2021년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 21번 문항에서 일대일대응 조건과 격자점 개수 세기를 결합하여 학생들의 시간과 멘탈을 동시에 흔들었을 겁니다. 전반적으로 지수·로그·삼각함수의 그래프를 얼마나 깊이 있게 이해하고, 이를 기하학적 상황과 결합하여 해석할 수 있는지를 집중적으로 평가했습니다. 특히 16번, 29번처럼 그래프와 도형의 성질을 융합하는 문항은 수능에서도 고난도 문항으로 출제되는 단골 유형이므로, 단순히 공식만 암기하는 것이 아니라 그래프의 개형과 특징을 능동적으로 활용하는 훈련이 반드시 필요합니다. 계산 과정이 복잡한 문항보다는 개념의 연결고리를 파악하는 능력이 고득점의 관건이었던 시험입니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문항은 로그 함수의 그래프에서 y좌표의 의미를 이해하고, 삼각형 넓이의 비를 밑변의 비로 전환하는 능력을 평가합니다. 점 A, B, C의 좌표를 k와 a로 표현하는 것까지는 성공하지만, 삼각형 ACB와 BCD의 높이가 같다는 사실을 간과하여 넓이 비를 밑변의 길이 비(AB의 y좌표 : BC의 y좌표 차)로 바로 연결하지 못하고 복잡한 좌표 계산에 매몰되는 경우가 많습니다. 두 삼각형 ACB와 BCD는 밑변이 직선 x=k 위에 있으므로, x축에 평행한 선분을 높이로 생각할 수 있습니다. 하지만 더 간단한 접근은, 점 B를 지나 x축에 평행한 선을 그어 높이가 같은 두 삼각형으로 분리하여 넓이 비를 밑변의 길이 비로 해석하는 것입니다. 즉, S_ACB : S_BCD = AC : CD 라는 점을 이용하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 21번

  — 지수함수와 로그함수로 구성된 조각난 함수(piecewise function)가 실수 전체에서 '일대일 대응'이 될 조건을 파악하고, 주어진 부등식을 만족하는 정수 순서쌍의 개수를 세는 문제입니다. 일대일 대응이 되기 위해 단순히 경계점에서 함수값이 같아야 한다는 '연속' 조건만 생각하기 쉽습니다. 하지만 증가 또는 감소 상태가 유지되어야 한다는 '단조성' 조건까지 함께 고려해야 함을 놓치는 함정에 빠질 수 있습니다. 먼저 f(x)가 일대일 대응이 되기 위한 k의 조건을 찾으세요. (함수값 일치, 증가/감소 상태 유지) 그 후, g(x)의 그래프는 f(x) 그래프와 어떤 대칭 관계에 있는지 파악하고, -2 ≤ a ≤ 2 범위에서 a 값을 고정한 뒤 f(a) ≤ b ≤ g(a)를 만족하는 정수 b의 개수를 세는 전략이 유효합니다.
  

• 28번

  — 좌표평면 위 두 점의 외분점 공식, 로그함수 그래프 위의 점 조건, 그리고 부등식을 만족하는 정수 해의 합 조건을 모두 활용하는 복합적인 문제입니다. 외분점 좌표를 구하고 로그함수에 대입하여 a, b 사이의 관계식을 찾는 데까지는 성공하지만, 마지막 조건인 {n | b < 2^n × a ≤ 32b, n은 정수}의 해석에서 막히는 경우가 많습니다. 이 집합의 원소 n이 정수라는 점을 놓치고 부등식을 푸는 데만 집중하면 길을 잃기 쉽습니다. 부등식의 각 변을 a로 나누어 b/a < 2^n ≤ 32b/a 꼴로 변형하고, 로그를 취해 n의 범위를 구해보세요. n이 정수라는 조건과 모든 n의 합이 25라는 사실을 이용하면, n이 연속된 정수들의 합, 즉 등차수열의 합을 이룬다는 것을 파악할 수 있고, 이를 통해 a와 b의 값을 확정할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 원에 내접하는 사각형의 성질과 사인법칙, 코사인법칙을 종합적으로 활용하여 사각형의 넓이를 구하는 기하 문제입니다. 문제에 주어진 조건이 많아 어떤 법칙을 먼저 적용해야 할지 혼란스러워하는 경우가 많습니다. 특히 점 E가 BD를 3:4로 내분한다는 조건을 어떻게 활용해야 할지 막막해하며, 삼각형 ABE와 CDE에서 닮음을 찾으려다 시간을 허비할 수 있습니다. 먼저 삼각형 ABD에서 사인법칙(AB/sin∠ADB = 2R)을 사용하여 변의 길이나 각에 대한 정보를 얻는 것부터 시작하세요. 그 다음, 삼각형 ABE와 CDE에서 마주보는 각(∠AEB = ∠CED)이 같다는 점을 이용해 사인법칙을 적용하면 변들 사이의 중요한 관계식을 얻을 수 있습니다. 이것이 문제 해결의 핵심 열쇠입니다.
  

• 30번

  — 삼각함수와 일차함수의 합성함수로 이루어진 방정식의 실근의 개수와 합에 대한 문제입니다. 그래프의 대칭성과 주기성을 깊이 있게 이해하고 활용해야 합니다. (가) 조건에서 (f∘h)(x)=(h∘g)(x) 방정식을 cos(ax+b) = a(sinx)+b 로 두고 직접 풀려고 시도하면 복잡성의 늪에 빠지게 됩니다. h(x)가 일차함수, 즉 일대일 함수라는 점에 착안하여 h(f(x))=h(g(x)) 이면 f(x)=g(x)임을 간파해야 합니다. 즉, cosx = sinx 방정식의 해가 0≤x≤4π 범위에서 홀수 개라는 점을 이용해 a의 범위를 추론해야 합니다. (나) 조건은 cos(ax+b) = cos(at+b) 꼴의 방정식으로, 해는 ax+b = ±(at+b) + 2nπ 형태를 가집니다. 이 해들의 합이 56이 되도록 하는 대칭축을 찾는 것이 결정적입니다.