2021년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 21번 등차수열 합의 절댓값 조건이나 30번처럼 새롭게 정의된 함수 g(x)의 의미를 파악하는 데서 많은 학생들이 애를 먹었을 겁니다. 단순히 공식을 암기해서 푸는 문항보다는, 수열의 합(Sn)의 그래프적 특징을 이차함수로 해석하거나(21번), 삼각함수 그래프의 대칭성을 활용해 근의 합을 구하는(17번) 등 개념의 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 많았어요. 이러한 경향은 실제 수능에서 변별력을 가르는 준킬러, 킬러 문항의 출제 방식과 정확히 일치하므로, 남은 기간 동안 기출문제를 풀며 조건 해석 능력을 기르는 데 집중해야 합니다. 특히 수열 파트에서 단순 계산을 넘어 규칙성을 추론하는 연습은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.

문항 분석

• 15번

  — n제곱근 중 '실수'인 것의 개수를 묻는, 개념의 허점을 찌르는 문제입니다. 출제 의도는 n이 짝수일 때와 홀수일 때, 그리고 밑이 되는 (2n-5)(2n-9)의 부호가 양수, 0, 음수일 때에 따라 개수가 어떻게 달라지는지를 체계적으로 분류할 수 있는지 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 n값에 따라 밑의 부호가 바뀌는 것을 간과하고, 특정 케이스만 생각하다가 개수를 잘못 세는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 (2n-5)(2n-9)=0이 되는 n=2.5, 4.5를 기준으로 n의 구간을 나누고, 각 구간에서 n의 짝/홀 여부를 따져 표를 만들어 접근하는 것입니다.
  

• 20번

  — 로그함수, 지수함수, 그리고 두 직선의 기하학적 관계를 종합적으로 묻는 문항입니다. 출제 의도는 좌표와 길이, 기울기 사이의 관계를 능숙하게 식으로 변환하는 능력을 평가하는 데 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점 A, B, C의 좌표를 모두 미지수로 설정하고 복잡한 연립방정식을 풀려고 시도하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 기울기와 길이에 숨어 있습니다. 직선 l의 기울기가 1/3이고 선분 AB의 길이가 √10이라는 것은 두 점의 x좌표 차이가 3, y좌표 차이가 1임을 의미합니다. 이 관계를 이용하면 미지수 개수를 획기적으로 줄여 문제를 단순화할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 등차수열의 합 S_n에 절댓값을 씌운 조건 |S_n| ≥ 14가 모든 자연수 n에 대해 성립하도록 하는 첫째항 b의 범위를 찾는 문제입니다. 공차가 음수이므로 S_n은 n에 대한 위로 볼록인 이차함수 꼴이 되는데, |S_n|의 최솟값이 14 이상이어야 한다는 점이 핵심입니다. 학생들은 보통 S_n의 최댓값(이차함수의 꼭짓점)에만 집중하는 경향이 있지만, 이 문제의 함정은 S_n이 x축(n축)과 만나는 지점 근처에서 |S_n|의 값이 0에 가까워질 수 있다는 점입니다. 따라서 S_n=0이 되는 n=(b+2)/2 근방의 자연수 n에 대해 |S_n| 값을 조사하여 b에 대한 부등식을 세우는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 28번

  — 부분합 S_n에 대한 두 가지 조건으로 정의된 수열 {a_n}의 규칙성을 추론하는 문제입니다. (가) 조건 S_{2n-1}=1은 매우 생소해서 많은 학생들이 시작조차 어려워했을 것입니다. 이 조건은 a_1=1, a_2+a_3=0, a_4+a_5=0, ... 과 같이 짝수항과 그 다음 홀수항의 합이 0이라는 강력한 정보를 담고 있습니다. (나) 조건 {a_n a_{n+1}}이 등비수열이라는 것을 (가)에서 얻은 관계식(예: a_3 = -a_2)과 결합하는 것이 이 문제의 돌파구입니다. 이 두 조건을 엮어 a_n을 순차적으로 구해나가면 수열 전체의 구조를 파악할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 삼각형의 외접원과 삼각함수를 결합한 고난도 기하 문제입니다. 출제 의도는 주어진 도형에서 닮음 관계를 발견하고, 사인법칙을 이용해 외접원의 반지름과 변의 길이를 연결하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 복잡한 그림 속에서 보조선을 긋거나 각을 계산하는 데 시간을 허비하지만, 결정적인 실마리는 삼각형 ADE와 ABC가 닮음 관계에 있다는 것을 간파하는 것입니다. ∠BAC를 공통각으로 갖고, 원주각 성질에 의해 ∠ADE=∠C, ∠AED=∠B가 성립하기 때문이죠. 두 삼각형의 닮음비가 cos(∠BAC)임을 이용하면, 두 외접원의 넓이 차이 조건으로부터 cos(∠BAC) 값을 확정하고 문제의 실마리를 풀 수 있습니다.
  

• 30번

  — 함수의 연속성, 그리고 절댓값이 포함된 함수의 극한으로 새롭게 정의된 함수 g(x)의 그래프를 추론하는 최고난도 문항입니다. g(x)는 f(x)의 부호에 따라 -2, 0, 2의 값만 갖는 조각난 함수인데, (가) 조건에서 f(x)가 연속함수임을 알려주어 x=k에서의 함수식을 연결할 수 있게 합니다. 이 문제의 가장 큰 함정이자 핵심은 (나) 조건입니다. g(x)의 그래프와 y=-4|log₂(x/2)|+2의 교점이 5개라는 것은, f(x)의 근(root)의 위치와 개수에 대한 정보를 주는 것입니다. 따라서 f(x)=0이 되는 지점에서 g(x)의 값이 어떻게 변하는지를 분석하고, 로그함수 그래프를 정확히 그려 두 그래프의 위치 관계를 만족시키는 파라미터 a, b, k 값을 찾아내는 것이 문제 해결의 관건입니다.