2022년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 등차수열 문항에서 절댓값 합의 최대 조건을 해석하지 못해 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 시험은 수열(등차, 등비) 파트의 비중이 높았고, 단순히 공식을 적용하는 것을 넘어 각 항의 부호 변화나 합의 증감 추이 등 깊이 있는 이해를 요구하는 문제들이 눈에 띄었습니다. 특히 29번, 30번처럼 여러 개념을 복합적으로 활용하고 꼼꼼한 케이스 분류를 요구하는 문항들이 변별력을 갈랐습니다. 이러한 경향은 수능에서도 마찬가지입니다. 수열의 규칙성을 추론하고, 함수의 그래프를 해석하는 능력은 수능 수학의 핵심 역량이므로, 이번 시험의 고난도 문항들을 통해 자신의 약점을 파악하고 보완하는 계기로 삼아야 합니다.

문항 분석

• 14번

  — 부채꼴이라는 특수한 기하학적 상황에서 사인 법칙과 코사인 법칙을 복합적으로 활용하여 변의 길이를 구할 수 있는지를 평가하는 문제입니다. 많은 학생들이 ∠BPA > 90° 라는 조건을 해석하지 못하고 넘어가는 실수를 합니다. 이 조건은 코사인 법칙을 적용했을 때 cos(∠BPA)의 값이 음수임을 알려주는 결정적인 힌트입니다. 문제 해결의 첫 단추는 삼각형 OAB에서 코사인 법칙을 이용해 중심각의 크기를 파악하고, 이를 통해 원주각인 ∠APB의 범위를 특정하는 것입니다. 그 후, AP:BP=3:1 비율을 k, 3k로 설정하고 삼각형 APB에 코사인 법칙을 적용하면 됩니다.
  

• 16번

  — 삼각함수 그래프의 대칭성과 주기성을 기하학적 문제 해결에 응용할 수 있는지를 묻고 있습니다. 점 C의 좌표를 구할 때, 함수 y=f(x)와 직선 y=mx(원점을 지나는 직선)의 교점 B, C가 원점 대칭 관계에 있다는 사실을 간파하는 것이 시간 단축의 핵심입니다. 이 사실을 놓치면 복잡한 계산에 빠지기 쉽습니다. 먼저 f(x) = √2 방정식을 풀어 점 A, B의 x좌표를 구하고, 그래프의 대칭성을 이용해 B의 좌표를 확정하세요. 그 다음 C의 좌표는 B를 원점 대칭시켜 구한 뒤, 세 점의 좌표를 이용해 코사인 법칙을 적용하면 sinθ 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 절댓값을 포함한 두 등차수열의 합으로 정의된 새로운 수열 S_n의 특징을 추론하는 문제입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 'S_p = 108인 자연수 p가 존재한다'는 말을 S_n의 최댓값이 108이라고 착각하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 S_n이 언제까지 증가하고 언제부터 감소하는지, 즉 일반항 |a_k| - |b_k|의 부호가 언제 양수에서 음수로 바뀌는지를 찾는 것입니다. (가) 조건 |a_7| = |b_7|을 풀면 a와 d 사이의 관계식이 나오고, 이를 통해 두 수열의 일반항을 한 문자로 정리하는 것이 문제 해결의 출발점입니다.
  

• 28번

  — n제곱근 중 '실수인 것'의 개수는 n의 홀짝 여부와 제곱근 안의 값의 부호에 따라 달라진다는 기본 개념을 정확히 꿰뚫고 있는지 확인하는 문제입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 2차식 n²-17n+19k의 부호를 판별할 때, n이 자연수라는 조건을 간과하고 모든 실수 범위에서 생각하는 것입니다. 이로 인해 f(n)의 값을 잘못 계산하게 됩니다. 문제 해결의 실마리는 n이 홀수일 때 f(n)은 항상 1이라는 점을 이용해 합계 19에서 홀수 항들의 합을 먼저 빼주는 것입니다. 그 후 남은 값을 짝수 n에 대한 f(n) 값들의 합으로 맞추기 위해, 이차함수 g(n)=n²-17n+19k의 그래프가 자연수 n=2, 4, 6, ... 등에서 어떤 부호를 갖도록 k값을 조정해야 하는지 추론해야 합니다.
  

• 29번

  — 구간별로 정의된 두 함수의 극한값 존재 조건과 연속성을 종합적으로 이해해야 풀 수 있는 문제입니다. (가) 조건에서 극한값이 존재하는 지점 α, β가 반드시 함수의 경계점인 2m, m+1과 일치한다고 단정하고 하나의 케이스만 푸는 것이 가장 위험한 함정입니다. α와 β가 각각 어떤 경계점과 대응되는지, 혹은 두 경계점이 일치하는 경우(2m = m+1)는 없는지 모든 가능성을 따져봐야 합니다. (나) 조건에서 모든 실수 k에 대해 lim f(x)/g(x)가 존재한다는 것은 분모의 극한값이 0이 될 때 분자의 극한값도 반드시 0이 되어야 함을 의미합니다. 이 '0/0' 꼴 극한의 성질이 a와 m의 값을 최종적으로 결정하는 결정적 단서가 됩니다.
  

• 30번

  — n의 홀짝성에 따라 규칙이 바뀌는 귀납적 수열과, 절댓값이 포함된 복잡한 삼각함수 그래프의 교점 개수 해석을 결합한 최고난도 문항입니다. 가장 큰 난관은 |k sin²(nπx) - (k-1)| 부분의 절댓값 그래프를 k의 범위에 따라 정확하게 그리는 것입니다. sin²의 치역이 [0, 1]이라는 점을 이용해 절댓값 안의 식의 최댓값과 최솟값을 먼저 계산하지 않으면, 그래프가 x축 아래로 내려가는지 여부를 판단할 수 없어 교점 개수를 셀 때 치명적인 오류를 범하게 됩니다. 문제 풀이는 '0 < a₂ < 6'이라는 구체적인 조건에서 시작해야 합니다. n=2(짝수)일 때의 규칙을 이용해 a₂를 k에 대한 식으로 표현하고, 주어진 부등식을 만족하는 k의 정체(또는 범위)를 밝혀내는 것이 첫 번째 스텝입니다.