2022년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

29번, 30번에서 다항식과 이차함수에 대한 깊이를 묻는 문항들은 고2 학생들에게 상당한 부담을 줬을 겁니다. 고1 수학(상), (하)의 핵심 개념들을 충실히 다루면서도, 20번처럼 여러 도형의 성질을 엮거나 21번처럼 도형의 넓이를 새로운 함수로 정의하고 합성함수까지 연결하는 등 종합적 사고력을 요구하는 문항들이 변별력을 갈랐습니다. 이 시험에서 다루는 도형의 방정식, 함수, 다항식의 관계 등은 수능 수학의 근간이 되므로, 단순히 문제를 푸는 것을 넘어 각 개념이 어떻게 유기적으로 연결되는지 고민하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 20번

  — 이 문항은 두 직선의 교점, x절편으로 만들어지는 삼각형을 기반으로 무게중심과 넓이의 관계를 묻는 종합적인 좌표평면 문제입니다. 학생들은 흔히 외접원이라는 단어에 꽂혀 외심의 좌표를 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 실마리는 (나) 조건에서 두 삼각형 PBC와 ABC가 밑변 BC를 공유한다는 점을 간파하는 것입니다. 따라서 넓이의 비가 3배라는 것은 곧 높이의 비가 3배임을 의미하며, 이를 통해 점 P의 y좌표를 손쉽게 결정할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 정육각형 위를 움직이는 점에 따른 삼각형의 넓이를 함수 f(x)로 정의하고, 그 합성함수의 방정식 (f∘f)(a) = 9/32를 푸는 신유형 문제입니다. 가장 큰 함정은 f(x)를 하나의 식으로 표현하려는 시도입니다. 점 P의 위치가 변 AB, BC, CD... 위를 움직일 때마다 넓이를 구하는 방식이 달라지므로, 구간별로 정의되는 조각 함수(piecewise function)로 f(x)를 설정해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 f(a)=b로 치환한 뒤, f(b)=9/32를 만족하는 b값을 먼저 찾는 것입니다. 기하학적 상황을 함수로 변환하는 능력이 핵심입니다.
  

• 27번

  — 원의 평행이동과 직선에 동시에 접하는 상황을 다루는 문제입니다. 두 가지 핵심 조건을 정확히 수식으로 옮기는 것이 관건이죠. (가) 조건 '원 C'이 원 C의 중심을 지난다'는 것은 두 원의 중심 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 의미입니다. (나) 조건 '직선이 두 원에 모두 접한다'는 것은 각 원의 중심에서 직선까지의 거리가 모두 반지름 r과 같다는 것을 의미합니다. 많은 학생들이 (가) 조건을 a=1, b=0으로 오해하거나, 점과 직선 사이의 거리 공식 계산에서 실수를 범하는 경향이 있습니다. 두 조건을 연립하여 미지수 a, b, r을 구하는 체계적인 접근이 필요합니다.
  

• 28번

  — 정삼각형과 정사각형에 숫자를 배열하는 경우의 수 문제로, 여러 제약 조건을 동시에 만족시켜야 합니다. 이 문제의 함정은 (나) 조건, 즉 '변을 공유하는 두 정사각형의 수는 다르다'를 어떻게 처리할지 막막해하는 것입니다. 해결의 실마리는 가장 강력한 제약 조건을 가진 정삼각형에 들어갈 숫자를 기준으로 삼는 것입니다. 정삼각형의 숫자를 k라고 가정하면, (가) 조건에 의해 세 정사각형에는 1부터 k-1까지의 숫자만 들어갈 수 있습니다. 이후 (나) 조건을 적용하여 k-1개의 숫자 중 3개를 뽑아 배열(순열)하는 경우의 수를 계산하고, 가능한 모든 k에 대해 합산하면 정답에 도달할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 최고차항 계수가 양수인 두 다항식 f(x), g(x)의 관계를 추론하는 고난도 문항입니다. (가) 조건에서 나머지가 {g(x)}² - x²으로 주어진 것이 매우 생소하게 느껴질 수 있습니다. 여기서 가장 결정적인 아이디어는 '나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 반드시 작아야 한다'는 대원칙을 적용하는 것입니다. 즉, deg({g(x)}² - x²) < deg(x² + g(x)) 라는 부등식을 통해 g(x)의 차수를 확정해야 합니다. (나) 조건 'f(x)는 g(x)로 나누어떨어진다'는 f(x)와 g(x) 사이의 관계를 최종적으로 결정짓는 강력한 힌트이므로, (가) 식을 변형하여 g(x)가 어떤 식의 약수가 되어야 하는지를 추론하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 30번

  — 두 이차함수 f(x), g(x)의 근의 집합에 대한 조건을 해석하여 함수를 추론하는 최고난도 킬러 문항입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 A={α, β}가 f(x)-1=0의 근과 g(x)-1=0의 근을 합친 집합이라는 사실을 놓치는 것입니다. 원소의 개수가 2개뿐이라는 것은 f(x)-1=0과 g(x)-1=0이 중근을 갖거나 공통근을 갖는다는 의미입니다. 문제의 결정적 실마리는 f(x)-1 = 2(x-α)², g(x)-1 = (x-β)² (또는 그 반대)와 같이 식을 구체적으로 설정하고, B={α, β+3}가 f(x)=g(x)의 근이라는 조건을 이용해 α와 β의 관계를 밝혀내는 것입니다. 각 조건이 함수의 그래프와 방정식의 근에 대해 무엇을 의미하는지 정확히 번역하는 능력이 요구됩니다.