2021년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 문항처럼 함수의 그래프를 그려 교점의 개수를 추론하는, 전형적인 수능형 킬러 문항의 구조를 충실히 따르고 있습니다. 전반적으로 계산량을 요구하는 수열 문제(21번, 27번)와 삼각함수의 법칙을 종합적으로 활용해야 하는 도형 문제(29번)의 균형이 잘 잡혀있어, 특정 단원에만 치우친 학습이 얼마나 위험한지 보여주는 시험이었죠. 특히 12번(미분가능성), 15번(미분계수 정의)과 같이 기본 개념을 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문항들은, 결국 수능 고득점을 위해선 화려한 스킬보다 탄탄한 개념이 우선이라는 점을 다시 한번 상기시켜 줍니다.

문항 분석

• 20번

  — 이 문항의 핵심은 지수함수와 그 역함수 관계에 가까운 두 곡선의 대칭성을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 점 A, B, C, D의 좌표를 직접 구하려고 시도하다가 복잡한 로그 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 두 곡선 y=2^x와 y=(1/4)^x = 2^(-2x)의 관계, 그리고 두 직선 y=a, y=1/b의 관계에서 점들 사이의 기하학적 대칭성(예: 선분 AC와 BD의 중점)을 먼저 찾아내는 것입니다. 좌표를 설정하기 전에 그림의 대칭성을 먼저 의심하는 습관이 중요합니다.
  

• 21번

  — 절댓값이 포함된 수열의 합 문제로, 출제 의도는 조건 (나)의 두 관계식을 이용해 수열의 항들이 어떤 패턴을 보이는지 추론하는 능력입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 |an|-an 이라는 식의 의미를 놓치는 것입니다. 이 값은 an이 양수일 때는 0, 음수일 때는 -2an이 되므로, 결국 음수 항들만이 주어진 합에 기여한다는 사실을 깨닫는 것이 첫 단추입니다. 힌트는 a_2n * a_2n+1 = 1 이라는 조건에서 두 항의 부호 관계를 파악하고, a_2n-1 + a_2n = 1을 이용해 항들을 구체적으로 나열하며 규칙을 찾는 것입니다.
  

• 28번

  — 두 개의 극한 조건을 통해 삼차함수 f(x)를 결정하는 전형적인 준킬러 문항입니다. (가) 조건에서 lim (x->1) [f(x)/(x-1)] = 3 이라는 것을 보고 f(1)=0, f'(1)=3 이라는 두 가지 정보를 즉시 이끌어내야 합니다. 많은 학생들이 f(1)=0만 생각하고 f'(1)을 놓치는 실수를 합니다. (나) 조건 역시 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 가야 한다는 점에서 f(a)=0 이라는 사실을 알려줍니다. 이 정보들을 종합하면 f(x)를 (x-1)(x-a)를 인수로 갖는 형태로 설정하고 나머지 미정계수를 구하는 방향으로 문제를 풀어낼 수 있습니다.
  

• 29번

  — 삼각형의 넓이, 외접원, 그리고 변과 각에 대한 정보가 복합적으로 주어진, 사인법칙과 코사인법칙의 종합선물세트 같은 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건들을 어떤 순서로, 어떤 법칙에 맞게 적용할지를 계획하는 능력입니다. 학생들은 보통 sinB+sinC=9/8 라는 조건을 어떻게 활용할지 막막해합니다. 결정적 힌트는 사인법칙을 이용해 sinB와 sinC를 외접원의 반지름 R과 변의 길이 b, c로 표현(sinB=b/2R, sinC=c/2R)하여 변의 관계식으로 바꾸는 것입니다. 이 관계식과 cosA 값을 이용해 코사인법칙을 적용하면 변 사이의 또 다른 관계를 얻어낼 수 있습니다.
  

• 30번

  — 이 시험의 킬러 문항으로, 조각으로 정의된 함수 g(x)의 그래프를 그린 후, 직선 y=t와의 교점 개수 함수 h(t)의 특성을 분석하는 문제입니다. 핵심은 h(t)가 불연속이 되는 지점이 바로 g(x)의 극값 또는 경계점의 함숫값이라는 사실을 이해하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 '{h(t)-2}h(t-k)가 실수 전체에서 연속'이라는 조건을 해석하는 것입니다. 이는 h(t)가 불연속인 t값에서 h(t-k)가 0이 되거나, h(t-k)가 불연속인 t값에서 h(t)가 2가 되어야 함을 의미합니다. 따라서 g(x)의 그래프를 정확하게 그린 후, 불연속 점들의 위치와 k만큼의 평행이동 관계를 따져 조건을 만족하는 a, b를 찾아내는 것이 관건입니다.