수학ETF	2022_고2_9월	기출문제
	1~30

[eqn: 27^{2 over 3}]의 값은?

⑤

[eqn: 27 = 3^{3}]이므로 [eqn: 27^{2 over 3} = (3^{3})^{2 over 3}]

지수법칙에 의해 [eqn: (3^{3})^{2 over 3} = 3^{3 times {2 over 3}} = 3^{2} = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: log_{3}18 - log_{3}2]의 값은?

②

로그의 성질에 의해

[eqn: log_{3}18 - log_{3}2 = log_{3} left ( {18} over {2} right )][eqn: = log_{3}9][eqn: = log_{3}3^{2}][eqn: = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 12 cos {4} over {3} pi]의 값은?

②

[eqn: cos {4} over {3} pi = cos left ( pi + {pi} over {3} right ) = -cos {pi} over {3} = -{1} over {2}]이므로

[eqn: 12 cos {4} over {3} pi = 12 times left ( -{1} over {2} right ) = -6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{3} = 6], [eqn: a_{6} = 3a_{4}]일 때, [eqn: a_{9}]의 값은?

④

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

모든 항이 양수이므로 [eqn: a > 0], [eqn: r > 0]이다.

[eqn: a_{3} = 6]에서 [eqn: a r^{2} = 6] ……①

[eqn: a_{6} = 3a_{4}]에서 [eqn: a r^{5} = 3a r^{3}]

[eqn: a > 0], [eqn: r > 0]이므로 양변을 [eqn: a r^{3}]으로 나누면

[eqn: r^{2} = 3] ……②

구하고자 하는 [eqn: a_{9}]의 값을 ①, ②를 이용하여 나타내면

[eqn: a_{9} = a r^{8} = a r^{2} times (r^{2})^{3}][eqn: = 6 times 3^{3}][eqn: = 6 times 27 = 162]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 153]	② [eqn: 156]	③ [eqn: 159]

④ [eqn: 162]	⑤ [eqn: 165]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow -1+} f(x) + lim_{x rightarrow 1-} f(x)]의 값은?

③

주어진 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: x -> -1+]일 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> -1+} f(x) = 2]

[eqn: x -> 1-]일 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = 1]

∴ [eqn: lim from {x -> -1+} f(x) + lim from {x -> 1-} f(x) = 2 + 1 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k} = 30]일 때, [eqn: a_{2} + a_{4}]의 값은?

①

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 30]에서 등차수열의 합 공식에 의해

[eqn: {5(2a + 4d)} over {2} = 30], [eqn: 5(a + 2d) = 30], [eqn: a + 2d = 6]

구하고자 하는 값은 [eqn: a_{2} + a_{4}]이므로

[eqn: a_{2} + a_{4} = (a + d) + (a + 3d) = 2a + 4d = 2(a + 2d)]

따라서 [eqn: a_{2} + a_{4} = 2 times 6 = 12]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {6}]이고 호의 길이가 [eqn: pi]인 부채꼴의 넓이는?

③

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

호의 길이가 [eqn: pi], 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {6}]이므로

[eqn: pi = r times {pi} over {6}] ∴ [eqn: r = 6]

부채꼴의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} r l = {1} over {2} times 6 times pi = 3pi]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

함수 [eqn: y=log_{3}(2x+1)]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (4,`a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x) = log_{3}(2x+1)]이라 하면, 역함수 [eqn: y = f^{-1}(x)]의 그래프가 점 [eqn: (4, a)]를 지나므로 [eqn: f^{-1}(4) = a]

역함수의 성질에 의해 [eqn: f(a) = 4]이므로 [eqn: log_{3}(2a+1) = 4]

로그의 정의에 의해

[eqn: 2a+1 = 3^{4}], [eqn: 2a+1 = 81], [eqn: 2a = 80] ∴ [eqn: a = 40]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: rmoverline {AB} = 3], [eqn: rmoverline {BC} = 6]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rmangle ABC = theta]에 대하여 [eqn: sin theta = {2 sqrt {14}} over {9}]일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는? (단, [eqn: 0 < theta < {pi} over {2}])

④

주어진 삼각형 [eqn: rmABC]의 그래프에서 [eqn: rmoverline {AB} = 3], [eqn: rmoverline {BC} = 6], [eqn: rmangle ABC = theta]이다.

[eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]이므로 [eqn: cos theta > 0]이다.

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에서

[eqn: cos theta = sqrt {1-sin ^{2} theta } = {5} over {9}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{BC}} TIMES cos theta]

[eqn: = 3^{2} + 6^{2} - 2 times 3 times 6 times {5} over {9}][eqn: = 9 + 36 - 20 = 25]

[eqn: rmoverline {AC} > 0]이므로 [eqn: rmoverline {AC} = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {14} over {3}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {16} over {3}]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} {1} over {a_{k}a_{k+1}}]의 값은?

①

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: a_{n}]의 일반항은

[eqn: a_{n} = 1 + (n-1) times 3 = 3n - 2]

이때 [eqn: a_{k+1} - a_{k} = 3]이므로 부분분수로 변형하면

[eqn: {1} over {a_{k}a_{k+1}} = {1} over {a_{k+1}-a_{k}} left ( {1} over {a_{k}} - {1} over {a_{k+1}} right ) = {1} over {3} left ( {1} over {a_{k}} - {1} over {a_{k+1}} right )]

주어진 식에 대입하여 정리하면

[eqn: sum from {k=1} to {10} {1} over {a_{k}a_{k+1}} = sum from {k=1} to {10} {1} over {3} left ( {1} over {a_{k}} - {1} over {a_{k+1}} right )]

[eqn: = {1} over {3} left { left ( {1} over {a_{1}} - {1} over {a_{2}} right ) + left ( {1} over {a_{2}} - {1} over {a_{3}} right ) + cdots + left ( {1} over {a_{10}} - {1} over {a_{11}} right ) right }]

[eqn: = {1} over {3} left ( {1} over {a_{1}} - {1} over {a_{11}} right )]

[eqn: a_{1} = 1]이고 [eqn: a_{11} = 3 times 11 - 2 = 31]이므로

[eqn: = {1} over {3} left ( 1 - {1} over {31} right ) = {1} over {3} times {30} over {31} = {10} over {31}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {31}]	② [eqn: {11} over {31}]	③ [eqn: {12} over {31}]

④ [eqn: {13} over {31}]	⑤ [eqn: {14} over {31}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log_{4}x] 위의 점 [eqn: rmA]와 곡선 [eqn: y=-log_{4}(x+1)] 위의 점 [eqn: rmB]가 있다. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이고, [eqn: x]축이 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 이등분할 때, 선분 [eqn: rmOB]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y=log_{4}x] 위의 점이고 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1 = log_{4}x]에서 [eqn: x = 4]

따라서 [eqn: rm A(4,`1)]이다.

점 [eqn: rmB]는 제[eqn: 4]사분면에 있는 곡선 [eqn: y=-log_{4}(x+1)] 위의 점이므로 [eqn: rm B( it t,`-log _{4} (t+1))] ([eqn: t > 0])이라 하자.

선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하면, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmOAC]와 삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이의 합이다.

[eqn: x]축이 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 이등분하므로 삼각형 [eqn: rmOAC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는 같다.

두 삼각형은 밑변 [eqn: rmOC]를 공유하므로, 넓이가 같으려면 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표의 절댓값이 같아야 한다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이고 점 [eqn: rmB]는 제[eqn: 4]사분면의 점이므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -1]이다.

[eqn: -log_{4}(t+1) = -1]에서 [eqn: log_{4}(t+1) = 1], [eqn: t+1 = 4]

∴ [eqn: t = 3]

따라서 [eqn: rm B(3,`-1)]이다.

원점 [eqn: rm O(0,`0)]과 점 [eqn: rmB(3, -1)] 사이의 거리인 선분 [eqn: rmOB]의 길이는

[eqn: rm {bar{OB}} = sqrt {3 ^{2} +(-1) ^{2}} = sqrt {9+1} = sqrt {10}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: sqrt{6}]	② [eqn: 2 sqrt{2}]	③ [eqn: sqrt{10}]

④ [eqn: 2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: sqrt{14}]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: log_{2} {a_{n+1}} over {a_{n}} = {1} over {2}]
을 만족시킨다. 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: {S_{12}} over {S_{6}}]의 값은?

②

주어진 조건 [eqn: log_{2} {a_{n+1}} over {a_{n}} = {1} over {2}]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: {a_{n+1}} over {a_{n}} = 2^{1 over 2} = sqrt{2}]

따라서 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 공비가 [eqn: sqrt{2}]인 등비수열이다.

첫째항을 [eqn: a]라 하면 등비수열의 합 공식에 의해

[eqn: S_{n} = {a left ( (sqrt{2})^{n} - 1 right )} over {sqrt{2} - 1}]

구하는 값 [eqn: {S_{12}} over {S_{6}}]를 계산하면

[eqn: {S_{12}} over {S_{6}} = { {a left ( (sqrt{2})^{12} - 1 right )} over {sqrt{2} - 1} } over { {a left ( (sqrt{2})^{6} - 1 right )} over {sqrt{2} - 1} }][eqn: = { (sqrt{2})^{12} - 1 } over { (sqrt{2})^{6} - 1 }]

[eqn: = { left ( (sqrt{2})^{6} - 1 right ) left ( (sqrt{2})^{6} + 1 right ) } over { (sqrt{2})^{6} - 1 }][eqn: = (sqrt{2})^{6} + 1]

[eqn: = 2^{3} + 1][eqn: = 9]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

첫째항이 [eqn: {1} over {2}]인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = - {1} over {a_{n} - 1}]
을 만족시킨다. 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: S_{m} = 11]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값은?

③

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 각 항을 차례대로 구하면

[eqn: a_{1} = {1} over {2}]

[eqn: a_{2} = - {1} over {a_{1} - 1} = - {1} over {{1} over {2} - 1} = 2]

[eqn: a_{3} = - {1} over {a_{2} - 1} = - {1} over {2 - 1} = -1]

[eqn: a_{4} = - {1} over {a_{3} - 1} = - {1} over {-1 - 1} = {1} over {2}]

[eqn: a_{5} = - {1} over {a_{4} - 1} = - {1} over {{1} over {2} - 1} = 2]

[eqn: vdots]

이므로 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: {1} over {2}], [eqn: 2], [eqn: -1]이 이 순서대로 반복된다.

즉, 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{3k-2} = {1} over {2}], [eqn: a_{3k-1} = 2], [eqn: a_{3k} = -1]이다.

이때 연속하는 세 항의 합은

[eqn: a_{3k-2} + a_{3k-1} + a_{3k} = {1} over {2} + 2 - 1 = {3} over {2}]

[eqn: S_{21} = sum from {n=1} to {21} a_{n} = 7 times {3} over {2} = {21} over {2}]

[eqn: S_{22} = S_{21} + a_{22} = {21} over {2} + {1} over {2} = 11]

따라서 [eqn: m = 22]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. [eqn: rmoverline{AB}=8sqrt{2}] 이고 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmangle BPA > 90^{circ}], [eqn: rmoverline{AP}:overline{BP}=3:1]일 때, 선분 [eqn: rmBP]의 길이는?

⑤

원 [eqn: rmO]의 중심에서 현 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면

삼각형 [eqn: rmOAB]는 [eqn: rmoverline{OA} = overline{OB} = 6]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rmoverline{AM} = {1} over {2} overline{AB} = 4sqrt{2}]이고 [eqn: rmangle AOM = {1} over {2} angle AOB]이다.

직각삼각형 [eqn: rmOAM]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OM}} = sqrt {{bar{OA}} ^{2} - {bar{AM}} ^{2}} = sqrt {6 ^{2} -(4 sqrt {2} ) ^{2}} =2]

[eqn: rmcos(angle AOM) = {overline{OM}} over {overline{OA}} = {2} over {6} = {1} over {3}]

원 [eqn: rmO]에서 호 [eqn: rmAB] 위의 한 점을 [eqn: rmQ]라 하면

원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle AQB = {1} over {2} angle AOB = angle AOM]이므로

[eqn: rmcos(angle AQB) = {1} over {3}]이다.

사각형 [eqn: rmAQBP]는 원 [eqn: rmO]에 내접하므로

[eqn: rmangle APB + angle AQB = 180^{circ}]에서 [eqn: rmangle APB = 180^{circ} - angle AQB]이다.

[eqn: rm cos( ANGLE APB)=-cos( ANGLE rm AQB)=- {1} over {3}]

[eqn: rmoverline{AP} : overline{BP} = 3 : 1]이므로 [eqn: {bar{rmBP}} =k] ([eqn: k > 0])라 하면 [eqn: {bar{rmAP}} =3k]이다.

삼각형 [eqn: rmAPB]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmAB}} ^{2} = {bar{rmAP}} ^{2} + {bar{rmBP}} ^{2} -2 TIMES {bar{rmAP}} TIMES {bar{rmBP}} TIMES cos( ANGLE rmAPB)]

[eqn: (8sqrt{2})^{2} = (3k)^{2} + k^{2} - 2 times 3k times k times left ( -{1} over {3} right )]

[eqn: 128 = 9k^{2} + k^{2} + 2k^{2}], [eqn: 12k^{2} = 128], [eqn: k^{2} = {32} over {3}]

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = {4sqrt{2}} over {sqrt{3}} = {4sqrt{6}} over {3}]

∴ [eqn: rmoverline{BP} = {4sqrt{6}} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2sqrt{6}} over {3}]	② [eqn: {5sqrt{6}} over {6}]	③ [eqn: sqrt{6}]

④ [eqn: {7sqrt{6}} over {6}]	⑤ [eqn: {4sqrt{6}} over {3}]

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: a_{k} = 31], [eqn: S_{k+10} = 640]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: S_{k}]의 값은?

⑤

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면 공차가 [eqn: 2]이므로

[eqn: a_{k} = a + (k-1) times 2 = 31]에서

[eqn: a = 33 - 2k] ……①

등차수열의 합 공식에서

[eqn: S_{k+10} = { (k+10) left ( 2a + (k+10-1) times 2 right ) } over {2} = 640]

[eqn: S_{k+10} = (k+10)(a + k + 9) = 640]

①에서 [eqn: a = 33 - 2k]이므로

[eqn: (k+10)(33 - 2k + k + 9) = 640]

[eqn: (k+10)(42 - k) = 640], [eqn: 42k - k^{2} + 420 - 10k = 640]

[eqn: k^{2} - 32k + 220 = 0], [eqn: (k-10)(k-22) = 0]

∴ [eqn: k = 10] 또는 [eqn: k = 22]

첫째항이 양수이므로 ①에 의해 [eqn: k = 10]일 때 [eqn: a = 13 > 0]이고, [eqn: k = 22]일 때 [eqn: a = -11 < 0]이므로

[eqn: k = 10], [eqn: a = 13]이다.

[eqn: S_{k}]는 첫째항이 [eqn: 13]이고 제[eqn: 10]항이 [eqn: 31]인 등차수열의 제[eqn: 10]항까지의 합이므로

[eqn: S_{10} = {10(13 + 31)} over {2} = 220]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 200]	② [eqn: 205]	③ [eqn: 210]

④ [eqn: 215]	⑤ [eqn: 220]

집합 [eqn: LEFT { x`|`-4 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]에서 정의된 함수
[eqn: f(x) = 2 sin {pi x} over {4}]
가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y = sqrt{2}] 와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO]를 지나는 직선이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmB]와 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmangle BAC = theta]라 할 때, [eqn: sin theta]의 값은? (단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

함수 [eqn: f(x) = 2 sin { {pi x} over {4} }]의 그래프와 직선 [eqn: y = sqrt{2}]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: 2 sin { {pi x} over {4} } = sqrt{2}]에서 [eqn: sin { {pi x} over {4} } = { {sqrt{2}} over {2} }]이다.

[eqn: -4 leq x leq 4]이므로 [eqn: -pi leq { {pi x} over {4} } leq pi]이고,

[eqn: { {pi x} over {4} } = { {pi} over {4} }] 또는 [eqn: { {pi x} over {4} } = { {3pi} over {4} }]이다.

따라서 [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 3]이다.

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크므로 [eqn: rm A(1,` sqrt {2} )], [eqn: rm B(3,` sqrt {2} )]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2 sin { {pi x} over {4} }]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고, 직선 [eqn: rmBO]도 원점을 지나므로 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmB]와 원점에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: rm C(-3,`- sqrt {2} )]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 3 - 1 = 2]이고, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는

[eqn: sqrt{(-3 - 1)^{2} + (-sqrt{2} - sqrt{2})^{2}} = sqrt{16 + 8} = sqrt{24} = 2 sqrt{6}]이다.

점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: rmAB] ([eqn: y = sqrt{2}])에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면, 선분 [eqn: rmCH]의 길이는 삼각형 [eqn: rmABC]의 높이와 같다.

[eqn: rmCH = sqrt{2} - (-sqrt{2}) = 2 sqrt{2}]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: rm S= {1} over {2} TIMES rmbarAB` TIMES rmbarCH`= {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 sqrt {2} =2 sqrt {2}]이다.

또한, [eqn: S= {1} over {2} TIMES rmbarAB` TIMES rmbarAC` TIMES sin theta]이므로

[eqn: 2 sqrt{2} = {1} over {2} times 2 times 2 sqrt{6} times sin theta]

[eqn: rm2 sqrt{2} = 2 sqrt{6} sin theta]

∴ [eqn: sin theta = { {2 sqrt{2}} over {2 sqrt{6}} } = {1} over {sqrt{3}} = { {sqrt{3}} over {3} }]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: {7 sqrt{3}} over {18}]	③ [eqn: {4 sqrt{3}} over {9}]

④ [eqn: {sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: {5 sqrt{3}} over {9}]

실수 [eqn: a(a>1)]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 함수
[eqn: y=3a^{x}], [eqn: y=3a^{x-1}]
의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ _{itn}]이라 하자. 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 길이를 [eqn: l_{n}], 사다리꼴 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn} RMQ _{itn+2} rmP _{itn+2}]의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 하자. 두 실수 [eqn: L], [eqn: S]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{20} l_{k}=L], [eqn: sum_{k=1}^{5} S_{4k-3}=S]일 때, 다음은 [eqn: {S} over {L} = {2} over {5}]를 만족시키는 [eqn: a]의 값을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ _{itn}]의 좌표는 각각 [eqn: (n,`3a ^{n} )], [eqn: (n,`3a ^{n-1} )]

선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 길이 [eqn: l_{n}]은 [eqn: l_{n}=3(a-1) times a^{n-1}]이므로

[eqn: L= sum _{k=1} ^{20} l _{k} =3 TIMES (` {BOX{```(가)```}} `)]이다.

사다리꼴 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn} RMQ _{itn+2} rmP _{itn+2}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n}=3(a-1) times (a^{n-1}+a^{n+1})]이므로

[eqn: S=sum_{k=1}^{5} S_{4k-3}][eqn: =S_{1}+S_{5}+S_{9}+S_{13}+S_{17}]

[eqn: = {3} over {(` {BOX{```(나)```}} `)} TIMES (` {BOX{```(가)```}} `)]이다.

따라서 [eqn: {S} over {L} = {{3} over {(` {BOX{```(나)```}} `)} TIMES (` {BOX{```(가)```}} `)} over {3 TIMES (` {BOX{```(가)```}} `)} = {1} over {(` {BOX{```(나)```}} `)} = {2} over {5}]

이므로 [eqn: a= {BOX{```(다)``}}]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: {f(sqrt{2})} over {g(20p)}]의 값은?

④

[eqn: L = sum from {k=1} to {20} l_{k} = sum from {k=1} to {20} 3(a-1)a^{k-1}]

이 수열은 첫째항이 [eqn: 3(a-1)]이고 공비가 [eqn: a]인 등비수열이므로

[eqn: L = {3(a-1)(a^{20}-1)} over {a-1} = 3(a^{20}-1)]

∴ [eqn: f(a) = a^{20}-1]

[eqn: S_{n} = 3(a-1)(a^{n-1}+a^{n+1}) = 3(a-1)a^{n-1}(1+a^{2})]이므로

[eqn: S_{4k-3} = 3(a-1)a^{4k-4}(1+a^{2})]

[eqn: S = sum from {k=1} to {5} S_{4k-3} = sum from {k=1} to {5} 3(a-1)(1+a^{2})(a^{4})^{k-1}]

이 수열은 첫째항이 [eqn: 3(a-1)(1+a^{2})]이고 공비가 [eqn: a^{4}]인 등비수열이므로

[eqn: S = {3(a-1)(1+a^{2})((a^{4})^{5}-1)} over {a^{4}-1}]

[eqn: = {3(a-1)(1+a^{2})(a^{20}-1)} over {(a^{2}-1)(a^{2}+1)}][eqn: = {3(a-1)(1+a^{2})(a^{20}-1)} over {(a-1)(a+1)(a^{2}+1)}]

[eqn: = {3} over {a+1} (a^{20}-1)] ∴ [eqn: g(a) = a+1]

[eqn: {S} over {L} = {1} over {a+1} = {2} over {5}]에서 [eqn: 2a+2 = 5] ∴ [eqn: a = {3} over {2}]

∴ [eqn: p = {3} over {2}]

구하는 값은 [eqn: {f(sqrt{2})} over {g(20p)}]이므로

[eqn: f(sqrt{2}) = (sqrt{2})^{20}-1 = 2^{10}-1 = 1024-1 = 1023]

[eqn: g(20p) = g left ( 20 times {3} over {2} right ) = g(30) = 30+1 = 31]

∴ [eqn: {f(sqrt{2})} over {g(20p)} = {1023} over {31} = 33]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

집합 [eqn: LEFT { x`|`- pi LEQ x LEQ pi RIGHT }]에서 정의된 함수
[eqn: f(x) = left | sin2x + {2} over {3} right |]
가 있다. 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=3k], [eqn: y=k]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: left | m-n right | = 3]을 만족시킨다. [eqn: -pi leq x leq pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=k]의 모든 실근의 합은?

②

함수 [eqn: f(x) = left | sin 2x + {2} over {3} right |]의 그래프와 직선 [eqn: y=c] ([eqn: c>0])의 교점의 개수를 [eqn: N(c)]라 하면

방정식 [eqn: f(x) = c]는 [eqn: sin 2x = c - {2} over {3}] 또는 [eqn: sin 2x = -c - {2} over {3}]이다.

[eqn: -pi leq x leq pi]에서 [eqn: sin 2x = t]라 할 때, [eqn: t]의 값에 따른 [eqn: x]의 개수는 다음과 같다.

[eqn: t=1] 또는 [eqn: t=-1]일 때 [eqn: 2]개,

[eqn: t=0]일 때 [eqn: x = -pi, -{pi} over {2}, 0, {pi} over {2}, pi]이므로 [eqn: 5]개,

[eqn: -1 < t < 1]이고 [eqn: t neq 0]일 때 [eqn: 4]개이다.

이를 바탕으로 [eqn: c>0]에 따른 [eqn: N(c)]를 구하면

(ⅰ) [eqn: c = {5} over {3}]일 때, [eqn: sin 2x = 1] 또는 [eqn: sin 2x = -{7} over {3}]이므로 [eqn: N(c) = 2 + 0 = 2]

(ⅱ) [eqn: {2} over {3} < c < {5} over {3}]일 때, [eqn: 0 < sin 2x < 1]이므로 [eqn: N(c) = 4 + 0 = 4]

(ⅲ) [eqn: c = {2} over {3}]일 때, [eqn: sin 2x = 0] 또는 [eqn: sin 2x = -{4} over {3}]이므로 [eqn: N(c) = 5 + 0 = 5]

(ⅳ) [eqn: {1} over {3} < c < {2} over {3}]일 때, [eqn: -{1} over {3} < sin 2x < 0]이므로 [eqn: N(c) = 4 + 0 = 4]

(ⅴ) [eqn: c = {1} over {3}]일 때, [eqn: sin 2x = -{1} over {3}] 또는 [eqn: sin 2x = -1]이므로 [eqn: N(c) = 4 + 2 = 6]

(ⅵ) [eqn: 0 < c < {1} over {3}]일 때, [eqn: -{2} over {3} < sin 2x < -{1} over {3}] 또는 [eqn: -1 < sin 2x < -{2} over {3}]이므로 [eqn: N(c) = 4 + 4 = 8]

[eqn: m = N(3k)], [eqn: n = N(k)]이고 [eqn: left | m - n right | = 3]을 만족하는 [eqn: N(c)]의 값은 [eqn: 2, 4, 5, 6, 8] 중 차이가 [eqn: 3]인 [eqn: (2, 5)] 또는 [eqn: (5, 8)]이다.

[eqn: k>0]이므로 [eqn: 3k > k]이다.

(ⅶ) [eqn: N(3k) = 2], [eqn: N(k) = 5]인 경우

[eqn: 3k = {5} over {3}]에서 [eqn: k = {5} over {9}]이고, 이때 [eqn: N(k) = N left ( {5} over {9} right ) = 4 neq 5]이므로 모순이다.

(ⅷ) [eqn: N(3k) = 5], [eqn: N(k) = 2]인 경우

[eqn: N(k) = 2]에서 [eqn: k = {5} over {3}]이고, 이때 [eqn: 3k = 5]이므로 [eqn: N(3k) = 0 neq 5]이므로 모순이다.

(ⅸ) [eqn: N(3k) = 8], [eqn: N(k) = 5]인 경우

[eqn: N(k) = 5]에서 [eqn: k = {2} over {3}]이고, 이때 [eqn: 3k = 2]이므로 [eqn: N(3k) = 0 neq 8]이므로 모순이다.

(ⅹ) [eqn: N(3k) = 5], [eqn: N(k) = 8]인 경우

[eqn: 3k = {2} over {3}]에서 [eqn: k = {2} over {9}]이고, 이때 [eqn: 0 < k < {1} over {3}]을 만족하므로 [eqn: N(k) = 8]이 성립한다.

따라서 [eqn: k = {2} over {9}]이다.

[eqn: k = {2} over {9}]일 때 방정식 [eqn: f(x) = {2} over {9}]는

[eqn: sin 2x = -{4} over {9}] 또는 [eqn: sin 2x = -{8} over {9}]이다.

[eqn: -1 < S < 0]인 상수 [eqn: S]에 대하여 삼각함수 그래프의 대칭성에서 방정식 [eqn: sin 2x = S]의 실근을 구하면

[eqn: -pi leq x leq 0]에서 두 근은 [eqn: x = -{pi} over {4}]에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 [eqn: -{pi} over {2}]이고,

[eqn: 0 leq x leq pi]에서 두 근은 [eqn: x = {3pi} over {4}]에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 [eqn: {3pi} over {2}]이다.

즉, [eqn: sin 2x = S]를 만족하는 네 실근의 합은 [eqn: -{pi} over {2} + {3pi} over {2} = pi]이다.

따라서 [eqn: sin 2x = -{4} over {9}]의 네 실근의 합은 [eqn: pi]이고, [eqn: sin 2x = -{8} over {9}]의 네 실근의 합도 [eqn: pi]이다.

∴ 모든 실근의 합은 [eqn: pi + pi = 2pi]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log_{2}x] 위의 한 점 [eqn: rmA LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB LEFT ( itx _{2} ,`y _{2} RIGHT )]라 하고, 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO]를 지나는 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=left ( {1} over {2} right )^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmC LEFT ( itx _{3} ,`y _{3} RIGHT )]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmOAC]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x_{1} > 1]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rmoverline{OC} = {1} over {2} overline{OA}] ㄴ. [eqn: x_{2} + y_{1} = 4x_{3}] ㄷ. 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: 3 times left ( {1} over {2} right )^{1 over 3}]이다.

⑤

점 [eqn: rmA LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선은 직선 [eqn: y=x]와 수직이므로, 이 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점 [eqn: rmB LEFT ( itx _{2} ,`y _{2} RIGHT )]는 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: x_{2} = y_{1}], [eqn: y_{2} = x_{1}]이고 [eqn: rmoverline{OA} = overline{OB}]이다.

삼각형 [eqn: rmOAB]와 삼각형 [eqn: rmOAC]는 직선 [eqn: l]을 공유하므로, 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 두 삼각형의 높이는 [eqn: rmoverline{AH}]로 같다.

삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmOAC]의 넓이의 [eqn: 2]배이므로 밑변의 길이에 대하여 [eqn: rmoverline{OB} = 2 overline{OC}]이다.

ㄱ. [eqn: rmoverline{OA} = overline{OB}]이고 [eqn: rmoverline{OB} = 2 overline{OC}]이므로 [eqn: rmoverline{OC} = {1} over {2} overline{OA}]이다. (참)

ㄴ. 점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]는 원점 [eqn: rmO]를 지나는 직선 [eqn: l] 위의 점이고 [eqn: rmoverline{OB} = 2 overline{OC}]이므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 점 [eqn: rmC]의 좌표의 [eqn: 2]배이다.

즉, [eqn: x_{2} = 2x_{3}], [eqn: y_{2} = 2y_{3}]이다.

[eqn: x_{2} = y_{1}]이므로 [eqn: x_{2} + y_{1} = 2x_{2} = 4x_{3}]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=2^{x}] 위의 점이므로 [eqn: y_{2} = 2^{x_{2}}]이다.

점 [eqn: rmC]는 곡선 [eqn: y=left ( {1} over {2} right )^{x} = 2^{-x}] 위의 점이므로 [eqn: y_{3} = 2^{-x_{3}}]이다.

[eqn: y_{2} = 2y_{3}]에서 [eqn: 2^{x_{2}} = 2 times 2^{-x_{3}} = 2^{1-x_{3}}]이다.

[eqn: x_{2} = 2x_{3}]이므로 [eqn: 2^{2x_{3}} = 2^{1-x_{3}}]이다.

지수를 비교하면 [eqn: 2x_{3} = 1 - x_{3}]에서 [eqn: 3x_{3} = 1] ∴ [eqn: x_{3} = {1} over {3}]

따라서 [eqn: x_{2} = {2} over {3}]이고 [eqn: y_{2} = 2^{{2} over {3}}]이다.

직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {y _{2}} over {x _{2}} = {2 ^{{2} over {3}}} over {{2} over {3}} = {3} over {2} TIMES 2 ^{{2} over {3}} =3 TIMES 2 ^{- {1} over {3}} =3 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {3}}]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: rmoverline{AB}=4], [eqn: overline{BC}=a], [eqn: rmoverline{CA}=8]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rmangle BAC]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: a(sinB+sinC)=6sqrt{3}]일 때, 선분 [eqn: rmAP]의 길이는? (단, [eqn: rmangle BAC > 90^{circ}])

②

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: sinB = {8} over {2R}], [eqn: sinC = {4} over {2R}]

[eqn: a(sinB+sinC) = 6sqrt{3}]에 대입하면

[eqn: a left ( {8} over {2R} + {4} over {2R} right ) = 6sqrt{3}], [eqn: {12a} over {2R} = 6sqrt{3}]

사인법칙에 의해 [eqn: {a} over {2R} = sinA]이므로

[eqn: 12sinA = 6sqrt{3}], [eqn: sinA = {sqrt{3}} over {2}]

[eqn: rmangle BAC > 90^{circ}]이므로 [eqn: rmangle BAC = 120^{circ}]

선분 [eqn: rmAP]는 [eqn: rmangle BAC]의 이등분선이므로

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABP]와 삼각형 [eqn: rmACP]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: rmtriangle ABC = triangle ABP + triangle ACP]

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 8 TIMES sin120 ^{CIRC }][eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {bar{rm AP it}} TIMES sin60 ^{CIRC } + {1} over {2} TIMES 8 TIMES {bar{rm AP it}} TIMES sin60 ^{CIRC }]

[eqn: 16 TIMES {sqrt {3}} over {2} =2 TIMES {bar{rmAP}} TIMES {sqrt {3}} over {2} +4 TIMES {bar{rmAP}} TIMES {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: 8 sqrt {3} = sqrt {3} {bar{rmAP}} +2 sqrt {3} {bar{rmAP}}], [eqn: rm3sqrt{3} overline{AP} = 8sqrt{3}]

∴ [eqn: rmoverline{AP} = {8} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

양수 [eqn: a]와 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: d]에 대하여 첫째항이 모두 [eqn: a]이고, 공차가 각각 [eqn: d], [eqn: -2d]인 두 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 [eqn: left { b_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left | a_{1} right | = left | b_{7} right |]

(나) [eqn: S_{n} = sum_{k=1}^{n} ( left | a_{k} right | - left | b_{k} right | )]라 할 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n} leq 108]이고, [eqn: S_{p} = 108]인 자연수 [eqn: p]가 존재한다.

[eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: a_{m}]의 값은?

③

조건 (가)에서 [eqn: left | a_{1} right | = left | b_{7} right |]이므로

[eqn: left | a right | = left | a + 6(-2d) right | = left | a - 12d right |]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = a - 12d] 또는 [eqn: a = -a + 12d]

[eqn: a = a - 12d]이면 [eqn: 12d = 0]에서 [eqn: d = 0]인데, [eqn: d neq 0]이므로 모순이다.

[eqn: a = -a + 12d]에서 [eqn: 2a = 12d] ∴ [eqn: a = 6d]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: d > 0]

두 수열의 일반항은

[eqn: a_{n} = 6d + (n-1)d = (n+5)d]

[eqn: b_{n} = 6d - 2(n-1)d = (8-2n)d]

[eqn: d > 0]이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} > 0]이고, [eqn: b_{n}]은 [eqn: n leq 4]일 때 [eqn: b_{n} geq 0], [eqn: n geq 5]일 때 [eqn: b_{n} < 0]이다.

[eqn: c_{n} = left | a_{n} right | - left | b_{n} right |]라 하면

[eqn: c _{n} = LEFT { {matrix{(n+5)d-(8-2n)d=3(n-1)d``` LEFT ( n LEQ 3 RIGHT )#(n+5)d-(2n-8)d=(13-n)d``` LEFT ( n GEQ 4 RIGHT )}} RIGHT .]

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} c_{k}]에서 [eqn: c_{n}]의 부호를 살펴보면

[eqn: n leq 12]일 때 [eqn: c_{n} > 0], [eqn: c_{13} = 0], [eqn: n geq 14]일 때 [eqn: c_{n} < 0]이다.

따라서 [eqn: S_{n}]은 [eqn: n = 12] 또는 [eqn: n = 13]일 때 최댓값을 갖는다.

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n} leq 108]이고 최댓값이 [eqn: 108]이므로 [eqn: S_{13} = 108]

[eqn: S_{13} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + sum from {k=4} to {13} c_{k}]

[eqn: = 0 + 3d + 6d + sum from {k=4} to {13} (13-k)d][eqn: = 9d + d (9 + 8 + 7 + cdots + 0)]

[eqn: = 9d + 45d = 54d]

[eqn: 54d = 108]에서 ∴ [eqn: d = 2]

[eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 [eqn: n]의 최댓값 [eqn: m]을 구하기 위해 [eqn: n > 13]인 경우를 생각하면

[eqn: S_{n} = S_{13} + sum from {k=14} to {n} c_{k} = 108 + sum from {k=14} to {n} (13-k) times 2]

[eqn: n = 13 + x] ([eqn: x geq 1]인 자연수)라 하면

[eqn: S_{13+x} = 108 + sum from {j=1} to {x} (13-(13+j)) times 2]

[eqn: = 108 + sum from {j=1} to {x} (-2j)]

[eqn: = 108 - 2 times {x(x+1)} over {2} = 108 - x(x+1)]

[eqn: S_{13+x} geq 0]에서 [eqn: 108 - x(x+1) geq 0]

∴ [eqn: x(x+1) leq 108]

[eqn: x=9]일 때 [eqn: 9 times 10 = 90 leq 108]

[eqn: x=10]일 때 [eqn: 10 times 11 = 110 > 108]이므로

조건을 만족시키는 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 9]이다.

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: m = 13 + 9 = 22]이다.

[eqn: a_{n} = (n+5)d = 2(n+5)]이므로

[eqn: a_{m} = a_{22} = 2 times (22+5) = 54]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 46]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 62]

[eqn: cos theta = {1} over {3}]일 때, [eqn: 9 sin^{2} theta]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로 [eqn: sin^{2} theta = 1 - cos^{2} theta]

[eqn: cos theta = {1} over {3}]에서 [eqn: cos^{2} theta = {1} over {9}]이므로

[eqn: sin^{2} theta = 1 - {1} over {9} = {8} over {9}] ∴ [eqn: 9 sin^{2} theta = 9 times {8} over {9} = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

방정식 [eqn: 4^{x}-15 times 2^{x+1}-64=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

방정식 [eqn: 4^{x}-15 times 2^{x+1}-64=0]에서

[eqn: (2^{x})^{2}-30 times 2^{x}-64=0]

[eqn: 2^{x}=t] ([eqn: t>0])라 하면

[eqn: t^{2}-30t-64=0], [eqn: (t-32)(t+2)=0]

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t=32]

즉, [eqn: 2^{x}=32=2^{5}]이므로 [eqn: x=5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

[eqn: log_{5}2=a], [eqn: log_{2}7=b]일 때, [eqn: 25^{ab}]의 값을 구하시오.

[eqn: 49]

주어진 조건에서 [eqn: a = log_{5}2], [eqn: b = log_{2}7]이므로

[eqn: ab = log_{5}2 times log_{2}7]

로그의 밑의 변환 공식에 의해 [eqn: ab = log_{5}7]

구하고자 하는 값은 [eqn: 25^{ab}]이므로 [eqn: 25^{ab} = 25^{log_{5}7}]

지수법칙과 로그의 성질에 의해

[eqn: 25^{log_{5}7} = (5^{2})^{log_{5}7}][eqn: = 5^{2 log_{5}7}][eqn: = 5^{log_{5}7^{2}}][eqn: = 5^{log_{5}49}]

로그의 성질에 의해 [eqn: 5^{log_{5}49} = 49]

따라서 정답은 [eqn: 49]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{10} (a_{k})^{2} = 20], [eqn: sum_{k=1}^{10} (a_{k}+1)^{2} = 50]
일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 전개한다.

[eqn: sum from {k=1} to {10} (a_{k}+1)^{2} = sum from {k=1} to {10} left ( (a_{k})^{2} + 2a_{k} + 1 right )]

[eqn: = sum from {k=1} to {10} (a_{k})^{2} + 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} 1]

주어진 조건에서 [eqn: sum from {k=1} to {10} (a_{k})^{2} = 20]이고, [eqn: sum from {k=1} to {10} 1 = 10]이므로

[eqn: 20 + 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + 10 = 50], [eqn: 30 + 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} = 50]

[eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} = 20] ∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 10]

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: lim_{x -> 1} {f(x)} over {x-1} = 8], [eqn: lim_{x -> 1} {g(x)} over {x^{2}-1} = {1} over {2}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{x -> 1} {(x+1)f(x)} over {g(x)}] 의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

주어진 극한의 형태를 만들기 위해 구하고자 하는 식을 변형한다.

[eqn: lim from {x -> 1} {(x+1)f(x)} over {g(x)} = lim from {x -> 1} left ( {f(x)} over {x-1} times {(x-1)(x+1)} over {g(x)} right )]

[eqn: = lim from {x -> 1} left ( {f(x)} over {x-1} times {x^{2}-1} over {g(x)} right )]

주어진 조건에서 [eqn: lim from {x -> 1} {f(x)} over {x-1} = 8]이고,

[eqn: lim from {x -> 1} {g(x)} over {x^{2}-1} = {1} over {2}]에서 [eqn: lim from {x -> 1} {x^{2}-1} over {g(x)} = 2]이다.

극한의 성질에 의해

[eqn: lim from {x -> 1} left ( {f(x)} over {x-1} times {x^{2}-1} over {g(x)} right ) = lim from {x -> 1} {f(x)} over {x-1} times lim from {x -> 1} {x^{2}-1} over {g(x)}]

[eqn: = 8 times 2 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

두 함수
[eqn: f(x)= left ( {1} over {2} right )^{x-a}], [eqn: g(x)=(x-1)(x-3)]
에 대하여 합성함수 [eqn: h(x)=(f circ g)(x)]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: 0 leq x leq 5]에서 최솟값 [eqn: {1} over {4}], 최댓값 [eqn: M]을 갖는다. [eqn: M]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 128]

[eqn: g(x) = (x-1)(x-3) = x^{2} - 4x + 3 = (x-2)^{2} - 1]이므로 이차함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 꼭짓점이 [eqn: x = 2]이고 아래로 볼록하다.

[eqn: 0 leq x leq 5]에서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 2]일 때 최솟값 [eqn: -1]을 갖고, [eqn: x = 5]일 때 최댓값 [eqn: 8]을 갖는다.

[eqn: g(x) = t]라 하면 [eqn: -1 leq t leq 8]이다.

이때 [eqn: h(x) = f(t) = left ( {1} over {2} right )^{t-a}]이고, 밑이 [eqn: {1} over {2}]로 [eqn: 1]보다 작으므로 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t]의 값이 증가할 때 감소한다.

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t = 8]일 때 최솟값을 갖고, [eqn: t = -1]일 때 최댓값을 갖는다.

조건에서 최솟값이 [eqn: {1} over {4}]이므로

[eqn: f(8) = left ( {1} over {2} right )^{8-a} = {1} over {4} = left ( {1} over {2} right )^{2}]

[eqn: 8 - a = 2]

∴ [eqn: a = 6]

함수 [eqn: h(x)]의 최댓값 [eqn: M]은 [eqn: t = -1]일 때의 함숫값이므로

[eqn: M = f(-1) = left ( {1} over {2} right )^{-1-6} = left ( {1} over {2} right )^{-7} = 2^{7} = 128]

따라서 정답은 [eqn: 128]이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]과 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n^{2}-17n+19k]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum_{n=2}^{19} f(n)=19]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: a = n^{2}-17n+19k]라 하면, [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수 [eqn: f(n)]은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: a]의 값에 관계없이 [eqn: f(n) = 1]

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때,

[eqn: a > 0]이면 [eqn: f(n) = 2]

[eqn: a = 0]이면 [eqn: f(n) = 1]

[eqn: a < 0]이면 [eqn: f(n) = 0]

[eqn: 2 leq n leq 19]인 자연수 [eqn: n]은 총 [eqn: 18]개이고, 이 중 홀수는 [eqn: 9]개, 짝수는 [eqn: 9]개이다.

홀수인 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = 1]이므로 그 합은 [eqn: 9]이다.

[eqn: sum from {n=2} to {19} f(n) = 19]이므로 짝수인 [eqn: n]에 대한 [eqn: f(n)]의 합은 [eqn: 10]이어야 한다.

[eqn: g(n) = n^{2}-17n+19k]라 하자.

[eqn: g(n) = 0]을 만족하는 짝수 [eqn: n]이 존재하는지 확인해 보자.

[eqn: n^{2}-17n+19k = 0]에서 [eqn: 19k = n(17-n)]

[eqn: k]가 자연수이므로 [eqn: n(17-n) > 0]에서 [eqn: 0 < n < 17]

[eqn: n]은 짝수이므로 [eqn: n = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16]이다.

이때 [eqn: 19]는 소수이므로 [eqn: n] 또는 [eqn: 17-n]이 [eqn: 19]의 배수여야 하지만, 주어진 [eqn: n]의 범위에서는 불가능하다.

따라서 [eqn: g(n) = 0]인 짝수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

짝수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)]은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2]의 값을 가지므로, 짝수 [eqn: n]에 대한 [eqn: f(n)]의 합이 [eqn: 10]이 되려면 [eqn: g(n) > 0]인 짝수 [eqn: n]이 [eqn: 5]개, [eqn: g(n) < 0]인 짝수 [eqn: n]이 [eqn: 4]개여야 한다.

이차함수 [eqn: y = x^{2}-17x+19k]의 그래프는 대칭축이 [eqn: x = {17} over {2}]이고 아래로 볼록한 포물선이다.

따라서 짝수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n)]의 값을 작은 순서대로 나열하면

[eqn: g(8) < g(10) < g(6) < g(12) < g(4) < g(14) < g(2) < g(16) < g(18)]이다.

[eqn: g(n) < 0]인 짝수 [eqn: n]이 [eqn: 4]개이려면 가장 작은 [eqn: 4]개의 값이 음수이고, [eqn: 5]번째 값부터는 양수여야 하므로

[eqn: g(12) < 0]이고 [eqn: g(4) > 0]이어야 한다.

[eqn: g(12) = 144 - 204 + 19k = 19k - 60 < 0]에서 [eqn: k < {60} over {19} = 3.15 cdots]

[eqn: g(4) = 16 - 68 + 19k = 19k - 52 > 0]에서 [eqn: k > {52} over {19} = 2.73 cdots]

따라서 [eqn: 2.73 cdots < k < 3.15 cdots]이고, 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 3]이다.

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

양수 [eqn: m]과 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x-a ^{2} +2&``` LEFT ( x LEQ 2m RIGHT )#-3x+4a&``` LEFT ( x>2m RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax-a&``` LEFT ( x LEQ m+1 RIGHT )#x-a+1&``` LEFT ( x>m+1 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_{x rightarrow alpha-} f(x) neq lim_{x rightarrow alpha+} f(x)], [eqn: lim_{x rightarrow beta-} g(x) neq lim_{x rightarrow beta+} g(x)]인 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 존재한다.

(나) 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow k} {f(x)} over {g(x)}]의 값이 존재한다.

[eqn: m+g(a^{2})]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

조건 (가)에서 다항함수로 정의된 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 각각 구간이 나뉘는 점인 [eqn: x=2m], [eqn: x=m+1]에서만 불연속일 수 있다.

만약 [eqn: 2m neq m+1]이라 하면, [eqn: x=2m]에서 [eqn: g(x)]는 연속이다.

이때 [eqn: g(2m) neq 0]이면 [eqn: lim from {x -> 2m-} {f(x)} over {g(x)} neq lim from {x -> 2m+} {f(x)} over {g(x)}]이 되어 조건 (나)에 모순이다.

[eqn: g(2m) = 0]이어도 [eqn: lim from {x -> 2m} {f(x)} over {g(x)}]가 존재하려면 [eqn: lim from {x -> 2m-} f(x) = 0], [eqn: lim from {x -> 2m+} f(x) = 0]이어야 하므로 조건 (가)에 모순이다.

따라서 두 함수의 불연속점은 일치해야 하므로 [eqn: 2m = m+1]에서 [eqn: m = 1]이다.

[eqn: m=1]일 때, [eqn: x leq 2]에서 [eqn: g(x) = ax-a]이므로 [eqn: g(1) = 0]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: lim from {x -> 1} {f(x)} over {g(x)}]가 존재하려면 분모가 [eqn: 0]으로 갈 때 분자도 [eqn: 0]으로 가야 하므로 [eqn: f(1) = 0]이어야 한다.

[eqn: f(1) = 1 + a - 1 - a^{2} + 2 = -a^{2} + a + 2 = 0]에서

[eqn: a^{2} - a - 2 = 0], [eqn: (a-2)(a+1) = 0]

∴ [eqn: a = 2] 또는 [eqn: a = -1]

(ⅰ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: lim from {x -> 2-} {f(x)} over {g(x)} = lim from {x -> 2-} {x^{2}+x-2} over {2x-2} = {4} over {2} = 2]

[eqn: lim from {x -> 2+} {f(x)} over {g(x)} = lim from {x -> 2+} {-3x+8} over {x-1} = {2} over {1} = 2]

좌극한과 우극한이 같으므로 조건 (나)를 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: a = -1]일 때

[eqn: lim from {x -> 2-} {f(x)} over {g(x)} = lim from {x -> 2-} {x^{2}-2x+1} over {-x+1} = {1} over {-1} = -1]

[eqn: lim from {x -> 2+} {f(x)} over {g(x)} = lim from {x -> 2+} {-3x-4} over {x+2} = {-10} over {4} = -{5} over {2}]

좌극한과 우극한이 다르므로 조건 (나)에 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: m = 1], [eqn: a = 2]이다.

[eqn: g(x)]의 식에 대입하면 [eqn: x > 2]일 때 [eqn: g(x) = x - 1]이므로

[eqn: g(a^{2}) = g(4) = 4 - 1 = 3]

∴ [eqn: m + g(a^{2}) = 1 + 3 = 4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.

[eqn: {12} over {5} < k leq 4]인 상수 [eqn: k]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n]이 짝수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y = - {k} over {2n}]와
곡선 [eqn: y = 2 sin left ( n pi x + {pi} over {2} right ) + left | k sin^{2} (n pi x) - (k-1) right |]이
만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

(나) [eqn: n]이 홀수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y = {k+1} over {n}]과
곡선 [eqn: y = 2 sin left ( n pi x + {pi} over {2} right ) + left | k sin^{2} (n pi x) - (k-1) right |]이
만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: 0 < a_{2} < 6]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}]의 값을 구하시오.

[eqn: 53]

주어진 곡선의 식을 정리하면

[eqn: sin left ( n pi x + {pi} over {2} right ) = cos(n pi x)]이고 [eqn: sin^{2} (n pi x) = 1 - cos^{2} (n pi x)]이므로

[eqn: y = 2 cos(n pi x) + left | 1 - k cos^{2} (n pi x) right |]이다.

[eqn: t = cos(n pi x)]라 하면 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: n pi x in [0, 2n pi]]이므로 [eqn: -1 leq t leq 1]이다.

방정식 [eqn: cos(n pi x) = t]의 서로 다른 실근 [eqn: x]의 개수는 [eqn: t = 1]일 때 [eqn: n+1]개, [eqn: t = -1]일 때 [eqn: n]개, [eqn: -1 < t < 1]일 때 [eqn: 2n]개이다.

[eqn: g(t) = 2t + left | 1 - k t^{2} right |]라 하자.

[eqn: 1 - k t^{2} = 0]에서 [eqn: t = +- {1} over {sqrt{k}}]이다.

[eqn: alpha = {1} over {sqrt{k}}]라 하면 [eqn: {12} over {5} < k leq 4]이므로 [eqn: 0 < alpha < 1]이다.

[eqn: - alpha leq t leq alpha]에서 [eqn: g(t) = -k t^{2} + 2t + 1]이고,

[eqn: t < - alpha] 또는 [eqn: t > alpha]에서 [eqn: g(t) = k t^{2} + 2t - 1]이다.

[eqn: g(t)]는 [eqn: t = - alpha]에서 최솟값 [eqn: g(- alpha) = - {2} over {sqrt{k}}]를 갖는다.

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_{2}]는 [eqn: g(t) = - {k} over {4}]의 실근 [eqn: t]에 따른 [eqn: x]의 개수이다.

[eqn: t in (-1, 1)]인 실근 [eqn: 1]개당 [eqn: x]는 [eqn: 2n = 4]개 존재한다.

[eqn: 0 < a_{2} < 6]이므로 [eqn: t in (-1, 1)]인 실근이 오직 [eqn: 1]개 존재해야 한다.

따라서 직선 [eqn: y = - {k} over {4}]가 [eqn: g(t)]의 최솟값과 접해야 하므로 [eqn: - {k} over {4} = - {2} over {sqrt{k}}]이다.

[eqn: k sqrt{k} = 8]에서 [eqn: k = 4]이다.

[eqn: k=4]일 때 [eqn: g(t) = 2t + left | 1 - 4t^{2} right |]이고 [eqn: alpha = {1} over {2}]이다.

[eqn: - {1} over {2} leq t leq {1} over {2}]에서 [eqn: g(t) = -4t^{2} + 2t + 1]이고,

[eqn: -1 leq t < - {1} over {2}] 또는 [eqn: {1} over {2} < t leq 1]에서 [eqn: g(t) = 4t^{2} + 2t - 1]이다.

[eqn: g(-1) = 1], [eqn: g left ( - {1} over {2} right ) = -1], [eqn: g left ( {1} over {4} right ) = {5} over {4}], [eqn: g left ( {1} over {2} right ) = 1], [eqn: g(1) = 5]이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: y = {4+1} over {1} = 5]이므로 [eqn: g(t) = 5]에서 [eqn: t = 1]이다.

[eqn: x]의 개수는 [eqn: n+1 = 2]개이므로 [eqn: a_{1} = 2]이다.

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때

[eqn: y = - {4} over {4} = -1]이므로 [eqn: g(t) = -1]에서 [eqn: t = - {1} over {2}]이다.

[eqn: x]의 개수는 [eqn: 2n = 4]개이므로 [eqn: a_{2} = 4]이다.

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때

[eqn: y = {5} over {3}]이므로 [eqn: g(t) = {5} over {3}]에서 [eqn: t in left ( {1} over {2}, 1 right )]인 실근 [eqn: 1]개를 갖는다.

[eqn: x]의 개수는 [eqn: 2n = 6]개이므로 [eqn: a_{3} = 6]이다.

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때

[eqn: y = - {4} over {8} = - {1} over {2}]이므로 [eqn: g(t) = - {1} over {2}]에서 [eqn: t in left ( -1, - {1} over {2} right )], [eqn: t in left ( - {1} over {2}, {1} over {4} right )]인 실근 [eqn: 2]개를 갖는다.

[eqn: x]의 개수는 [eqn: 2 times 2n = 16]개이므로 [eqn: a_{4} = 16]이다.

(ⅴ) [eqn: n=5]일 때

[eqn: y = {5} over {5} = 1]이므로 [eqn: g(t) = 1]에서 [eqn: t = -1, 0, {1} over {2}]이다.

[eqn: t = -1]일 때 [eqn: x]는 [eqn: n = 5]개, [eqn: t = 0, {1} over {2}]일 때 [eqn: x]는 각각 [eqn: 2n = 10]개이다.

[eqn: x]의 총 개수는 [eqn: 5 + 10 + 10 = 25]개이므로 [eqn: a_{5} = 25]이다.

따라서 [eqn: sum from {n=1} to {5} a_{n} = 2 + 4 + 6 + 16 + 25 = 53]이다.

따라서 정답은 [eqn: 53]이다.