2022년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 등차수열 문항에서 주어진 합(S_n)의 최대, 최소 조건을 해석하다가 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 시험은 단순 계산보다는 수열의 귀납적 정의(14번), 함수의 미분가능성(29번), 절댓값 함수의 그래프(30번) 등 각 개념의 정의를 정확히 이해하고 이를 그래프나 조건 해석에 적용하는 능력을 집중적으로 측정했습니다. 특히 수열의 합 S_n을 n에 대한 이차함수로 해석하거나, 미분불가능점을 연속성 및 좌우 미분계수 조건으로 해결하는 등 평가원이 선호하는 문제 해결 방식을 충실히 담고 있어, 수능 대비를 위해 반드시 복기해야 할 문항들이 많습니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문제는 an의 부호에 따라 점화식이 달라지는 수열의 귀납적 정의 문제입니다. 출제 의도는 단순히 값을 대입하여 규칙을 찾는 것이 아니라, 항의 값이 어떻게 변하는지 그 흐름을 추적하는 능력을 보는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 처음 몇 개의 항만 구해보고 섣불리 규칙을 일반화하려다 계산 실수에 빠지는 것입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 a1=1에서 시작하여 항들을 직접 나열하면서, 항의 값이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때의 규칙을 놓치지 않고 꼼꼼하게 따라가는 것입니다. 특정 패턴이 반복될 것이라는 예측을 가지고 접근하면 더 수월합니다.
  

• 20번

  — 원의 내접삼각형과 각의 이등분선이 결합된, 사인법칙과 코사인법칙을 종합적으로 활용해야 하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 여러 도형의 성질을 엮어 필요한 변의 길이나 각의 크기를 찾아내는 논리적 추론 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 어떤 법칙을 먼저 적용해야 할지 시작점을 잡는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 힌트는 '각의 이등분선'과 '같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다'는 성질입니다. 이로부터 ∠DBC = ∠DAC이고, ∠CAD = ∠BAD이므로 삼각형 BDE와 ABD에서 같은 각을 찾아내고, 주어진 BD의 길이를 이용해 사인법칙을 적용하는 것이 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 등차수열의 합 S_n의 성질을 최고난도로 활용한 문제입니다. 출제 의도는 S_n이 n에 대한 이차함수임을 이해하고, 그 그래프의 특징(대칭성, 꼭짓점)과 항의 부호 변화의 관계를 파악하는 것입니다. 대부분의 학생들은 |am|=2|am+2|와 S_m, S_{m+1}, S_{m+2}의 대소 관계를 복잡한 연립방정식으로 풀려다가 길을 잃습니다. 결정적 실마리는 공차가 음수이므로 S_n의 그래프는 위로 볼록한 포물선이라는 점입니다. S_n의 최댓값은 an이 양수에서 음수로 바뀌기 직전에 나타나므로, S_m, S_{m+1}, S_{m+2} 중 최댓값과 최솟값이 존재한다는 것은 이 세 지점 근처에 포물선의 꼭짓점이 있다는 강력한 증거입니다. S_{m+2} - S_{m+1} = a_{m+2} 와 같은 관계식을 이용해 조건을 해석해야 합니다.
  

• 28번

  — 주어진 구간 [0, n] 내에서 삼각함수의 최댓값 f(n)과 최솟값 g(n)의 차이를 분석하는 문제입니다. 출제 의도는 n값이 변함에 따라 함수의 그래프가 그려지는 범위가 어떻게 변하고, 그에 따라 최댓값과 최솟값이 어떻게 달라지는지를 추론하는 능력입니다. 학생들은 f(n)과 g(n)을 n에 대한 하나의 식으로 표현하려다 어려움을 겪는 경우가 많습니다. 이 문제의 핵심은 sin 함수의 주기성을 이용하는 것입니다. 함수 y=2sin(π/4(x+1))의 주기는 8입니다. n의 값이 증가함에 따라 [0, n] 구간이 sin 함수의 최댓값(2)과 최솟값(-2)을 모두 포함하게 되는 순간을 찾는 것이 중요합니다. f(n)-g(n)의 값이 2와 4 사이라는 것은, 구간 내에 최댓값 또는 최솟값 중 하나만 포함되거나, 둘 다 포함되더라도 그 차이가 4가 되지 않는 특정 n의 범위를 찾아내라는 신호입니다.
  

• 29번

  — 연속함수와 불연속(혹은 미분불가능) 가능성이 있는 함수의 곱 f(x)g(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 미분가능성의 정의, 즉 '연속'이면서 '좌미분계수=우미분계수'라는 두 조건을 모두 만족해야 함을 정확히 알고 있는지 확인하는 것입니다. 학생들은 x=5에서 f(x)가 꺾이는 점(미분불가능점)을 갖는다는 것은 파악하지만, g(x)가 어떤 역할을 해야 하는지 놓치기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '인수정리'의 확장된 활용입니다. 함수 f(x)가 x=α에서 미분불가능할 때, 곱함수 f(x)g(x)가 x=α에서 미분가능하려면 g(α)=0이어야 합니다. 더 나아가, 이 문제에서는 f(x)가 x=5에서 불연속이 될 수도 있으므로, 연속 조건과 미분가능 조건을 모두 따져 g(5)와 g'(5)에 대한 조건을 찾아내야 합니다.
  

• 30번

  — 지수함수를 기반으로 한 구간별 함수 f(x)에 대해, |f(x)|의 그래프와 상수함수 y=k의 교점 개수 조건을 해석하여 미지수 a의 범위를 찾는 문제입니다. 출제 의도는 지수함수 그래프의 개형과 점근선, 그리고 절댓값으로 그래프를 접어 올렸을 때의 모양 변화를 완벽하게 이해하고 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 빠지는 함정은 a를 고정된 값으로 생각하고 그래프를 그리려 하는 것입니다. a의 값에 따라 x=a를 기준으로 나뉜 두 지수함수의 위치 관계가 달라진다는 점이 핵심입니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 '서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 k가 오직 하나뿐'이라는 조건입니다. 이는 |f(x)| 그래프의 극값(극대 또는 극소) 중 하나가 0이 되거나, 혹은 그래프의 개형상 y=k와 두 번 만나는 상황이 단 한 번만 발생해야 함을 의미합니다. x=a에서의 연속성을 먼저 확인하고, a의 값에 따른 f(x)의 최솟값 또는 x=a에서의 함수값을 기준으로 경우를 나누어 분석해야 합니다.