 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 원 [eqn: C]에 접할 때, 직선 [eqn: rmAB]의 [eqn: y]절편은?

④

원 [eqn: C] 의 넓이가 [eqn: 8 pi]이므로 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: pi r^{2} = 8 pi]에서 [eqn: r^{2} = 8]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 2 sqrt{2}]

선분 [eqn: rmAB]가 원 [eqn: C] 의 지름이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이는

[eqn: rmbarAB`=4 sqrt {2}] ……①

점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 원 [eqn: C] 에 접하고, 선분 [eqn: rmAB]가 원 [eqn: C] 의 지름이므로 직선 [eqn: rmAB]는 접선과 수직이다.

기울기가 [eqn: 1]인 직선과 수직이므로 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식을 [eqn: y = -x + k]라 하면

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y = -x^{2} + 6x]와 직선 [eqn: y = -x + k]의 교점이다.

[eqn: -x^{2} + 6x = -x + k]에서 [eqn: x^{2} - 7x + k = 0]

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta = 7], [eqn: alpha beta = k] ……②

두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 좌표를 각각 [eqn: A( alpha, - alpha + k)], [eqn: B( beta, - beta + k)]라 하면

[eqn: rmbarAB` ^{2} =( beta - alpha ) ^{2} +(- beta +k-(- alpha +k)) ^{2}]

[eqn: = ( beta - alpha )^{2} + ( alpha - beta )^{2}][eqn: = 2 ( beta - alpha )^{2}][eqn: = 2 left ( ( alpha + beta )^{2} - 4 alpha beta right )]

①, ②에서

[eqn: ( 4 sqrt{2} )^{2} = 2 ( 7^{2} - 4k )], [eqn: 32 = 2 ( 49 - 4k )], [eqn: 16 = 49 - 4k]

[eqn: 4k = 33] ∴ [eqn: k = {33} over {4}]

직선 [eqn: rmAB]의 [eqn: y]절편은 [eqn: k]이므로 [eqn: {33} over {4}]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {27} over {4}]	② [eqn: {29} over {4}]	③ [eqn: {31} over {4}]

④ [eqn: {33} over {4}]	⑤ [eqn: {35} over {4}]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: {bar{rmAB}} =3a ^{2} +10a+7], [eqn: {bar{rmAD}} = {bar{rmAE}} =a]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:a]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmDC]를 [eqn: 1:a]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 단면 [eqn: rmPFGQ]가 생기도록 삼각기둥 [eqn: rmPFB-QGC]를 잘라 내었다. 사각기둥 [eqn: rmAEFP-DHGQ]의 부피를 [eqn: V_{1}], 삼각기둥 [eqn: rmPFB-QGC]의 부피를 [eqn: V_{2}]라 하자. [eqn: V_{1}-V_{2}=4]일 때, 선분 [eqn: rmAP]의 길이는?

④

선분 [eqn: rmAB]의 길이를 인수분해하면

[eqn: {bar{rmAB}} =3a ^{2} +10a+7=(3a+7)(a+1)]

점 [eqn: P]는 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1:a]로 내분하므로

[eqn: {bar{rmAP}} = {bar{rmAB}} TIMES {1} over {1+a} =(3a+7)(a+1) TIMES {1} over {a+1} =3a+7]

[eqn: {bar{rmPB}} = {bar{rmAB}} TIMES {a} over {1+a} =(3a+7)(a+1) TIMES {a} over {a+1} =3a ^{2} +7a]

사각기둥 [eqn: rmAEFP-DHGQ]의 부피 [eqn: V_{1}]은 밑면을 사다리꼴 [eqn: rmAEFP]로 하고 높이가 [eqn: {bar{rmAD}} =a]인 기둥의 부피이므로

[eqn: V _{1} = {1} over {2} ( {bar{rmAP}} + {bar{rmEF}} ) TIMES {bar{rmAE}} TIMES {bar{rmAD}}]

[eqn: {bar{rmEF}} = {bar{rmAB}} =3a ^{2} +10a+7]이고 [eqn: {bar{rmAE}} =a]이므로

[eqn: V_{1} = {1} over {2} (3a+7 + 3a^{2}+10a+7) times a times a = {1} over {2} a^{2} (3a^{2} + 13a + 14)]

삼각기둥 [eqn: rmPFB-QGC]의 부피 [eqn: V_{2}]는 밑면을 직각삼각형 [eqn: rmPFB]로 하고 높이가 [eqn: {bar{rmBC}} =a]인 기둥의 부피이므로

[eqn: V _{2} = {1} over {2} TIMES {bar{rmPB}} TIMES {bar{rmBF}} TIMES {bar{rmBC}}]

[eqn: {bar{rmBF}} = {bar{rmAE}} =a]이므로

[eqn: V_{2} = {1} over {2} (3a^{2}+7a) times a times a = {1} over {2} a^{2} (3a^{2} + 7a)]

[eqn: V_{1} - V_{2} = 4]에서

[eqn: {1} over {2} a^{2} (3a^{2} + 13a + 14) - {1} over {2} a^{2} (3a^{2} + 7a) = 4]

[eqn: {1} over {2} a^{2} (6a + 14) = 4], [eqn: a^{2} (3a + 7) = 4], [eqn: 3a^{3} + 7a^{2} - 4 = 0]

인수정리와 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

[eqn: (a+1)(a+2)(3a-2) = 0]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a = {2} over {3}]

∴ [eqn: {bar{rmAP}} =3a+7=3 TIMES {2} over {3} +7=9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: 8]	③ [eqn: {17} over {2}]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

좌표평면 위의 두 원
[eqn: C_{1} : (x-2)^{2}+(y-6)^{2}=1],
[eqn: C_{2} : (x-6)^{2}+(y-4)^{2}=9]
에 대하여 원 [eqn: C_{1}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP], 원 [eqn: C_{2}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ], [eqn: y]축 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmR], [eqn: rmS]가 있다. 두 점 [eqn: rmR], [eqn: rmS]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmR'], [eqn: rmS']이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

	<보 기>
ㄱ. 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,`2 RIGHT )], [eqn: rmA' LEFT ( 4,`-2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rmoverline {AR} = overline {A'R'}]이다. ㄴ. 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,`2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rmoverline {AR} + overline {PR'}]의 최솟값은 [eqn: 9]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmB LEFT ( ita,`6a+1 RIGHT )] ([eqn: a]는 양의 상수)에 대하여 ([eqn: rmoverline {BR} + overline {PR'}]의 최솟값)=([eqn: rmoverline {BS} + overline {QS'}]의 최솟값)+[eqn: 2]일 때, [eqn: rmoverline {OB}]의 값은 [eqn: {sqrt{65}} over {2}]이다.

⑤

ㄱ. 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmA']은 [eqn: x]축에 대하여 대칭이고, 점 [eqn: rmR]과 점 [eqn: rmR']도 [eqn: x]축에 대하여 대칭이므로 [eqn: rmoverline {AR} = overline {A'R'}]이다. (참)

ㄴ. [eqn: rmoverline {AR} + overline {PR'} = overline {A'R'} + overline {PR'}]이다.

점 [eqn: rmA'(4, -2)]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA''(-4, -2)]라 하면 [eqn: rmR']이 [eqn: y]축 위의 점이므로 [eqn: rmoverline {A'R'} = overline {A''R'}]이다.

[eqn: rmoverline {A'R'} + overline {PR'} = overline {A''R'} + overline {PR'} geq overline {A''P}]

원 [eqn: C_{1}]의 중심을 [eqn: rmO_{1}(2, 6)]이라 하면 [eqn: rmoverline {A''P}]의 최솟값은 [eqn: rmoverline {A''O_{1}} - 1]이다.

[eqn: rmoverline {A''O_{1}} = sqrt{(2 - (-4))^{2} + (6 - (-2))^{2}} = sqrt{36 + 64} = 10]

따라서 [eqn: rmoverline {AR} + overline {PR'}]의 최솟값은 [eqn: 10 - 1 = 9]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rmB(ita,6a+1)]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB _{1} (ita,-6a-1)]이라 하면 [eqn: rmoverline {BR} = overline {B_{1}R'}]이고 [eqn: rmoverline {BS} = overline {B_{1}S'}]이다.

점 [eqn: rmB _{1} (ita,-6a-1)]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB _{2} (it-a,-6a-1)]이라 하면

[eqn: rmoverline {BR} + overline {PR'} = overline {B_{1}R'} + overline {PR'} = overline {B_{2}R'} + overline {PR'} geq overline {B_{2}P}]

[eqn: rmoverline {BS} + overline {QS'} = overline {B_{1}S'} + overline {QS'} = overline {B_{2}S'} + overline {QS'} geq overline {B_{2}Q}]

원 [eqn: C_{2}] 의 중심을 [eqn: rmO_{2}(6, 4)]라 하면

([eqn: rmoverline {BR} + overline {PR'}]의 최솟값) [eqn: rm= overline {B_{2}O_{1}} - 1]

([eqn: rmoverline {BS} + overline {QS'}]의 최솟값) [eqn: rm= overline {B_{2}O_{2}} - 3]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline {B_{2}O_{1}} - 1 = overline {B_{2}O_{2}} - 3 + 2]이므로 [eqn: rmoverline {B_{2}O_{1}} = overline {B_{2}O_{2}}]이다.

즉, 점 [eqn: rmB_{2}]는 두 점 [eqn: rmO_{1}(2, 6)]과 [eqn: rmO_{2}(6, 4)]를 이은 선분의 수직이등분선 위의 점이다.

선분 [eqn: rmO_{1}O_{2}]의 중점은 [eqn: (4, 5)]이고 기울기는 [eqn: {4-6} over {6-2} = - {1} over {2}]이므로 수직이등분선의 기울기는 [eqn: 2]이다.

수직이등분선의 방정식은 [eqn: y - 5 = 2(x - 4)], 즉 [eqn: y = 2x - 3]이다.

점 [eqn: rmB _{2} (it-a,-6a-1)]이 이 직선 위에 있으므로

[eqn: -6a - 1 = 2(-a) - 3], [eqn: -4a = -2] ∴ [eqn: a = {1} over {2}]

따라서 [eqn: rmB left ( {1} over {2}, 4 right )]이므로 [eqn: rmoverline {OB} = sqrt{ left ( {1} over {2} right )^{2} + 4^{2}} = {sqrt{65}} over {2}]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위의 두 점 [eqn: LEFT ( 0,`a RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,`2a+1 RIGHT )]을 지나는 직선과 직선 [eqn: y=2x+7]이 서로 평행할 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

두 점 [eqn: (0, a)], [eqn: (2, 2a+1)]을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {(2a+1) - a} over {2 - 0} = {a+1} over {2}]

직선 [eqn: y=2x+7]의 기울기는 [eqn: 2]이다.

두 직선이 서로 평행하므로 기울기가 같다.

즉, [eqn: {a+1} over {2} = 2]에서 [eqn: a+1 = 4] ∴ [eqn: a = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

[eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: x^{3}+3x^{2}+(16-a)x+a-20=0]
이 허근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

[eqn: 15]

방정식 [eqn: x^{3} + 3x^{2} + (16-a)x + a - 20 = 0]의 좌변을 인수분해하기 위해 [eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 1^{3} + 3 times 1^{2} + (16-a) times 1 + a - 20 = 1 + 3 + 16 - a + a - 20 = 0]이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x^{2} + 4x + 20 - a) = 0]

이 방정식이 허근을 가지려면 이차방정식 [eqn: x^{2} + 4x + 20 - a = 0]이 허근을 가져야 하므로

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = 2^{2} - (20 - a) < 0], [eqn: 4 - 20 + a < 0] ∴ [eqn: a < 16]

조건에서 [eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: ...], [eqn: 15]이다.

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : x+5 leq k,]
[eqn: q : x^{2}-8x+12=0]
에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 11]

조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하면

[eqn: P = left { x | x leq k-5 right }]

[eqn: x^{2}-8x+12=0]에서 [eqn: (x-2)(x-6)=0]이므로 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=6]

[eqn: Q = left { 2, 6 right }]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: Q subset P]이어야 한다.

즉, [eqn: 2 in P]이고 [eqn: 6 in P]이어야 하므로

[eqn: 2 leq k-5]이고 [eqn: 6 leq k-5]

두 부등식을 동시에 만족해야 하므로 [eqn: 6 leq k-5]

[eqn: k geq 11]

따라서 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

다항식 [eqn: (x^{2}+2x)(2x^{2}+4x+5)+3]이 [eqn: (x+a)^{2}(2x^{2}+bx+c)]로 인수분해될 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 8]

[eqn: x^{2}+2x = X]라 하면 주어진 다항식은

[eqn: X(2X+5)+3 = 2X^{2}+5X+3][eqn: = (X+1)(2X+3)]

[eqn: X = x^{2}+2x]를 대입하면

[eqn: (x^{2}+2x+1)(2(x^{2}+2x)+3)][eqn: = (x+1)^{2}(2x^{2}+4x+3)]

이 식이 [eqn: (x+a)^{2}(2x^{2}+bx+c)]와 같으므로

[eqn: a=1], [eqn: b=4], [eqn: c=3]

∴ [eqn: a+b+c = 1+4+3 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

좌표평면에서 두 직선 [eqn: y=2x+6], [eqn: y=-2x+6]에 모두 접하고 점 [eqn: LEFT ( 2,`0 RIGHT )]을 지나는 서로 다른 두 원의 중심을 각각 [eqn: O_{1}], [eqn: O_{2}]라 할 때, 선분 [eqn: O_{1}O_{2}]의 길이를 구하시오.

[eqn: 5]

두 직선 [eqn: y=2x+6], [eqn: y=-2x+6]을 각각 일반형으로 나타내면

[eqn: 2x-y+6=0], [eqn: 2x+y-6=0]이다.

두 직선에 모두 접하는 원의 중심을 [eqn: (a, b)]라 하면 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해

[eqn: {left | 2a-b+6 right |} over {sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = {left | 2a+b-6 right |} over {sqrt{2^{2}+1^{2}}}]

[eqn: left | 2a-b+6 right | = left | 2a+b-6 right |]

[eqn: 2a-b+6 = 2a+b-6] 또는 [eqn: 2a-b+6 = -(2a+b-6)]

[eqn: 2b = 12] 또는 [eqn: 4a = 0]

∴ [eqn: b = 6] 또는 [eqn: a = 0]

따라서 원의 중심은 직선 [eqn: y=6] 또는 [eqn: y]축 위에 있다.

(ⅰ) 원의 중심이 직선 [eqn: y=6] 위에 있는 경우

중심의 좌표를 [eqn: (a, 6)]이라 하면 원이 점 [eqn: (2, 0)]을 지나고 직선 [eqn: 2x-y+6=0]에 접하므로

[eqn: sqrt{(a-2)^{2}+(6-0)^{2}} = {left | 2a-6+6 right |} over {sqrt{5}}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a^{2}-4a+40 = {4a^{2}} over {5}], [eqn: 5a^{2}-20a+200 = 4a^{2}]

[eqn: a^{2}-20a+200 = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (-10)^{2}-200 = -100 < 0]이므로 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) 원의 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 경우

중심의 좌표를 [eqn: (0, b)]라 하면 원이 점 [eqn: (2, 0)]을 지나고 직선 [eqn: 2x-y+6=0]에 접하므로

[eqn: sqrt{(0-2)^{2}+(b-0)^{2}} = {left | -b+6 right |} over {sqrt{5}}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4+b^{2} = {b^{2}-12b+36} over {5}], [eqn: 20+5b^{2} = b^{2}-12b+36]

[eqn: 4b^{2}+12b-16 = 0], [eqn: b^{2}+3b-4 = 0], [eqn: (b+4)(b-1) = 0]

∴ [eqn: b = -4] 또는 [eqn: b = 1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 두 원의 중심은 각각 [eqn: (0, -4)], [eqn: (0, 1)]이다.

두 원의 중심을 각각 [eqn: rmO_{1}], [eqn: rmO_{2}]라 하면 두 점 사이의 거리 공식에 의해 선분 [eqn: rmO_{1}O_{2}]의 길이는

[eqn: sqrt{(0-0)^{2}+(1-(-4))^{2}} = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b(b leq 20)]에 대하여 전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x는``20``이하의``자연수 RIGHT }]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { x`|`x는``a의``배수,`x IN U RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { x`|`x는``b의``약수,`x IN U RIGHT }]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: LEFT { 3,`6 RIGHT } SUBSET A SMALLINTER B]

(나) [eqn: n(B-A)=2]

집합 [eqn: A-B]의 모든 원소의 합의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 27]

조건 (가)에서 [eqn: left { 3, 6 right } subset A cap B]이므로 [eqn: 3 in A], [eqn: 6 in A]이고 [eqn: 3 in B], [eqn: 6 in B]이다.

[eqn: 3]과 [eqn: 6]이 [eqn: a]의 배수이므로 [eqn: a]는 [eqn: 3]의 약수이다.

따라서 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=3]이다.

[eqn: 3]과 [eqn: 6]이 [eqn: b]의 약수이므로 [eqn: b]는 [eqn: 6]의 배수이다.

[eqn: b leq 20]이므로 [eqn: b]는 [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 18] 중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a=1]인 경우

[eqn: A=U]이므로 [eqn: B subset A]가 되어 [eqn: B-A=emptyset]이다.

즉, [eqn: n(B-A)=0]이므로 조건 (나)를 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: a=3]이고 [eqn: A=left { 3, 6, 9, 12, 15, 18 right }]이다.

(ⅱ) [eqn: b=6]인 경우

[eqn: B=left { 1, 2, 3, 6 right }]이므로 [eqn: B-A=left { 1, 2 right }]이다.

[eqn: n(B-A)=2]이므로 조건 (나)를 만족한다.

이때 [eqn: A-B=left { 9, 12, 15, 18 right }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 9+12+15+18=54]이다.

(ⅲ) [eqn: b=12]인 경우

[eqn: B=left { 1, 2, 3, 4, 6, 12 right }]이므로 [eqn: B-A=left { 1, 2, 4 right }]이다.

[eqn: n(B-A)=3]이므로 조건 (나)를 만족하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: b=18]인 경우

[eqn: B=left { 1, 2, 3, 6, 9, 18 right }]이므로 [eqn: B-A=left { 1, 2 right }]이다.

[eqn: n(B-A)=2]이므로 조건 (나)를 만족한다.

이때 [eqn: A-B=left { 12, 15 right }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 12+15=27]이다.

따라서 집합 [eqn: A-B]의 모든 원소의 합의 최솟값은 [eqn: 27]이다.

따라서 정답은 [eqn: 27]이다.

두 이차다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: left { P(x) right }^{2} - left { Q(x) right }^{2} = x^{2}(x-1)(x-2)]
이다.

(나) [eqn: left | P(2) - Q(2) right | < left | P(1) - Q(1) right |]

[eqn: P(3) + Q(3) = 24]일 때, [eqn: P(4)]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

조건 (가)에서 [eqn: left { P(x) right }^{2} - left { Q(x) right }^{2} = x^{2}(x-1)(x-2)]이므로

[eqn: left { P(x) + Q(x) right } left { P(x) - Q(x) right } = x^{2}(x-1)(x-2)] ……①

[eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가 이차다항식이므로 [eqn: P(x) + Q(x)]와 [eqn: P(x) - Q(x)]는 차수가 [eqn: 2] 이하인 다항식이다.

①의 우변이 [eqn: 4]차식이므로 [eqn: P(x) + Q(x)]와 [eqn: P(x) - Q(x)]는 모두 이차다항식이다.

상수 [eqn: a] ([eqn: a neq 0])에 대하여 두 이차다항식 [eqn: P(x) + Q(x)], [eqn: P(x) - Q(x)]의 곱이 [eqn: x^{2}(x-1)(x-2)]가 되는 경우는 다음 네 가지이다.

(ⅰ) [eqn: P(x) + Q(x) = a x^{2}], [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {a} (x-1)(x-2)]인 경우

[eqn: P(3) + Q(3) = 9a = 24]에서 [eqn: a = {8} over {3}]

이때 [eqn: P(x) - Q(x) = {3} over {8} (x-1)(x-2)]이므로

[eqn: left | P(2) - Q(2) right | = 0], [eqn: left | P(1) - Q(1) right | = 0]

이는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: P(x) + Q(x) = a(x-1)(x-2)], [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {a} x^{2}]인 경우

[eqn: P(3) + Q(3) = 2a = 24]에서 [eqn: a = 12]

이때 [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {12} x^{2}]이므로

[eqn: left | P(2) - Q(2) right | = {1} over {3}], [eqn: left | P(1) - Q(1) right | = {1} over {12}]

이는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: P(x) + Q(x) = a x(x-2)], [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {a} x(x-1)]인 경우

[eqn: P(3) + Q(3) = 3a = 24]에서 [eqn: a = 8]

이때 [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {8} x(x-1)]이므로

[eqn: left | P(2) - Q(2) right | = {1} over {4}], [eqn: left | P(1) - Q(1) right | = 0]

이는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅳ) [eqn: P(x) + Q(x) = a x(x-1)], [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {a} x(x-2)]인 경우

[eqn: P(3) + Q(3) = 6a = 24]에서 [eqn: a = 4]

이때 [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {4} x(x-2)]이므로

[eqn: left | P(2) - Q(2) right | = 0], [eqn: left | P(1) - Q(1) right | = {1} over {4}]

이는 조건 (나)를 만족시킨다.

따라서 (ⅰ) ~ (ⅳ)에서 [eqn: P(x) + Q(x) = 4x(x-1)]이고 [eqn: P(x) - Q(x) = {1} over {4} x(x-2)]이다.

두 식을 더하면 [eqn: 2 P(x) = 4x(x-1) + {1} over {4} x(x-2)]

[eqn: x = 4]를 대입하면 [eqn: 2 P(4) = 4 times 4 times 3 + {1} over {4} times 4 times 2 = 48 + 2 = 50]

∴ [eqn: P(4) = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO_{1}]인 원 [eqn: C_{1}] 위에 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 [eqn: rmangle BO_{1}A = 90^{circ}]가 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmO_{1}A] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C_{2}], 선분 [eqn: rmO_{1}B] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 선분 [eqn: rmBD]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C_{3}]이라 하고, 두 원 [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 중심을 각각 [eqn: rmO_{2}], [eqn: rmO_{3}]이라 하자. 사각형 [eqn: rmAO_{2}O_{3}B]의 넓이가 [eqn: 34]이고 [eqn: rmoverline{O_{1}C} + overline{O_{1}D} = 6sqrt{2}]일 때, 세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 넓이의 합이 [eqn: p pi]이다. [eqn: p]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmO_{1}]도 아니며, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmB]도 아니고 점 [eqn: rmO_{1}]도 아니다.)

[eqn: 154]

원 [eqn: C_{1}]의 반지름의 길이를 [eqn: R], 원 [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_{1}], [eqn: r_{2}]라 하면

[eqn: {bar{rmO _{1} A}} = {bar{rmO _{1} B}} =R], [eqn: {bar{rmAC}} =2r _{1}], [eqn: {bar{rmBD}} =2r _{2}]이고

[eqn: {bar{rmO _{1} C}} =R-2r _{1}], [eqn: {bar{rmO _{1} D}} =R-2r _{2}]이다.

[eqn: {bar{rmO _{1} C}} + {bar{rmO _{1} D}} =6 sqrt {2}]에서

[eqn: (R - 2r_{1}) + (R - 2r_{2}) = 6sqrt{2}]

[eqn: 2R - 2(r_{1} + r_{2}) = 6sqrt{2}]

∴ [eqn: R - (r_{1} + r_{2}) = 3sqrt{2}] ……①

[eqn: angle BO_{1}A = 90^{circ}]이므로 직각삼각형의 넓이를 이용하여 사각형 [eqn: rmAO_{2}O_{3}B]의 넓이를 구한다.

[eqn: {bar{rmO _{1} O _{2}}} = {bar{rmO _{1} A}} - {bar{rmAO _{2}}} =R-r _{1}]

[eqn: {bar{rmO _{1} O _{3}}} = {bar{rmO _{1} B}} - {bar{rmBO _{3}}} =R-r _{2}]

사각형 [eqn: rmAO_{2}O_{3}B]의 넓이는 직각삼각형 [eqn: rmO_{1}AB]의 넓이에서 직각삼각형 [eqn: rmO_{1}O_{2}O_{3}]의 넓이를 뺀 값과 같으므로

[eqn: {1} over {2} R^{2} - {1} over {2} (R - r_{1})(R - r_{2}) = 34]

[eqn: R^{2} - (R^{2} - R r_{1} - R r_{2} + r_{1} r_{2}) = 68]

[eqn: R(r_{1} + r_{2}) - r_{1} r_{2} = 68]

∴ [eqn: r_{1} r_{2} = R(r_{1} + r_{2}) - 68] ……②

세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 넓이의 합은 [eqn: pi R^{2} + pi r_{1}^{2} + pi r_{2}^{2} = pi (R^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2})]이므로 [eqn: p = R^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2}]이다.

[eqn: p = R^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2} - 2r_{1} r_{2}]

②를 대입하면

[eqn: p = R^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2} - 2 left ( R(r_{1} + r_{2}) - 68 right )]

[eqn: p = R^{2} - 2R(r_{1} + r_{2}) + (r_{1} + r_{2})^{2} + 136]

[eqn: p = left ( R - (r_{1} + r_{2}) right )^{2} + 136]

①에 의해 [eqn: R - (r_{1} + r_{2}) = 3sqrt{2}]이므로

[eqn: p = (3sqrt{2})^{2} + 136 = 18 + 136 = 154]

따라서 정답은 [eqn: 154]이다.

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 두 집합
[eqn: X= LEFT { x`|` LEFT | f(x) RIGHT | =1,`x는``실수 RIGHT }]
[eqn: Y= LEFT { x`|` LEFT | g(x) RIGHT | =1,`x는``실수 RIGHT }]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n(X cap Y) = 3], [eqn: n(X cup Y) = 4]

(나) 집합 [eqn: X cap Y]의 모든 원소의 합은 [eqn: 3]이고 집합 [eqn: X cup Y]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: f(2) < f(1)]일 때, [eqn: f(7) - g(9)]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

조건 (가)에서 [eqn: n(X cap Y) = 3], [eqn: n(X cup Y) = 4]이므로

[eqn: n(X cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X cap Y)]에서

[eqn: 4 = n(X) + n(Y) - 3]

[eqn: n(X) + n(Y) = 7] ……①

이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 방정식 [eqn: left | f(x) right | = 1], [eqn: left | g(x) right | = 1]의 실근의 개수는 각각 최대 [eqn: 4]개이므로

①을 만족하는 순서쌍 [eqn: (n(X), n(Y))]는 [eqn: (4, 3)] 또는 [eqn: (3, 4)]이다.

조건 (나)에서 집합 [eqn: X cap Y]의 모든 원소의 합은 [eqn: 3]이고, 집합 [eqn: X cup Y]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: X cup Y]의 원소 중 [eqn: X cap Y]에 속하지 않는 나머지 한 원소를 [eqn: k]라 하면

[eqn: 3 + k = 8]에서 [eqn: k = 5]이다.

이차함수의 그래프는 축에 대하여 대칭이므로, 방정식 [eqn: left | f(x) right | = 1]과 [eqn: left | g(x) right | = 1]의 해 역시 각각의 축에 대하여 대칭을 이룬다.

(ⅰ) [eqn: n(X) = 3], [eqn: n(Y) = 4]인 경우

집합 [eqn: X]의 원소의 개수가 [eqn: 3]개이므로 [eqn: f(x)]의 그래프의 축을 [eqn: x = a]라 하면 세 원소의 합은 [eqn: 3a]이다.

[eqn: X cap Y]가 [eqn: X]와 같으므로 세 원소의 합은 [eqn: 3]이다.

즉, [eqn: 3a = 3]에서 [eqn: a = 1]이므로 [eqn: f(x)]의 축은 [eqn: x = 1]이다.

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이므로 [eqn: x = 1]에서 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: f(2) > f(1)]이 되어 조건 [eqn: f(2) < f(1)]에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: n(X) = 4], [eqn: n(Y) = 3]인 경우

집합 [eqn: Y]의 원소의 개수가 [eqn: 3]개이므로 [eqn: g(x)]의 그래프의 축을 [eqn: x = b]라 하면 세 원소의 합은 [eqn: 3b]이다.

[eqn: X cap Y]가 [eqn: Y]와 같으므로 세 원소의 합은 [eqn: 3]이다.

즉, [eqn: 3b = 3]에서 [eqn: b = 1]이므로 [eqn: g(x)]의 축은 [eqn: x = 1]이다.

집합 [eqn: X]는 [eqn: Y]의 원소 [eqn: 3]개와 [eqn: 5]를 원소로 가지며, [eqn: X]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: f(x)]의 그래프의 축을 [eqn: x = c]라 하면 네 원소의 합은 [eqn: 4c]이므로

[eqn: 4c = 8]에서 [eqn: c = 2]이다. 즉, [eqn: f(x)]의 축은 [eqn: x = 2]이다.

이때 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록하고 축이 [eqn: x = 2]이므로 [eqn: f(2) < f(1)]을 만족한다.

집합 [eqn: Y]는 축 [eqn: x = 1]에 대하여 대칭인 [eqn: 3]개의 실수를 원소로 가지므로 [eqn: 1]을 반드시 원소로 포함한다.

[eqn: Y = left { 1-d, 1, 1+d right }] ([eqn: d > 0])라 하면

[eqn: X = left { 1-d, 1, 1+d, 5 right }]이다.

집합 [eqn: X]의 원소들은 [eqn: x = 2]에 대하여 대칭을 이루어야 하므로, 가장 작은 원소와 가장 큰 원소의 합은 [eqn: 4]가 되어야 한다.

가장 큰 원소가 [eqn: 5]이므로 가장 작은 원소는 [eqn: -1]이다.

즉, [eqn: 1-d = -1]에서 [eqn: d = 2]이다.

따라서 [eqn: Y = left { -1, 1, 3 right }]이고 [eqn: X = left { -1, 1, 3, 5 right }]이다.

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 양수이고 축이 [eqn: x = 2]이므로

[eqn: f(1) = f(3) = -1], [eqn: f(-1) = f(5) = 1]이다.

[eqn: f(x) = a(x-2)^{2} + q] ([eqn: a > 0])라 하면

[eqn: f(1) = a + q = -1]

[eqn: f(5) = 9a + q = 1]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: 8a = 2]에서 [eqn: a = {1} over {4}], [eqn: q = -{5} over {4}]이다.

∴ [eqn: f(x) = {1} over {4} (x-2)^{2} - {5} over {4}]

[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 음수이고 축이 [eqn: x = 1]이며 [eqn: n(Y) = 3]이므로

[eqn: g(1) = 1]이고 [eqn: g(-1) = g(3) = -1]이다.

[eqn: g(x) = p(x-1)^{2} + 1] ([eqn: p < 0])라 하면

[eqn: g(3) = 4p + 1 = -1]에서 [eqn: p = -{1} over {2}]이다.

∴ [eqn: g(x) = -{1} over {2} (x-1)^{2} + 1]

구하고자 하는 값은 [eqn: f(7) - g(9)]이므로

[eqn: f(7) = {1} over {4} (7-2)^{2} - {5} over {4} = {25} over {4} - {5} over {4} = 5]

[eqn: g(9) = -{1} over {2} (9-1)^{2} + 1 = -32 + 1 = -31]

∴ [eqn: f(7) - g(9) = 5 - (-31) = 36]

따라서 정답은 [eqn: 36]이다.