2023년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평은 30번 문항에서 유리함수의 점근선과 이차함수의 꼭짓점 위치를 연계하여 추론하는 능력을 까다롭게 물어본 시험이었습니다. 전반적인 계산량은 많지 않았지만, 16번(일대일대응), 21번(무게중심과 자취), 29번(기울기의 최대최소) 등 주요 문항들에서 조건의 의미를 기하학적으로 해석하고 그래프로 시각화하는 능력이 점수를 갈랐을 겁니다. 특히 함수 그래프의 개형을 조건에 맞게 추론하는 유형은 수능 수학의 핵심 기조이므로, 이번 시험을 통해 본인의 약점을 정확히 파악하고 넘어가는 것이 중요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 구간별로 정의된 함수가 '일대일 대응'이 될 조건을 묻고 있습니다. 많은 학생들이 단순히 x=3에서 두 함수의 값이 같아야 한다고 생각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 하지만 일대일 대응이 되려면 정의역 [0, 4]에서 치역 [0, 4]로 빈틈없이, 그리고 중복 없이 연결되어야 합니다. 결정적 실마리는 함수가 전체 구간에서 단조증가하거나 단조감소해야 한다는 점을 파악하고, 정의역과 치역의 양 끝점 (0, 0), (4, 4) 또는 (0, 4), (4, 0)을 지나야 한다는 케이스를 나누어 접근하는 것입니다.
  

• 19번

  — 집합 A의 원소 개수가 4개라는 조건 하에, 주어진 두 개의 논리 규칙을 만족하는 집합 A를 찾는 문제입니다. 출제 의도는 조건 (나) 'a²-2∈A 이면 a∉A이다'의 대우 명제 'a∈A 이면 a²-2∉A이다'를 적극적으로 활용하여 원소 간의 관계를 추론하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 특정 숫자 몇 개만 대입해보고 규칙을 성급하게 일반화하는 것입니다. 힌트는 0에서부터 시작하는 것입니다. 0∈A이므로, 조건 (나)에 의해 0²-2 = -2는 A의 원소가 될 수 없습니다. 이런 식으로 원소들을 하나씩 확정하거나 배제해나가며 n(A)=4를 만족하는 조합을 찾아야 합니다.
  

• 21번

  — 좌표평면 위 사분원 위의 동점 P와 정점 A, 그리고 동점 Q 사이의 관계를 무게중심을 통해 해석하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '삼각형 APQ의 무게중심이 원점'이라는 조건을 수식으로 표현하는 데 있습니다. A(4, 2), P(x_p, y_p), Q(x_q, y_q)라 두면, 무게중심 공식에 의해 x_q = -4-x_p, y_q = -2-y_p 라는 관계식을 얻을 수 있습니다. 이 관계식은 점 Q가 점 P를 특정 점에 대해 대칭이동시킨 후 평행이동한 것과 같다는 기하학적 의미를 내포하고 있습니다. 이 관계를 파악하면 <보기>의 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 P의 자취인 원의 방정식과 결합하여 쉽게 판별할 수 있습니다.
  

• 수학 29번

  — 원의 대칭이동, 평행이동 후 두 점을 잇는 직선의 기울기( (y₂-y₁)/(x₂-x₁) )의 최대, 최소를 묻는 고난도 문항입니다. 출제 의도는 기울기의 기하학적 의미를 파악하고, 두 동점의 자취(이동된 원) 사이의 관계를 시각적으로 해석하는 능력입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 x₁, y₁, x₂, y₂를 모두 식으로 표현하여 대수적으로 풀려고 시도하는 것인데, 계산이 매우 복잡해집니다. 결정적 실마리는 점 (x₁, y₁)이 원 (x-6)²+y²=r² 위의 점 P를 y=x 대칭시킨 점이므로, 점 (y₁, x₁)이 원래 원 위의 점이라는 사실을 이용하는 것입니다. 결국 이 문제는 '원 (y-6)²+x²=r² 위의 점'과 '원 (x-k-6)²+y²=r² 위의 점'을 잇는 직선의 기울기를 구하는 문제로 변환하여 풀 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 유리함수와 이차함수로 이루어진 piecewise 함수 f(x)가 주어진 두 조건을 만족하도록 미정계수 a, b를 결정하는 문제입니다. (가) 조건 'x≤0인 모든 실수 x에 대하여 f(x) ≥ f(-2)'는 x=-2에서 함수가 극소이거나, 해당 구간의 최솟값을 가짐을 의미합니다. a<1이므로 x=-2는 유리함수 구간에 속하며, 이는 유리함수의 대칭점(점근선의 교점)의 x좌표가 -2임을 알려주는 결정적 힌트입니다. (나) 조건 '|f(x)|=2의 실근이 2개'라는 것은 y=f(x)의 그래프가 두 직선 y=2, y=-2와 만나는 교점의 총 개수가 2개라는 의미입니다. (가)에서 얻은 그래프의 개형을 바탕으로, 두 직선과의 교점 개수가 2개가 되도록 이차함수의 위치와 모양을 추론해나가야 정답에 도달할 수 있습니다.