수학ETF	2022_고2_6월	기출문제
	1~30

[eqn: root {4} of {3} times root {4} of {27}] 의 값은?

③

거듭제곱근의 성질에 의해

[eqn: root {4} of {3} times root {4} of {27} = root {4} of {3 times 27}][eqn: = root {4} of {81}][eqn: = root {4} of {3^{4}}][eqn: = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt{3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: log_{3}36 - log_{3}4]의 값은?

②

로그의 성질에서 [eqn: log_{a}x - log_{a}y = log_{a} left ( {x} over {y} right )]이므로

[eqn: log_{3}36 - log_{3}4 = log_{3} left ( {36} over {4} right )][eqn: = log_{3}9][eqn: = log_{3}3^{2}][eqn: = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 호의 길이가 [eqn: 4pi]인 부채꼴의 중심각의 크기는?

④

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l], 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: r = 6], [eqn: l = 4pi]이므로

부채꼴의 호의 길이 공식 [eqn: l = r theta]에서

[eqn: 4pi = 6 times theta], [eqn: theta = {4pi} over {6} = {2} over {3} pi]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {3}]	③ [eqn: {pi} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

[eqn: {pi} over {2} < x < {3} over {2} pi]일 때, 방정식 [eqn: tan x = 1]의 해는?

④

방정식 [eqn: tan x = 1]의 해는 함수 [eqn: y = tan x]의 그래프와 직선 [eqn: y = 1]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같으므로

[eqn: 0 < x < {pi} over {2}]에서 [eqn: tan x = 1]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: {pi} over {4}]이고

함수 [eqn: y = tan x]의 주기는 [eqn: pi]이므로 [eqn: n]을 정수라 하면

[eqn: x = {pi} over {4} + n pi]

주어진 범위가 [eqn: {pi} over {2} < x < {3} over {2} pi]이므로 [eqn: n = 1]에서

[eqn: x = {pi} over {4} + pi = {5} over {4} pi]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: {3} over {4} pi]	③ [eqn: {5} over {6} pi]

④ [eqn: {5} over {4} pi]	⑤ [eqn: {4} over {3} pi]

다음은 상용로그표의 일부이다.

[eqn: log 517]의 값을 위의 표를 이용하여 구한 것은?

⑤

상용로그표에서 행 [eqn: 5.1]과 열 [eqn: 7]이 만나는 곳의 수가 [eqn: .7135]이므로

[eqn: log 5.17 = 0.7135]

구하고자 하는 값은 [eqn: log 517]이므로 로그의 성질을 이용하여 식을 변형하면

[eqn: log 517 = log (5.17 times 10^{2})], [eqn: log 517 = log 5.17 + log 10^{2}]

[eqn: log 517 = 0.7135 + 2] ∴ [eqn: log 517 = 2.7135]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 0.7126]	② [eqn: 1.7042]	③ [eqn: 1.7135]

④ [eqn: 2.7042]	⑤ [eqn: 2.7135]

[eqn: -3 leq x leq -1]에서 함수 [eqn: f(x)=2^{-x}+5]의 최솟값은?

②

함수 [eqn: f(x) = 2^{-x} + 5 = left ( {1} over {2} right )^{x} + 5]에서 밑이 [eqn: {1} over {2}]이고 [eqn: 0 < {1} over {2} < 1]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값은 감소하는 감소함수이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]가 최대일 때 최솟값을 가진다.

주어진 범위 [eqn: -3 leq x leq -1]에서 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: -1]이므로

[eqn: x = -1]일 때 최솟값은 [eqn: f(-1) = 2^{-(-1)} + 5 = 2 + 5 = 7]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=log_{3}x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: (5,`a)]를 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

함수 [eqn: y = log_{3}x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 그래프의 식은

[eqn: y = log_{3}(x - 2) + 5]

이 그래프가 점 [eqn: (5,`a)]를 지나므로

[eqn: a = log_{3}(5 - 2) + 5], [eqn: a = log_{3}3 + 5]

[eqn: log_{3}3 = 1]이므로 [eqn: a = 1 + 5 = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos theta = - {2} over {3}]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

⑤

삼각함수의 성질 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에서

[eqn: sin^{2} theta + left ( - {2} over {3} right )^{2} = 1], [eqn: sin^{2} theta + {4} over {9} = 1], [eqn: sin^{2} theta = {5} over {9}]

이때 [eqn: {pi} over {2} < theta < pi]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이다.

제[eqn: 2]사분면에서 [eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {sqrt{5}} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt{2}} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt{5}} over {3}]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y=3^{x}+a]의 그래프가 점 [eqn: (2,`b)]를 지나고 점근선이 직선 [eqn: y=5]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

⑤

함수 [eqn: y = 3^{x} + a]의 점근선은 직선 [eqn: y = a]이다.

주어진 점근선이 직선 [eqn: y = 5]이므로 [eqn: a = 5]

따라서 함수식은 [eqn: y = 3^{x} + 5]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: (2,`b)]를 지나므로

[eqn: b = 3^{2} + 5 = 9 + 5 = 14] ∴ [eqn: a + b = 5 + 14 = 19]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a cos bx+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a times b times c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

③

함수 [eqn: y=a`cos`bx+c]의 최댓값이 [eqn: 1], 최솟값이 [eqn: -3]이고 [eqn: a > 0]이므로

[eqn: a + c = 1] ……① [eqn: -a + c = -3] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2c = -2]에서 [eqn: c = -1]

[eqn: a - 1 = 1]에서 [eqn: a = 2]

그래프에서 [eqn: x = 0]일 때 최댓값 [eqn: 1]을 가지고, [eqn: x = {2} over {3} pi]일 때 다시 최댓값 [eqn: 1]을 가지므로 함수의 주기는 [eqn: {2} over {3} pi]이다.

[eqn: b > 0]이므로 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]에서 [eqn: {2 pi} over {b} = {2} over {3} pi] ∴ [eqn: b = 3]

따라서 [eqn: a times b times c = 2 times 3 times (-1) = -6]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: 81]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: log_{9}a]의 값은?

④

[eqn: 81]의 세제곱근 중 실수인 것이 [eqn: a]이므로 [eqn: a^{3} = 81]

[eqn: 81 = 3^{4}]이므로 [eqn: a = (3^{4})^{{1} over {3}} = 3^{{4} over {3}}]

구하고자 하는 값은 [eqn: log_{9}a]이므로 [eqn: log_{9}a = log_{3^{2}} 3^{{4} over {3}}]

로그의 성질에 의해 [eqn: log _{3 ^{2}} 3 ^{{4} over {3}} = {1} over {2} TIMES {4} over {3} `log _{3} 3= {2} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

부등식
[eqn: log_{3}(x+5) < 8log_{9}2]
를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 최댓값과 최솟값의 합은?

①

진수의 조건에서 [eqn: x+5 > 0]이므로 [eqn: x > -5] ……①

주어진 부등식에서

[eqn: 8log _{9} 2=8log _{3 ^{2}} 2=8 TIMES {1} over {2} `log _{3} 2=4log _{3} 2=log _{3} 2 ^{4} =log _{3} 16]이므로 [eqn: log_{3}(x+5) < log_{3}16]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x+5 < 16], [eqn: x < 11] ……②

①, ②에서 [eqn: -5 < x < 11]

따라서 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -4, -3, -2, cdots, 10]이다.

정수 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 10], 최솟값은 [eqn: -4]이므로 그 합은

[eqn: 10 + (-4) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

방정식 [eqn: 4^{x}-2^{x+3}+15=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta(alpha<beta)]라 할 때, [eqn: 2^{alpha} times beta]의 값은?

③

방정식 [eqn: 4^{x}-2^{x+3}+15=0]에서

[eqn: (2^{x})^{2}-8 times 2^{x}+15=0]

[eqn: 2^{x}=t] ([eqn: t>0])라 하면

[eqn: t^{2}-8t+15=0], [eqn: (t-3)(t-5)=0]

∴ [eqn: t=3] 또는 [eqn: t=5]

[eqn: t=2^{x}]이므로 [eqn: 2^{x}=3] 또는 [eqn: 2^{x}=5]

로그의 정의에 의해 [eqn: x=log_{2}3] 또는 [eqn: x=log_{2}5]

두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha < beta]이므로

[eqn: alpha = log_{2}3], [eqn: beta = log_{2}5]

[eqn: 2^{alpha} = 2^{log_{2}3} = 3]이므로 [eqn: 2^{alpha} times beta = 3 times log_{2}5 = 3log_{2}5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2log_{2}3]	② [eqn: 3log_{2}3]	③ [eqn: 3log_{2}5]

④ [eqn: 4log_{2}5]	⑤ [eqn: 5log_{2}5]

함수 [eqn: y=3^{x}]의 그래프 위의 [eqn: x]좌표가 양수인 점 [eqn: rmA]와 함수 [eqn: y=left ( {1} over {3} right )^{x}-6]의 그래프 위의 점 [eqn: rmB]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (0,`2)]일 때, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표는?

③

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a] ([eqn: a > 0])라 하면 점 [eqn: rmA]는 함수 [eqn: y=3^{x}]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: rm A(ita,`3 ^{a} )]이다.

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하면 점 [eqn: rmB]는 함수 [eqn: y=left ( {1} over {3} right )^{x}-6]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: rm B LEFT ( itb,` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{b} -6 RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (0, 2)]이므로

[eqn: x]좌표에 대하여 [eqn: {a+b} over {2} = 0]에서 [eqn: b = -a] ……①

[eqn: y]좌표에 대하여 [eqn: {3^{a} + left ( {1} over {3} right )^{b} - 6} over {2} = 2]에서 [eqn: 3^{a} + 3^{-b} - 6 = 4]

∴ [eqn: 3^{a} + 3^{-b} = 10] ……②

①을 ②에 대입하면

[eqn: 3^{a} + 3^{-(-a)} = 10], [eqn: 3^{a} + 3^{a} = 10], [eqn: 2 times 3^{a} = 10] ∴ [eqn: 3^{a} = 5]

점 [eqn: A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3^{a}]이므로 [eqn: 5]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

좌표평면 위의 원점 [eqn: rmO]에서 [eqn: x]축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rm P(5,it`a)]를 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta], 선분 [eqn: rmOP]의 길이를 [eqn: r]라 하자. [eqn: sin theta + 2 cos theta = 1]일 때, [eqn: a+r]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

점 [eqn: rm P(it5,`a)]에 대하여 선분 [eqn: rmOP]의 길이 [eqn: r]는 [eqn: r = sqrt{5^{2} + a^{2}}]

삼각함수의 정의에 의해 [eqn: sin theta = {a} over {r}], [eqn: cos theta = {5} over {r}]

주어진 조건 [eqn: sin theta + 2 cos theta = 1]에 대입하면

[eqn: {a} over {r} + 2 times {5} over {r} = 1], [eqn: {a+10} over {r} = 1] ∴ [eqn: r = a+10]

[eqn: r = sqrt{25+a^{2}}]이므로 [eqn: sqrt{25+a^{2}} = a+10]

양변을 제곱하면 [eqn: 25+a^{2} = (a+10)^{2}]

[eqn: 25+a^{2} = a^{2}+20a+100], [eqn: 20a = -75] ∴ [eqn: a = - {15} over {4}]

[eqn: r = a+10]이므로 [eqn: r = - {15} over {4} + 10 = {25} over {4}]

따라서 [eqn: a+r]의 값은 [eqn: a+r = - {15} over {4} + {25} over {4} = {10} over {4} = {5} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]를 [eqn: rmoverline{AC}=1]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmOC] 위의 점 [eqn: rmO]가 아닌 점 [eqn: rmD]에 대하여 삼각형 [eqn: rmBOD]의 넓이가 [eqn: {7} over {6}]일 때, 선분 [eqn: rmOD]의 길이는?

③

부채꼴 [eqn: rmOAB]의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 [eqn: rmoverline{OA} = overline{OC} = 2]이고 [eqn: rmoverline{AC} = 1]이므로 삼각형 [eqn: rmOAC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmcos ( angle AOC ) = {2^{2} + 2^{2} - 1^{2}} over {2 times 2 times 2} = {7} over {8}]

부채꼴 [eqn: rmOAB]의 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]이므로 [eqn: rmangle AOB = {pi} over {2}]에서

[eqn: rmangle BOD = angle BOC = {pi} over {2} - angle AOC]이므로

[eqn: rm sin( ANGLE BOD)=sin LEFT ( {pi } over {2} - ANGLE rm AOC RIGHT ) =cos( ANGLE rmAOC)= {7} over {8}]

삼각형 [eqn: rmBOD]의 넓이가 [eqn: {7} over {6}]이고 [eqn: rmoverline{OB} = 2]이므로

[eqn: rm {1} over {2} TIMES {bar{OB}} TIMES {bar{OD}} TIMES sin( ANGLE rmBOD)= {7} over {6}]

[eqn: rm{1} over {2} times 2 times overline{OD} times {7} over {8} = {7} over {6}], [eqn: rm{7} over {8} times overline{OD} = {7} over {6}]

∴ [eqn: rmoverline{OD} = {4} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {31} over {24}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {17} over {12}]

[eqn: 0 < t < 1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 함수 [eqn: y= left | 2^{x}-1 right |]의 그래프와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA], 제[eqn: 2]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 함수 [eqn: y=-a left | 2^{x}-1 right |]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}=overline{AC}=1]일 때, [eqn: a+t]의 값은?

②

점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면의 점이므로 [eqn: x > 0]이고 [eqn: 2^{x}-1 > 0]이다.

[eqn: 2^{x}-1 = t]에서 [eqn: 2^{x} = t+1]이므로 [eqn: x = log_{2}(t+1)]

∴ [eqn: rmA(it`log _{2} (t+1),`t)]

점 [eqn: rmB]는 제[eqn: 2]사분면의 점이므로 [eqn: x < 0]이고 [eqn: 2^{x}-1 < 0]이다.

[eqn: -(2^{x}-1) = t]에서 [eqn: 2^{x} = 1-t]이므로 [eqn: x = log_{2}(1-t)]

∴ [eqn: rmB`it(log _{2} (1-t),t)]

[eqn: rmoverline{AB} = 1]이므로 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표에서 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 뺀 값은 [eqn: 1]이다.

[eqn: log_{2}(t+1) - log_{2}(1-t) = 1], [eqn: log_{2} {t+1} over {1-t} = 1], [eqn: {t+1} over {1-t} = 2]

[eqn: t+1 = 2-2t]에서 [eqn: 3t = 1] ∴ [eqn: t = {1} over {3}]

[eqn: t = {1} over {3}]을 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표에 대입하면 [eqn: x = log_{2} left ( {1} over {3} + 1 right ) = log_{2} left ( {4} over {3} right )]이다.

점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선 위에 있으므로 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: log_{2} left ( {4} over {3} right )]이다.

점 [eqn: rmC]는 제[eqn: 4]사분면의 점이므로 [eqn: x > 0]이고 [eqn: 2^{x}-1 > 0]이다.

[eqn: x = log_{2} left ( {4} over {3} right )]을 [eqn: y = -a left | 2^{x}-1 right |]에 대입하면

[eqn: y = -a left ( 2^{log_{2} left ( {4} over {3} right )} - 1 right ) = -a left ( {4} over {3} - 1 right ) = -{a} over {3}]

∴ [eqn: rm C LEFT ( it `log _{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ,`- {a} over {3} RIGHT )]

[eqn: rmoverline{AC} = 1]이므로 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표에서 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표를 뺀 값은 [eqn: 1]이다.

[eqn: t - left ( -{a} over {3} right ) = 1], [eqn: {1} over {3} + {a} over {3} = 1], [eqn: 1+a = 3] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: a+t = 2 + {1} over {3} = {7} over {3}]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -{pi} over {2n} < x < {pi} over {2n}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=3sin2nx]가 있다. 원점 [eqn: rmrmO]를 지나고 기울기가 양수인 직선과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만날 때, 점 [eqn: rm C` it LEFT ( {pi } over {2n} ,`0 RIGHT )]에 대하여 넓이가 [eqn: {pi} over {12}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 존재하도록 하는 [eqn: n]의 최댓값은?

④

함수 [eqn: f(x)=3sin`2nx]의 그래프와 원점을 지나는 직선은 모두 원점에 대하여 대칭이다.

따라서 두 그래프의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 원점에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: rmA]를 제[eqn: 1]사분면 위의 점이라 하면 [eqn: rmA(itx _{1} ,3sin2nx _{1} )] [eqn: LEFT ( 0<x _{1} < {pi } over {2n} RIGHT )]로 놓을 수 있고, [eqn: rm B(` it -x _{1} ,`-3sin2nx _{1} )]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점이 원점 [eqn: rmO]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAOC]의 넓이의 [eqn: 2]배이다.

점 [eqn: rmC LEFT ( it {pi } over {2n} ,0 RIGHT )]에서 선분 [eqn: rmOC]의 길이는 [eqn: {pi} over {2n}]이고, 삼각형 [eqn: rmAOC]의 높이는 [eqn: 3sin`2nx _{1}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {pi } over {2n} TIMES 3sin`2nx _{1} RIGHT ) = {3 pi } over {2n} `sin`2nx _{1}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: {pi} over {12}]이므로 [eqn: {3 pi } over {2n} `sin`2nx _{1} = {pi } over {12}]

∴ [eqn: sin`2nx _{1} = {n} over {18}] ……①

[eqn: 0 < x_{1} < {pi} over {2n}]에서 [eqn: 0 < 2nx_{1} < pi]이므로 [eqn: 0 < sin2nx_{1} leq 1]이다.

①에 의해 [eqn: 0 < {n} over {18} leq 1]이다. ∴ [eqn: 0 < n leq 18]

이를 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 18]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmA]에 가까운 점을 [eqn: rmC]라 하고, 직선 [eqn: rmOA]와 직선 [eqn: rmBC]가 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 다음은 두 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmCD]와 호 [eqn: rmAC]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S(theta)]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: 0 < theta < {3} over {4} pi])

점 [eqn: rmC]가 호 [eqn: rmAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmA]에 가까운 점이므로

[eqn: rm ANGLE BOC= {BOX{```(가)```}}]

이다. 또한, 삼각형 [eqn: rmBOC]에서

[eqn: rm ANGLE OBC= ANGLE OCB= {1} over {2} ( pi - {BOX{```(가)```}} )]

이다. 한편, 삼각형 [eqn: rmBOD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{OD}} = {cos {theta } over {3}} over {{BOX{```(나)```}}}]

이다. [eqn: S(theta)]는 삼각형 [eqn: rmCOD]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: rmOAC]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES {cos {theta } over {3}} over {(나)} TIMES sin {theta } over {3} - {BOX{```(다)```}}] 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(theta)], [eqn: g(theta)], [eqn: h(theta)]라 할 때, [eqn: {f left ( {pi} over {2} right ) times g left ( {pi} over {4} right )} over {h left ( {pi} over {8} right )}]의 값은?

①

점 [eqn: rmC]가 호 [eqn: rmAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmA]에 가까운 점이므로 호 [eqn: rmAC]의 길이는 호 [eqn: rmAB]의 길이의 [eqn: {1} over {3}]이다.

중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로

[eqn: rmangle AOC = {1} over {3} theta], [eqn: rmangle BOC = {2} over {3} theta] ∴ [eqn: f(theta) = {2} over {3} theta]

삼각형 [eqn: rmBOC]는 [eqn: rmbar{OB} = bar{OC} = 1]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rmangle OBC = angle OCB = {1} over {2} ( pi - angle BOC ) = {1} over {2} left ( pi - {2} over {3} theta right ) = {pi} over {2} - {theta} over {3}]

삼각형 [eqn: rmBOD]에서 [eqn: rmangle BOD = theta]이고 [eqn: rmangle OBD = {pi} over {2} - {theta} over {3}]이므로

[eqn: rmangle BDO = pi - ( angle BOD + angle OBD ) = pi - left ( theta + {pi} over {2} - {theta} over {3} right ) = {pi} over {2} - {2} over {3} theta]

삼각형 [eqn: rmBOD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: rm {{bar{rmOD}}} over {sin( ANGLE rmOBD)} = {{bar{rmOB}}} over {sin( ANGLE rmBDO)}]

[eqn: {{bar{rmOD}}} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - {theta } over {3} RIGHT )} = {1} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - {2} over {3} theta RIGHT )}]

[eqn: sin left ( {pi} over {2} - {theta} over {3} right ) = cos {theta} over {3}]이고 [eqn: sin left ( {pi} over {2} - {2} over {3} theta right ) = cos {2} over {3} theta]이므로

[eqn: {bar{rmOD}} = {cos {theta } over {3}} over {cos {2} over {3} theta }] ∴ [eqn: g(theta) = cos {2} over {3} theta]

[eqn: S(theta)]는 삼각형 [eqn: rmCOD]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: rmOAC]의 넓이를 뺀 값이다.

삼각형 [eqn: rmCOD]의 넓이는 [eqn: rm {1} over {2} TIMES {bar{OC}} TIMES {bar{OD}} TIMES sin( ANGLE rmCOD)= {1} over {2} TIMES 1 TIMES {cos {theta } over {3}} over {cos {2} over {3} theta } TIMES sin {theta } over {3}]

부채꼴 [eqn: rmOAC]의 넓이는 [eqn: rm{1} over {2} times 1^{2} times angle AOC = {1} over {2} times {theta} over {3} = {theta} over {6}]

따라서 [eqn: S(theta) = {1} over {2} times {cos {theta} over {3}} over {cos {2} over {3} theta} times sin {theta} over {3} - {theta} over {6}] ∴ [eqn: h(theta) = {theta} over {6}]

구하고자 하는 값은 [eqn: {f left ( {pi} over {2} right ) times g left ( {pi} over {4} right )} over {h left ( {pi} over {8} right )}]이다.

[eqn: f left ( {pi} over {2} right ) = {2} over {3} times {pi} over {2} = {pi} over {3}]

[eqn: g left ( {pi} over {4} right ) = cos left ( {2} over {3} times {pi} over {4} right ) = cos {pi} over {6} = {sqrt{3}} over {2}]

[eqn: h left ( {pi} over {8} right ) = {1} over {6} times {pi} over {8} = {pi} over {48}]

따라서 [eqn: {f left ( {pi} over {2} right ) times g left ( {pi} over {4} right )} over {h left ( {pi} over {8} right )} = { {pi} over {3} times {sqrt{3}} over {2} } over { {pi} over {48} } = { {sqrt{3} pi} over {6} } over { {pi} over {48} } = {sqrt{3} pi} over {6} times {48} over {pi} = 8 sqrt{3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 8 sqrt{3}]	② [eqn: {17 sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: 9 sqrt{3}]

④ [eqn: {19 sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: 10 sqrt{3}]

[eqn: 1 < a < 4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{a} `x]의 그래프와 함수 [eqn: y = {1} over {x}]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA(itp,`q)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: pq = 1] ㄴ. [eqn: a = 2]일 때, [eqn: p > sqrt{2}]이다. ㄷ. 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: B(p+q, 0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이를 [eqn: S(p)]라 할 때, [eqn: S(p) < {a+1} over {2a}]이다.

⑤

점 [eqn: rmA LEFT ( itp,`q RIGHT )]는 두 함수 [eqn: y = log_{a}x]와 [eqn: y = {1} over {x}]의 그래프의 교점이므로 [eqn: q = log_{a}p], [eqn: q = {1} over {p}]

또한 두 그래프는 [eqn: x > 1]에서 만나므로 [eqn: p > 1], [eqn: q > 0]이다.

[ㄱ]

[eqn: q = {1} over {p}]에서 양변에 [eqn: p]를 곱하면 [eqn: pq = 1]

따라서 ㄱ은 참이다.

[ㄴ]

[eqn: a = 2]일 때, 두 함수 [eqn: f(x) = log_{2}x], [eqn: g(x) = {1} over {x}]라 하면

[eqn: x > 0]에서 [eqn: f(x)]는 증가함수이고 [eqn: g(x)]는 감소함수이다.

[eqn: x = sqrt{2}]일 때 함숫값을 비교하면

[eqn: f(sqrt{2}) = log_{2}sqrt{2} = {1} over {2}]

[eqn: g(sqrt{2}) = {1} over {sqrt{2}} = {sqrt{2}} over {2}]

[eqn: {1} over {2} < {sqrt{2}} over {2}]이므로 [eqn: f(sqrt{2}) < g(sqrt{2})]

두 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: p]이므로 [eqn: p > sqrt{2}]

따라서 ㄴ은 참이다.

[ㄷ]

삼각형 [eqn: rmAOB]의 밑변의 길이는 [eqn: p+q]이고 높이는 [eqn: q]이므로 넓이 [eqn: S(p)]는

[eqn: S(p) = {1} over {2} times (p+q) times q = {1} over {2} (pq + q^{2})]

ㄱ에서 [eqn: pq = 1]이므로 [eqn: S(p) = {1} over {2} (1 + q^{2})]

[eqn: q = log_{a}p]이고 [eqn: p = {1} over {q}]이므로 [eqn: q = log_{a} left ( {1} over {q} right ) = -log_{a}q]

즉, [eqn: a^{q} = {1} over {q}]

두 함수 [eqn: y = a^{x}]와 [eqn: y = {1} over {x}]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: q]이다.

[eqn: x > 0]에서 함수 [eqn: y = a^{x}]는 증가함수이고 [eqn: y = {1} over {x}]는 감소함수이다.

[eqn: x = {1} over {sqrt{a}}]일 때 두 함수의 함숫값을 비교하면

[eqn: y = a^{x}]의 함숫값은 [eqn: a^{ {1} over {sqrt{a}} }]

[eqn: y = {1} over {x}]의 함숫값은 [eqn: sqrt{a} = a^{ {1} over {2} }]

조건에서 [eqn: 1 < a < 4]이므로 [eqn: 1 < sqrt{a} < 2]에서 [eqn: {1} over {2} < {1} over {sqrt{a}} < 1]

밑 [eqn: a > 1]이므로 [eqn: a^{ {1} over {2} } < a^{ {1} over {sqrt{a}} }]

즉, [eqn: x = {1} over {sqrt{a}}]일 때 [eqn: a^{x} > {1} over {x}]

따라서 두 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표 [eqn: q]는 [eqn: {1} over {sqrt{a}}]보다 작으므로 [eqn: q < {1} over {sqrt{a}}]

[eqn: q > 0]이므로 양변을 제곱하면 [eqn: q^{2} < {1} over {a}]

[eqn: S(p) = {1} over {2} (1 + q^{2}) < {1} over {2} left ( 1 + {1} over {a} right ) = {a+1} over {2a}]

따라서 ㄷ은 참이다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: k(1<k<12)]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 12]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {2} `sin`pi`x&``` LEFT ( 0 LEQ x<k RIGHT )#LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x-k} -1&``` LEFT ( k LEQ x LEQ 12 RIGHT )}}]
라 하자. 실수 [eqn: a][eqn: LEFT ( 0<a LEQ {1} over {2} RIGHT )]에 대하여 방정식
[eqn: f(x) + a = 0]
의 모든 실근의 합이 [eqn: 46]일 때, [eqn: {k} over {a}]의 값은?

②

방정식 [eqn: f(x) + a = 0]은 [eqn: f(x) = -a]와 같다.

[eqn: 0 leq x < k]에서 [eqn: f(x)= {1} over {2} `sin` pi x]이다.

함수 [eqn: y= {1} over {2} `sin` pi x]는 주기가 [eqn: 2]이고, [eqn: 0 < a leq {1} over {2}]이므로 [eqn: - {1} over {2} leq -a < 0]이다.

[eqn: 0 leq x < 2]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} `sin` pi x=-a]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 하면 삼각함수 그래프의 대칭성에 의해 [eqn: alpha + beta = 3]이다.

일반적으로 [eqn: 2m leq x < 2m+2] (단, [eqn: m]은 음이 아닌 정수)에서 두 실근의 합은 [eqn: (2m + alpha) + (2m + beta) = 4m + 3]이다.

[eqn: k leq x leq 12]에서 [eqn: f(x) = left ( {2} over {3} right )^{x-k} - 1]이다.

방정식 [eqn: left ( {2} over {3} right )^{x-k} - 1 = -a]에서 [eqn: left ( {2} over {3} right )^{x-k} = 1 - a]이다.

[eqn: 0 < a leq {1} over {2}]이므로 [eqn: {1} over {2} leq 1 - a < 1]이고, 이를 만족하는 실근을 [eqn: x_{r}]이라 하면 [eqn: x_{r} > k]이다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 leq x < k]에서 발생하는 모든 실근의 합을 [eqn: S_{k}]라 하자.

(ⅰ) [eqn: k = 8]일 때, [eqn: 0 leq x < 8]에는 [eqn: 4]개의 주기가 포함되므로

[eqn: S_{8} = 3 + 7 + 11 + 15 = 36]이다.

모든 실근의 합이 [eqn: 46]이므로 [eqn: x_{r} = 46 - 36 = 10]이다.

[eqn: x_{r} = 10]을 지수함수 식에 대입하면 [eqn: left ( {2} over {3} right )^{10-8} = 1 - a]에서 [eqn: a = {5} over {9}]이다.

이는 [eqn: 0 < a leq {1} over {2}] 조건을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k = 9]일 때, [eqn: 8 leq x < 9]에서 [eqn: sin` pi x GEQ 0]이므로 추가적인 음수 근이 존재하지 않는다.

∴ [eqn: S_{9} = S_{8} = 36]

모든 실근의 합이 [eqn: 46]이므로 [eqn: x_{r} = 46 - 36 = 10]이다.

[eqn: x_{r} = 10]을 지수함수 식에 대입하면 [eqn: left ( {2} over {3} right )^{10-9} = 1 - a]에서 [eqn: a = {1} over {3}]이다.

이는 [eqn: 0 < a leq {1} over {2}] 조건을 만족한다.

(ⅲ) [eqn: k leq 7]일 때, [eqn: S_{k} leq 21]이므로 [eqn: x_{r} geq 25]가 되어 [eqn: x leq 12] 조건을 만족하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: k geq 10]일 때, [eqn: S_{k} geq 55]가 되어 모든 실근의 합이 [eqn: 46]이라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: k = 9], [eqn: a = {1} over {3}]이다.

∴ [eqn: {k} over {a} = {9} over {{1} over {3}} = 27]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

[eqn: 4^{{3} over {2}} times 2^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: 4 = 2^{2}]이므로 [eqn: 4^{{3} over {2}} = (2^{2})^{{3} over {2}} = 2^{3}]

주어진 식에 대입하면 [eqn: 4^{{3} over {2}} times 2^{2} = 2^{3} times 2^{2}]

지수법칙에 의해 [eqn: 2^{3} times 2^{2} = 2^{3+2} = 2^{5} = 32]

따라서 정답은 [eqn: 32]이다.

방정식 [eqn: log_{5}(x+1)=2]의 해를 구하시오.

[eqn: 24]

로그의 정의에 의해 [eqn: x+1 = 5^{2}], [eqn: x+1 = 25], [eqn: x = 24]

이때 진수 조건에서 [eqn: x+1 > 0]이므로 [eqn: x > -1]이다.

따라서 [eqn: x = 24]는 진수 조건을 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

부등식 [eqn: left ( {1} over {5} right )^{x-1} leq 5^{7-2x}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[eqn: 6]

주어진 부등식의 밑을 [eqn: 5]로 통일하면

[eqn: left ( {1} over {5} right )^{x-1} = 5^{-(x-1)} = 5^{-x+1}]이므로 [eqn: 5^{-x+1} leq 5^{7-2x}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 지수의 부등호 방향은 그대로 유지된다.

[eqn: -x+1 leq 7-2x], [eqn: x leq 6]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1, 2, 3, 4, 5, 6]이다.

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

함수 [eqn: y=3`sin`(x+ pi )+k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {6} ,` {5} over {2} RIGHT )]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

함수 [eqn: y = 3sin(x+pi) + k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {6} ,` {5} over {2} RIGHT )]를 지나므로

[eqn: x = {pi} over {6}], [eqn: y = {5} over {2}]를 대입하면 [eqn: {5} over {2} = 3sin left ( {pi} over {6} + pi right ) + k]

이때 [eqn: sin(pi + theta) = -sin theta]이므로 [eqn: sin left ( {pi} over {6} + pi right ) = -sin left ( {pi} over {6} right ) = -{1} over {2}]

따라서 [eqn: {5} over {2} = 3 times left ( -{1} over {2} right ) + k], [eqn: {5} over {2} = -{3} over {2} + k], [eqn: k = {5} over {2} + {3} over {2} = 4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.

[eqn: 1]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: log _{16} `a= {1} over {log _{b} `4}], [eqn: log _{6} `ab=3]
이 성립할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[eqn: 42]

조건 [eqn: log_{16}a = {1} over {log_{b}4}]에서 밑의 변환 공식에 의해

[eqn: log_{16}a = log_{4}b], [eqn: log_{4^{2}}a = log_{4}b], [eqn: {1} over {2} log_{4}a = log_{4}b], [eqn: log_{4}a^{ {1} over {2} } = log_{4}b]

∴ [eqn: a^{ {1} over {2} } = b]

양변을 제곱하면 [eqn: a = b^{2}] ……①

조건 [eqn: log_{6}ab = 3]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: ab = 6^{3} = 216] ……②

①을 ②에 대입하면

[eqn: b^{2} times b = 216], [eqn: b^{3} = 6^{3}]

[eqn: b]는 실수이므로 [eqn: b = 6]

①에 의해 [eqn: a = 6^{2} = 36]

[eqn: a > 1], [eqn: b > 1]이므로 조건을 만족한다.

∴ [eqn: a+b = 36 + 6 = 42]

따라서 정답은 [eqn: 42]이다.

[eqn: a>2]인 실수 [eqn: a]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: y=-x+5]가 세 곡선 [eqn: y=a^{x}], [eqn: y=log_{a}x], [eqn: y=log_{a}(x-1)-1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} : overline {BC} = 2 : 1]일 때, [eqn: 4a^{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 49]

함수 [eqn: y = a^{x}]와 [eqn: y = log_{a}x]는 역함수 관계이므로 두 그래프는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다.

직선 [eqn: y = -x+5]는 기울기가 [eqn: -1]이므로 두 곡선과의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (p, q)]라 하면 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (q, p)]이고, 두 점은 직선 [eqn: y = -x+5] 위의 점이므로

[eqn: p+q = 5] ……①

곡선 [eqn: y = log_{a}(x-1)-1]은 곡선 [eqn: y = log_{a}x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이다.

점 [eqn: rmB LEFT ( itq,`p RIGHT )]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rmB']이라 하면 [eqn: rmB' LEFT ( itq+1,`p-1 RIGHT )]이다.

이때 점 [eqn: rmB']의 좌표를 직선 [eqn: y = -x+5]에 대입하면

[eqn: p-1 = -(q+1)+5]에서 [eqn: p+q = 5]이므로 점 [eqn: rmB']은 직선 [eqn: y = -x+5] 위에 있다.

또한 점 [eqn: rmB']은 곡선 [eqn: y = log_{a}(x-1)-1] 위의 점이므로 점 [eqn: rmC]와 점 [eqn: rmB']은 일치한다.

∴ [eqn: rmC LEFT ( itq+1,`p-1 RIGHT )]

그래프에서 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmB]보다 왼쪽에 있으므로 [eqn: p < q]이다.

두 점 [eqn: rmB LEFT ( itq,`p RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( itq+1,`p-1 RIGHT )] 사이의 거리는

[eqn: {bar{rmBC}} = sqrt {(q+1-q) ^{2} +(p-1-p) ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rmoverline {AB} : overline {BC} = 2 : 1]이므로

[eqn: rmoverline {AB} = 2 overline {BC} = 2 sqrt{2}]

두 점 [eqn: rmA LEFT ( itp,`q RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itq,`p RIGHT )] 사이의 거리는

[eqn: {bar{rmAB}} = sqrt {(q-p) ^{2} +(p-q) ^{2}} = sqrt {2(q-p) ^{2}} = sqrt {2} (q-p)]

[eqn: sqrt{2}(q-p) = 2 sqrt{2}]에서 [eqn: q-p = 2] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: p = {3} over {2}], [eqn: q = {7} over {2}]

점 [eqn: rm A LEFT ( {3} over {2} ,` {7} over {2} RIGHT )]는 곡선 [eqn: y = a^{x}] 위의 점이므로 [eqn: a^{ {3} over {2} } = {7} over {2}]

양변을 제곱하면 [eqn: a^{3} = {49} over {4}] ∴ [eqn: 4a^{3} = 4 times {49} over {4} = 49]

따라서 정답은 [eqn: 49]이다.

[eqn: rmangle ABC = {pi} over {3}], [eqn: rmoverline{BC} = 6]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]가 아닌 점 [eqn: rmD]를 잡고, 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{1}], 삼각형 [eqn: rmACD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{2}]라 하자. [eqn: {r_{2}} over {r_{1}} = {sqrt{13}} over {3}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

[eqn: rmangle ADB = theta]라 하면 [eqn: rmangle ADC = pi - theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {{bar{rmAB}}} over {sin theta } =2r _{1}] ……①

삼각형 [eqn: rmACD]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {{bar{rmAC}}} over {sin( pi - theta )} =2r _{2}] ……②

[eqn: sin ( pi - theta ) = sin theta]이므로 ①, ②에서 [eqn: {{bar{rmAC}}} over {{bar{rmAB}}} = {2r _{2} sin theta } over {2r _{1} sin theta } = {r _{2}} over {r _{1}}]

주어진 조건에서 [eqn: {r_{2}} over {r_{1}} = {sqrt{13}} over {3}]이므로 [eqn: rmoverline{AC} = {sqrt{13}} over {3} overline{AB}]

[eqn: rm {bar{AB}} =itx]라 하면 [eqn: rm {bar{AC}} = {sqrt {13}} over {3} itx]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{BC}} TIMES cos LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: left ( {sqrt{13}} over {3} x right )^{2} = x^{2} + 6^{2} - 2 times x times 6 times {1} over {2}]

[eqn: {13} over {9} x^{2} = x^{2} + 36 - 6x], [eqn: {4} over {9} x^{2} + 6x - 36 = 0]

양변에 [eqn: {9} over {2}]를 곱하여 정리하면

[eqn: 2x^{2} + 27x - 162 = 0], [eqn: (2x - 9)(x + 18) = 0]

[eqn: x > 0]이므로 [eqn: x = {9} over {2}]

∴ [eqn: rmoverline{AB} = {9} over {2}]

[eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이므로 [eqn: p = 2], [eqn: q = 9]이고 [eqn: p + q = 11]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

자연수 [eqn: m(m geq 2)]에 대하여 집합 [eqn: A_{m}]을
[eqn: A_m =left{log_m x left| x는``100이하의``자연수right]
라 하고, 집합 [eqn: B]를
[eqn: B=left{2^k left|k는``10이하의``자연수right]
라 하자. 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: b]에 대하여 [eqn: n(A_{4} cap A_{b}) = 4]가 되도록 하는 모든 [eqn: b]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 72]

집합 [eqn: A_{4}]의 원소는 [eqn: log_{4} x] ([eqn: x]는 [eqn: 100] 이하의 자연수)이고, 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: b]는 [eqn: b = 2^{k}] ([eqn: k]는 [eqn: 10] 이하의 자연수)이다.

집합 [eqn: A_{b}]의 원소는 [eqn: log_{b} y] ([eqn: y]는 [eqn: 100] 이하의 자연수)라 하면

[eqn: A_{4} cap A_{b}]의 원소는 [eqn: log_{4} x = log_{b} y]를 만족하는 실수이다.

[eqn: log_{4} x = {1} over {2} log_{2} x]이고 [eqn: log _{b} y=log _{2 ^{k}} y= {1} over {k} `log _{2} y]이므로

[eqn: {1} over {2} `log _{2} x= {1} over {k} `log _{2} y]에서 [eqn: log_{2} x^{k} = log_{2} y^{2}]

∴ [eqn: x^{k} = y^{2}] ……①

이때 [eqn: x], [eqn: y]는 모두 [eqn: 100] 이하의 자연수이므로 [eqn: k]의 값에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k]가 짝수인 경우

[eqn: k = 2p] ([eqn: p]는 [eqn: 5] 이하의 자연수)라 하면 ①에서 [eqn: x^{2p} = y^{2}]이므로 [eqn: y = x^{p}]이다.

[eqn: y leq 100]에서 [eqn: x^{p} leq 100]을 만족하는 자연수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 4]가 되어야 하므로

[eqn: p = 1] ([eqn: k = 2])일 때, [eqn: x leq 100]이므로 [eqn: 100]개

[eqn: p = 2] ([eqn: k = 4])일 때, [eqn: x^{2} leq 100]이므로 [eqn: x = 1, 2, cdots, 10] ([eqn: 10]개)

[eqn: p = 3] ([eqn: k = 6])일 때, [eqn: x^{3} leq 100]이므로 [eqn: x = 1, 2, 3, 4] ([eqn: 4]개)

[eqn: p = 4] ([eqn: k = 8])일 때, [eqn: x^{4} leq 100]이므로 [eqn: x = 1, 2, 3] ([eqn: 3]개)

[eqn: p = 5] ([eqn: k = 10])일 때, [eqn: x^{5} leq 100]이므로 [eqn: x = 1, 2] ([eqn: 2]개)

따라서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 6]이고, 이때 [eqn: b = 2^{6} = 64]이다.

(ⅱ) [eqn: k]가 홀수인 경우

①에서 [eqn: y = x^{ {k} over {2} }]이고 [eqn: y]가 자연수이려면 [eqn: x]는 어떤 자연수의 제곱수이어야 하므로

[eqn: x = t^{2}] ([eqn: t]는 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하면 [eqn: y = left ( t^{2} right )^{ {k} over {2} } = t^{k}]이다.

[eqn: y leq 100]에서 [eqn: t^{k} leq 100]을 만족하는 자연수 [eqn: t]의 개수가 [eqn: 4]가 되어야 하므로

[eqn: k = 1]일 때, [eqn: t leq 100]이고 [eqn: t leq 10]이므로 [eqn: 10]개

[eqn: k = 3]일 때, [eqn: t^{3} leq 100]이므로 [eqn: t = 1, 2, 3, 4] ([eqn: 4]개)

[eqn: k = 5]일 때, [eqn: t^{5} leq 100]이므로 [eqn: t = 1, 2] ([eqn: 2]개)

[eqn: k = 7, 9]일 때, [eqn: t^{k} leq 100]이므로 [eqn: t = 1] ([eqn: 1]개)

따라서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]이고, 이때 [eqn: b = 2^{3} = 8]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 모든 [eqn: b]의 값은 [eqn: 8], [eqn: 64]이므로 그 합은 [eqn: 8 + 64 = 72]이다.

따라서 정답은 [eqn: 72]이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 두 함수
[eqn: f(x) = sin x], [eqn: g(x) = a cos x + b]
에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2pi]에서 정의된 함수
[eqn: h(x) = {|f(x) - g(x)| + f(x) + g(x)} over {2}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값은 [eqn: -{sqrt{3}} over {2}]이다.

(나) [eqn: 0 < c < {pi} over {2}]인 어떤 실수 [eqn: c]에 대하여
[eqn: h(c) = h(c + pi) = {1} over {2}]이다.

상수 [eqn: k left( k > {1} over {2} right)]에 대하여 방정식 [eqn: h(x) = k]가 서로 다른 세 실근을 가질 때, [eqn: a + 20 left( {k} over {b} right)^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 59]

주어진 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: f(x) geq g(x)]일 때 [eqn: h(x) = f(x)]이고, [eqn: f(x) < g(x)]일 때 [eqn: h(x) = g(x)]이므로 두 그래프 중 위쪽에 있는 부분을 따라가는 함수이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0 < c < {pi} over {2}]일 때 [eqn: h(c) = h(c + pi) = {1} over {2}]이다.

만약 [eqn: f(c) < {1} over {2}]라 하면 [eqn: g(c) = a cos c + b = {1} over {2}]이다.

이때 [eqn: f(c+pi) = sin(c+pi) = -sin c < 0]이므로 [eqn: h(c+pi) = g(c+pi) = -a cos c + b = {1} over {2}]이어야 한다.

두 식을 더하면 [eqn: 2b = 1]에서 [eqn: b = {1} over {2}]이고, [eqn: a cos c = 0]에서 [eqn: a = 0]이 되어 [eqn: g(x) = {1} over {2}]이다.

그러면 [eqn: h(x) geq {1} over {2}]가 되어 조건 (가)의 최솟값 [eqn: -{sqrt{3}} over {2}]에 모순이다.

따라서 [eqn: f(c) = sin c = {1} over {2}]이어야 하므로 [eqn: c = {pi} over {6}]이다.

[eqn: h(c+pi) = h left ( {7pi} over {6} right ) = {1} over {2}]에서 [eqn: f left ( {7pi} over {6} right ) = -{1} over {2}]이므로 [eqn: g left ( {7pi} over {6} right ) = {1} over {2}]이어야 한다.

[eqn: g left ( {7pi} over {6} right ) = a cos left ( {7pi} over {6} right ) + b = -{sqrt{3}} over {2} a + b = {1} over {2}] ……①

조건 (가)에서 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{sqrt{3}} over {2}]이므로, [eqn: sin x leq -{sqrt{3}} over {2}]인 [eqn: {4pi} over {3} LEQ x LEQ {5} over {3} pi]에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: -{sqrt{3}} over {2}]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a > 0]일 때, [eqn: g(x)]는 [eqn: {4pi} over {3} LEQ x LEQ {5} over {3} pi]에서 증가하므로 [eqn: x = {4pi} over {3}]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g left ( {4pi} over {3} right ) = -{1} over {2} a + b = -{sqrt{3}} over {2}] ……②

①, ②를 연립하면 [eqn: a = {sqrt{3}+1} over {1-sqrt{3}} < 0]이 되어 [eqn: a > 0]에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: a < 0]일 때, [eqn: g(x)]는 [eqn: {4pi} over {3} LEQ x LEQ {5} over {3} pi]에서 감소하므로 [eqn: x = {5pi} over {3}]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g left ( {5pi} over {3} right ) = {1} over {2} a + b = -{sqrt{3}} over {2}] ……③

①, ③을 연립하면 [eqn: {1+sqrt{3}} over {2} a = -{1+sqrt{3}} over {2}]이므로 [eqn: a = -1]이다.

[eqn: a = -1]을 ③에 대입하면 [eqn: b = {1-sqrt{3}} over {2}]이다.

이제 [eqn: g(x) = -cos x + {1-sqrt{3}} over {2}]이다.

[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 교점을 찾기 위해 [eqn: sin x = -cos x + {1-sqrt{3}} over {2}]를 확인하면 [eqn: x = {5pi} over {6}]에서 [eqn: f left ( {5pi} over {6} right ) = {1} over {2}], [eqn: g left ( {5pi} over {6} right ) = {sqrt{3}} over {2} + {1-sqrt{3}} over {2} = {1} over {2}]로 일치한다.

[eqn: 0 LEQ x LEQ {5} over {6} pi]에서 [eqn: h(x) = sin x]이고, 최댓값은 [eqn: x = {pi} over {2}]에서 [eqn: 1]이다.

[eqn: {5} over {6} pi LEQ x LEQ {7} over {6} pi]에서 [eqn: h(x) = -cos x + {1-sqrt{3}} over {2}]이고, 최댓값은 [eqn: x = pi]에서 [eqn: {3-sqrt{3}} over {2}]이다.

[eqn: y = k] [eqn: LEFT ( k> {1} over {2} RIGHT )]와의 교점 개수를 확인하면, [eqn: k = {3-sqrt{3}} over {2}]일 때 [eqn: f(x)] 쪽에서 [eqn: 2]개, [eqn: g(x)] 쪽에서 [eqn: 1]개(접점)를 가져 총 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

따라서 [eqn: k = {3-sqrt{3}} over {2}]이다.

[eqn: {k} over {b} = {{3-sqrt{3}} over {2}} over {{1-sqrt{3}} over {2}} = {-sqrt{3}(1-sqrt{3})} over {1-sqrt{3}} = -sqrt{3}]이다.

∴ [eqn: a + 20 left ( {k} over {b} right )^{2} = -1 + 20(-sqrt{3})^{2} = -1 + 60 = 59]

따라서 정답은 [eqn: 59]이다.