2023년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 21번과 29번 수열 문항에서 주어진 조건을 해석하여 규칙을 추론하는 과정이 꽤나 까다로워, 여기서 시간을 많이 쓴 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 복잡한 연산보다는 수열의 귀납적 정의, 함수의 그래프 개형 추론 등 개념에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 주를 이뤘습니다. 특히 30번처럼 실근의 개수를 새로운 함수로 정의하고 그 함수의 극한을 분석하는 유형은 최근 수능에서 자주 등장하는 패턴이므로, 단순히 문제를 푸는 것을 넘어 조건이 그래프의 어떤 특징과 연결되는지 구조적으로 파악하는 훈련을 반드시 해야 합니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문항의 핵심은 'n제곱근 중 실수인 것의 개수'가 n의 홀짝 여부와 밑(n²-15n+50)의 부호에 따라 결정된다는 점을 정확히 아는지 묻는 것입니다. 많은 학생들이 f(n)=f(n+1)이라는 조건에 당황하여 n과 n+1의 홀짝성을 나누고, 동시에 n²-15n+50의 부호까지 고려하는 다중 케이스 분류에서 실수를 범하기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 먼저 이차식 n²-15n+50의 부호가 n=5와 n=10을 기준으로 바뀐다는 사실을 파악하고, n의 범위를 4≤n≤12에 맞춰 구간별로 나누어 f(n)과 f(n+1)의 값을 표로 정리해보는 것입니다.
  

• 20번

  — 이차함수와 절댓값, 그리고 구간별로 정의된 함수의 연속성과 그래프 개형을 종합적으로 판단해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 (가)연속 조건과 (나)x축과 오직 한 점에서 만난다는 조건을 통해 미지수 k와 a의 관계를 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 (나)조건을 단순히 '판별식 D=0'으로만 해석하는 것입니다. g(x)는 x=3을 기준으로 나뉜 함수이므로, 각 구간에서 x축과 어떻게 만나는지, 그리고 경계점인 x=3에서의 함숫값(g(3))이 0이 되는 경우까지 모두 고려해야 합니다. 이 문제의 실마리는 (가)연속 조건을 통해 f(3)=kf(3-a)라는 관계식을 세우고, (나)조건을 만족하는 g(x)의 그래프 개형이 몇 가지 경우로 좁혀진다는 것을 시각적으로 파악하는 데 있습니다.
  

• 21번

  — 규칙이 복잡하게 주어진 수열의 항을 추론하는, 전형적인 고난도 수열 문항입니다. 출제 의도는 n이 3의 배수일 때와 아닐 때로 나뉘는 점화식을 이해하고, a₂₀+a₂₁=0이라는 먼 항의 조건을 이용해 역으로 초기 항들을 추적해 나가는 능력을 보는 것입니다. 가장 큰 함정은 조건 (나) an+3 = -an - n 이라는 관계를 어떻게 활용할지 막막해하는 것입니다. 이 조건은 3칸씩 건너뛰는 규칙을 의미합니다. 문제 해결의 첫 단추는 a₂₀+a₂₁=0 조건에 (가) 점화식을 적용하여 a₂₁ = (-1)²⁰ × a₂₀ = a₂₀ 이므로 a₂₀=0임을 밝혀내는 것입니다. 이 값을 시작점으로 (나) 점화식을 반복 적용하여 a₁₇, a₁₄, ... 값을 역추적해 나가야 합니다.
  

• 28번

  — 삼각형과 외접원을 다루는 기하 문제로, 사인법칙, 코사인법칙, 그리고 원에 내접하는 사각형의 성질까지 종합적으로 활용해야 합니다. 출제 의도는 여러 도형의 정보들을 유기적으로 연결하여 미지수를 구하는 능력입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 점 E가 외접원 위의 점이라는 사실을 어떻게 활용할지 파악하지 못하는 것입니다. 이로 인해 ABCE가 원에 내접하는 사각형임을 놓치고, ∠BAC = ∠BEC 와 같은 중요한 각의 관계를 발견하지 못합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 주어진 cos(∠BAC) 값을 이용해 sin(∠BAC)를 구하고, 삼각형 ABC에 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름 R을 먼저 구하는 것입니다. 외접원의 넓이 조건이 이를 뒷받침하며, R을 구한 후에는 원주각의 성질을 이용해 다른 삼각형으로 법칙을 확장 적용할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 수열의 항이 이차방정식의 근으로 정의된 신유형에 가까운 문제입니다. (가) 조건에서 각 항 ak가 k값에 따라 변하는 이차방정식의 두 근 중 하나라는 것을 파악하고, (나) 조건인 'an × an+1 ≤ 0을 만족하는 n이 2개'라는 표현을 정확히 해석하는 것이 핵심입니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건을 부호가 다른 항이 2개 있다고 오해하는 것입니다. 정확히는 부호가 '바뀌는 지점'이 두 번 있다는 의미입니다. 문제 해결의 첫 단추는 이차방정식의 두 근의 곱이 (8-k)(k-5)임을 이용하여, k값에 따라 두 근의 부호 관계(둘 다 양수, 둘 다 음수, 서로 다른 부호)가 어떻게 변하는지 분석하는 것입니다. 이 분석을 토대로 (나) 조건을 만족시키도록 10개의 항(a₁~a₁₀)의 부호를 배열하고, 합이 최대가 되도록 각 항의 값을 선택해야 합니다.
  

• 30번

  — 함수의 그래프와 직선의 교점 개수를 새로운 함수 g(t)로 정의하고, g(t)의 극한과 함숫값에 대한 조건을 해석하여 원래 함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 불연속함수(g(t))의 좌극한, 우극한의 의미를 그래프의 기하학적 상황(접할 때, 변곡점, 꼭짓점 등)과 연결시키는 능력입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가), (나)의 극한 조건을 해석하는 것입니다. lim g(t) - lim g(t) = 2 라는 것은, y=t라는 직선이 y=α라는 높이를 지날 때 교점의 개수가 위아래에서 2개 차이 난다는 의미이며, 이는 보통 그래프의 극점에서 발생합니다. 이 문제의 실마리는 먼저 f(x)의 개형(x=0에서 붙는 두 이차함수)을 그린 후, y=t 직선을 아래에서 위로 움직여가며 교점 개수 g(t)가 언제 변하는지(불연속이 되는지) 관찰하는 것입니다. 불연속점 후보는 f(x)의 극댓값, 극솟값, 그리고 경계점의 함숫값인 f(0)이며, 이 값들이 α, β와 어떻게 연결되는지를 추리해야 합니다.