2022년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 21번과 30번처럼 그래프 개형을 추론하고 대칭성을 활용하는 문항에서 변별력을 확보하려는 의도가 뚜렷했습니다. 단순 계산 문제부터 사인/코사인 법칙을 활용한 28번 같은 도형 문제, 지수/로그 함수의 관계를 묻는 27번 문항까지 수학 I의 핵심 개념을 고루 점검하고 있어요. 특히 27번, 28번과 같이 도형과 함수를 결합한 유형은 수능에서도 꾸준히 출제되는 만큼, 그래프의 기하학적 특징을 해석하고 조건에 맞는 식을 세우는 훈련을 집중적으로 해야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 전형적인 빈칸 추론 문제로, 삼각함수의 정의와 사인법칙을 복합적으로 활용하는 능력을 평가합니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 삼각형 BOD에서 사인법칙을 적용할 때, 각도를 θ로 표현하는 과정에서 막히는 것입니다. 힌트는 문제의 흐름을 따라가는 것입니다. (가)에서 구한 ∠BOC를 이용해 이등변삼각형 BOC의 밑각 ∠OBC를 구하고, 이 각이 삼각형 BOD의 한 각임을 인지하는 것이 해결의 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 구간별로 정의된 삼각함수와 지수함수의 그래프를 그려 방정식의 해를 분석하는, 그래프 추론 능력이 핵심인 문항입니다. f(x) + a = 0, 즉 f(x) = -a의 실근의 합을 구해야 하죠. 가장 큰 함정은 삼각함수 부분의 실근들을 일일이 구하려다 시간을 낭비하는 것입니다. sin 함수의 그래프는 대칭성을 가지므로, 두 근의 합은 대칭축의 2배라는 사실을 이용하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다. 이 대칭성을 활용해 삼각함수 파트의 근의 합을 k에 대한 식으로 표현하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 27번

  — 지수함수와 로그함수, 그리고 기울기가 -1인 직선이 함께 등장하는, 평가원이 매우 선호하는 유형의 문제입니다. 많은 학생들이 y=a^x와 y=log_a(x)가 y=x 대칭이라는 점에만 매몰되어, 점 A와 B가 서로 역함수 관계라고 착각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 하지만 이 문제의 핵심은 점 A, B, C가 모두 y=-x+5라는 한 직선 위에 있다는 사실과 AB:BC=2:1이라는 비율 관계를 좌표로 설정하여 연립방정식을 푸는 것입니다. 점 C가 지나는 y=log_a(x-1)-1 그래프가 y=log_a(x)를 어떻게 평행이동한 것인지 파악하는 것이 첫걸음입니다.
  

• 28번

  — 두 삼각형이 변을 공유하고 있을 때, 각 삼각형의 외접원 반지름의 비율이 주어진 상황입니다. 이 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 언제 어떻게 써야 하는지 정확히 아는지를 묻고 있습니다. 학생들은 보통 r₁/r₂ 비율을 사인 값의 비율로 바꾸는 데까지는 성공하지만, 그 다음 단계로 나아가지 못하는 경우가 많습니다. 결정적 힌트는 사인법칙을 통해 두 삼각형의 마주보는 변, 즉 AB와 AC의 길이 비율을 알아내는 것입니다. 이 비율을 얻어낸 후, 가장 큰 삼각형 ABC에 코사인법칙을 적용하면 AB의 길이를 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 로그로 정의된 집합의 교집합 원소 개수를 다루는 문제로, 로그의 정의와 정수/유리수 조건에 대한 깊은 이해를 요구합니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 집합 A_m의 정의를 오해하는 것입니다. A_m은 단순히 정수 원소만을 갖는 집합이 아니라, log_m(x)가 유리수가 될 수 있는 모든 값을 포함합니다. 문제 해결의 실마리는 'log_4(x)와 log_b(x)가 동시에 유리수가 되는 x는 어떤 형태일까?'를 고민하는 것에서 시작됩니다. b가 2의 거듭제곱(b=2^k)이므로, 공통적으로 유리수 값을 만들어내는 x 역시 2의 거듭제곱 형태여야 함을 간파하고, 각 b 값에 대해 조건을 만족하는 유리수 지수의 개수를 체계적으로 세어보는 것이 중요합니다.
  

• 30번

  — 두 함수의 대소 관계에 따라 결정되는 max(f(x), g(x)) 함수의 그래프를 추론하고, 주어진 조건들을 만족하는 미정계수를 찾는 최고난도 문항입니다. h(x)의 정의를 보고 max(sin(x), a*cos(x)+b)임을 바로 파악하는 것이 첫 번째 관문입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (나) 조건인 h(c) = h(c+π) = 1/2을 해석하는 것입니다. 이 조건은 단순히 점 두 개를 대입하는 것을 넘어, 두 함수의 주기성과 대칭성을 함께 고려해야만 a, b 사이의 관계식을 이끌어낼 수 있습니다. 이 관계식을 (가)의 최솟값 조건과 결합하여 연립방정식을 풀어내는 것이 이 문제의 핵심 공략법입니다.