2023년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 학평은 30번 문항에서 그래프 개형을 추론하고 여러 가능성을 꼼꼼히 따져야 하는 등, 고2 학생들에게는 상당히 까다로운 시험이었을 겁니다. 특히 지수로그함수와 삼각함수의 그래프를 해석하고 이를 기하 문제와 융합하는 능력을 집중적으로 측정했는데, 이는 수능에서도 가장 중요한 평가 요소 중 하나입니다. 단순히 공식을 암기하는 수준을 넘어, 각 개념이 문제에 어떻게 녹아드는지 깊이 있게 고민하고 다양한 조건에 맞춰 그래프를 직접 그려보는 연습이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 15번

  — 삼각함수 그래프와 정삼각형이라는 기하학적 조건을 융합한 문항입니다. 출제 의도는 삼각방정식의 해를 정확히 구하고, 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 변의 길이와 높이 관계를 식으로 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 정삼각형의 높이 공식을 (√3/2)a로 설정하고, 밑변 길이와 높이를 각각 x좌표와 y좌표의 차이로 표현하는 과정에서 계산 실수를 하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 A가 y축 위의 점이라는 사실을 이용해 삼각형의 높이를 'a'에 대한 식으로 간단히 표현하고, 두 점 B, C의 x좌표를 삼각방정식을 통해 구하여 밑변 길이를 설정한 뒤, 두 변의 길이가 같다는 조건(AC² = BC²)으로 방정식을 세우는 것입니다.
  

• 16번

  — 지수로그함수의 그래프와 절댓값을 포함한 삼각형의 넓이를 다루는, 해석 능력이 중요한 문제입니다. 이 문제의 핵심은 t의 부호에 따라 P와 Q의 x좌표 대소 관계가 바뀌므로, 삼각형의 밑변 길이가 달라진다는 점을 파악하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 t>0일 때의 넓이 공식 S(t) = (1/2)(4ᵗ-2ᵗ)t만 생각하고, t<0일 때 S(t) = (1/2)(2ᵗ-4ᵗ)(-t)로 바뀌는 것을 놓치는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 S(t)를 t의 부호에 따라 경우를 나누어 |t|와 |x_Q - x_P|를 이용한 식으로 정확히 정의하는 것이며, 특히 ㄷ보기는 S(t)/S(-t)를 직접 계산하여 8ᵗ라는 간단한 지수함수로 정리해보면 증가함수임이 명확히 보입니다.
  

• 20번

  — 로그의 성질과 정수/자연수 조건을 결합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 'logₐb가 유리수'라는 조건으로부터 a와 b를 'a=kᵖ, b=k۹' 형태로 표현하고, 주어진 부등식 조건을 만족하는 p, q, k 값을 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 p, q가 만족해야 하는 조건(p<q<2p, 2q<3p, p와 q는 서로소)을 모두 찾아내고, 어떤 k, p, q의 조합이 a+b를 최대로 만드는지 탐색하는 과정입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 a+b = kᵖ + k۹ = kᵖ(1+k^(q-p)) 꼴로 바꾼 뒤, k가 커질 때와 p, q가 커질 때 값의 변화를 관찰하여 가장 유력한 후보군(작은 k와 큰 p,q 또는 큰 k와 작은 p,q)을 몇 개로 좁혀 직접 계산해보는 것입니다. (참고: 원본 문항의 선택지와 계산 결과 간에 불일치 가능성이 제기되기도 했으나, 문제 접근 논리는 동일합니다.)
  

• 21번

  — 절댓값이 포함된 삼각함수의 최댓값을 특정 구간에서 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 최댓값이 될 수 있는 후보가 '구간의 양 끝점에서의 함숫값' 또는 'sin(x)=-1일 때의 극댓값'이라는 사실을 이해하는 것입니다. 많은 학생들이 g(k)가 무리수가 되려면 단순히 구간의 끝점에서 sin 값이 ±√3/2가 되면 된다고 단순하게 생각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 하지만 구간 내에 sin(x)=-1이 되는 지점(x=3π/2, 7π/2, ...)이 포함되면 최댓값은 3/2(유리수)가 되므로, 이 경우를 먼저 제외해야 합니다. 따라서 g(k)가 무리수가 되기 위한 조건은 ① 해당 구간이 x=...3π/2, 7π/2...를 포함하지 않으면서, ② 양 끝점 중 한 곳의 함숫값이 (√3+1)/2가 되어 다른 모든 값보다 커지는 경우임을 파악하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 29번

  — 도형의 접기(대칭이동)와 외접원, 그리고 사인 법칙을 종합적으로 활용하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 '접는다'는 조건에서 선분 EF가 선분 AD의 수직이등분선임을 파악하고, 외접원의 반지름 비율을 사인 법칙을 통해 두 삼각형의 변의 길이 비율(DE=2DF)로 변환할 수 있는지를 묻고 있습니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 여러 도형의 성질을 어떻게 유기적으로 연결할지 막막해하는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 좌표를 도입하는 것입니다. 삼각형 ABC를 A(0,0), B(1,0), C(0,1)로 설정하고, AE=2x, AF=x라는 관계를 이용해 점 E(2x,0), F(0,x)의 좌표를 잡으면, 'AD⊥EF'와 'AD의 중점이 EF 위에 있다'는 두 가지 조건을 연립하여 미지수 x의 값을 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 절댓값 함수와 지수함수가 결합된 새로운 형태의 함수 g(x)의 그래프를 추론하고, 교점의 개수 조건을 해석하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 y=g(x)와 y=16의 교점이 3개가 될 수 있는 유일한 상황이, g(x)의 최댓값(a⁴)이 16이 되어 꼭짓점에서 한 번 접하고, 양쪽 날개 부분에서 각각 한 번씩 만나는 경우임을 간파하는 것입니다. 여기서 a=2라는 사실을 확정 짓는 것이 첫 번째 관문입니다. 이후 g(1)=16이라는 조건을 해석할 때, x=1이 '꼭짓점(k=1)'일 수도 있고, '날개 부분의 교점'일 수도 있다는 두 가지 가능성을 모두 고려해야 합니다. 이처럼 여러 케이스를 나누어 각각의 경우에 해당하는 k값을 모두 구하고, 그 k값들에 대해 문제에서 요구하는 f(a-2) 값을 계산하여 합하는 것이 최종 정답으로 가는 길입니다.