수학ETF	2022_고2_3월	기출문제
	1~30

두 다항식
[eqn: A=3x^{2}-2xy+y^{2}], [eqn: B=x^{2}+xy-y^{2}]
에 대하여 [eqn: A-B]를 간단히 하면?

③

[eqn: A - B = (3x^{2} - 2xy + y^{2}) - (x^{2} + xy - y^{2})]

[eqn: = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - x^{2} - xy + y^{2}]

[eqn: = (3 - 1)x^{2} + (-2 - 1)xy + (1 + 1)y^{2}]

[eqn: = 2x^{2} - 3xy + 2y^{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2x^{2}-3xy]	② [eqn: 2x^{2}-3xy+y^{2}]	③ [eqn: 2x^{2}-3xy+2y^{2}]

④ [eqn: 2x^{2}-xy+y^{2}]	⑤ [eqn: 2x^{2}-xy+2y^{2}]

실수 [eqn: x]에 대한 조건
'[eqn: x]는 [eqn: 1]보다 크다.’
의 부정은?

②

주어진 조건 '[eqn: x]는 [eqn: 1]보다 크다.'를 부등식으로 나타내면 [eqn: x > 1]이다.

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x > 1]의 부정은 [eqn: x rm leq1]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: x < 1]	② [eqn: x rm leq1]	③ [eqn: x = 1]

④ [eqn: x rm geq1]	⑤ [eqn: x > 1]

[eqn: {} _{5} rmC _{3} TIMES 3!]의 값은?

④

[eqn: {} _{5} rmC _{3} =10]이고 [eqn: 3! = 3 times 2 times 1 = 6]이므로

[eqn: 10 TIMES 6=60][eqn: _{5}C_{3} times 3! = 10 times 6 = 60]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 75]

그림은 두 함수 [eqn: f:X`` -> ``Y], [eqn: g:Y`` -> ``Z]를 나타낸 것이다.

[eqn: (g circ f)(2)]의 값은?

⑤

주어진 그림에서 함수 [eqn: f]의 대응 관계를 보면 [eqn: f(2) = 3]이다.

또한 함수 [eqn: g]의 대응 관계를 보면 [eqn: g(3) = 5]이다.

합성함수의 정의에 의해 [eqn: (g circ f)(2) = g(f(2))]

[eqn: f(2) = 3]이므로 [eqn: g(f(2)) = g(3) = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

점 [eqn: (2,`3)]을 지나고 직선 [eqn: 3x+2y-5=0]과 평행한 직선의 [eqn: y]절편은?

①

직선 [eqn: 3x+2y-5=0]을 [eqn: y]에 대하여 정리하면

[eqn: y = -{3} over {2}x + {5} over {2}]이므로 기울기는 [eqn: -{3} over {2}]이다.

구하는 직선은 이 직선과 평행하므로 기울기가 [eqn: -{3} over {2}]이다.

기울기가 [eqn: -{3} over {2}]이고 점 [eqn: (2, 3)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y - 3 = -{3} over {2}(x - 2)], [eqn: y = -{3} over {2}x + 3 + 3], [eqn: y = -{3} over {2}x + 6]

따라서 구하는 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

복소수 [eqn: {a+3i} over {2-i}]의 실수부분과 허수부분의 합이 [eqn: 3]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

④

주어진 복소수의 분모와 분자에 [eqn: 2+i]를 곱하여 분모를 실수화하면

[eqn: {a+3i} over {2-i} = {(a+3i)(2+i)} over {(2-i)(2+i)}][eqn: = {2a + ai + 6i + 3i^{2}} over {4 - i^{2}}]

[eqn: = {2a - 3 + (a+6)i} over {5}][eqn: = {2a-3} over {5} + {a+6} over {5} i]

이 복소수의 실수부분은 [eqn: {2a-3} over {5}], 허수부분은 [eqn: {a+6} over {5}]이므로

[eqn: {2a-3} over {5} + {a+6} over {5} = 3], [eqn: {3a+3} over {5} = 3], [eqn: 3a + 3 = 15] ∴ [eqn: a = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 5]장의 카드를 모두 일렬로 나열할 때, 짝수가 적혀 있는 카드끼리 서로 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는?

⑤

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수 중 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4]의 [eqn: 2]개이고, 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]의 [eqn: 3]개이므로

짝수가 적혀 있는 카드끼리 서로 이웃하지 않게 나열하는 것은 홀수가 적힌 카드를 먼저 나열한 후, 그 사이사이와 양 끝자리에 짝수가 적힌 카드를 나열하는 경우와 같으므로

홀수가 적힌 카드 [eqn: 3]장을 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: 3! = 3 times 2 times 1 = 6]

이고, 홀수가 적힌 카드 사이사이와 양 끝의 [eqn: 4]개의 자리 중 [eqn: 2]개의 자리를 택하여 짝수가 적힌 카드 [eqn: 2]장을 나열하는 경우의 수는

[eqn: 12]

이므로 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의해

[eqn: 6 times 12 = 72]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

두 점 [eqn: rm A LEFT ( it a,`0 RIGHT )], [eqn: rm B(2,`-4)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

③

두 점 [eqn: rmA(ita,0)], [eqn: rmB(2, -4)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {3 times 2 + 1 times a} over {3 + 1} = {6 + a} over {4}]

이 내분점이 [eqn: y]축 위에 있으므로 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]이다.

[eqn: {6 + a} over {4} = 0]에서 [eqn: a = -6]

따라서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (-6, 0)]이다.

두 점 [eqn: rmA(-6, 0)], [eqn: rmB(2, -4)] 사이의 거리는

[eqn: sqrt {(2-(-6)) ^{2} +(-4-0) ^{2}} = sqrt {80} =4 sqrt {5}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2sqrt{5}]	② [eqn: 3sqrt{5}]	③ [eqn: 4sqrt{5}]

④ [eqn: 5sqrt{5}]	⑤ [eqn: 6sqrt{5}]

[eqn: x+y=sqrt{2}], [eqn: xy=-2]일 때, [eqn: {x^{2}} over {y} + {y^{2}} over {x}]의 값은?

②

주어진 식을 통분하면 [eqn: {x^{2}} over {y} + {y^{2}} over {x} = {x^{3} + y^{3}} over {xy}]

곱셈공식의 변형에 의해

[eqn: x^{3} + y^{3} = (x+y)^{3} - 3xy(x+y)]이므로

[eqn: x^{3} + y^{3} = (sqrt{2})^{3} - 3 times (-2) times sqrt{2}][eqn: = 2sqrt{2} + 6sqrt{2}][eqn: = 8sqrt{2}]

따라서 [eqn: {x^{2}} over {y} + {y^{2}} over {x} = {8sqrt{2}} over {-2} = -4sqrt{2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -5sqrt{2}]	② [eqn: -4sqrt{2}]	③ [eqn: -3sqrt{2}]

④ [eqn: -2sqrt{2}]	⑤ [eqn: -sqrt{2}]

점 [eqn: (-1, 0)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선이 곡선 [eqn: y=x^{2}+x+4]에 접할 때, 양수 [eqn: m]의 값은?

④

점 [eqn: (-1, 0)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은

[eqn: y - 0 = m(x - (-1))], [eqn: y = mx + m]

이 직선이 곡선 [eqn: y = x^{2} + x + 4]에 접하므로

[eqn: x^{2} + x + 4 = mx + m], [eqn: x^{2} + (1 - m)x + 4 - m = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D = 0]이므로

[eqn: D = (1 - m)^{2} - 4(4 - m) = 0], [eqn: 1 - 2m + m^{2} - 16 + 4m = 0]

[eqn: m^{2} + 2m - 15 = 0], [eqn: (m + 5)(m - 3) = 0]

[eqn: m = -5] 또는 [eqn: m = 3]

이때 [eqn: m]은 양수이므로 [eqn: m = 3]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

함수 [eqn: y=-sqrt{x-a}+a+2]의 그래프가 점 [eqn: (a,`-a)]를 지날 때, 이 함수의 치역은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

함수 [eqn: y = -sqrt{x-a} + a + 2]의 그래프가 점 [eqn: (a, -a)]를 지나므로

[eqn: x = a], [eqn: y = -a]를 대입하면

[eqn: -a = -sqrt{a-a} + a + 2], [eqn: -a = a + 2], ∴ [eqn: a = -1]

[eqn: a = -1]을 주어진 함수에 대입하면

[eqn: y = -sqrt{x+1} + 1]

이때 [eqn: sqrt{x+1} geq 0]이므로

[eqn: -sqrt{x+1} leq 0], [eqn: -sqrt{x+1} + 1 leq 1] ∴ [eqn: y leq 1]

따라서 구하는 치역은 [eqn: LEFT { y`|`y LEQ 1 RIGHT }]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: LEFT { y`|`y LEQ 1 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { y`|`y GEQ 1 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { y`|`y LEQ 0 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { y`|`y LEQ -1 RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { y`|`y GEQ -1 RIGHT }]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+b=0]의 한 근이 [eqn: {b} over {2}+i]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

③

이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+b=0]의 계수가 모두 실수이고 한 근이 [eqn: {b} over {2}+i]이므로 다른 한 근은 [eqn: {b} over {2}-i]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

두 근의 합은 [eqn: left ( {b} over {2}+i right ) + left ( {b} over {2}-i right ) = -a]

[eqn: b = -a] ……①

두 근의 곱은 [eqn: left ( {b} over {2}+i right ) left ( {b} over {2}-i right ) = b]

[eqn: {b^{2}} over {4} - i^{2} = b], [eqn: {b^{2}} over {4} + 1 = b], [eqn: b^{2} - 4b + 4 = 0], [eqn: (b-2)^{2} = 0]

∴ [eqn: b = 2]

[eqn: b = 2]를 ①에 대입하면 [eqn: a = -2]

∴ [eqn: ab = -2 times 2 = -4]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x는``50이하의``자연수 RIGHT }]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { x`|`x는``6의``배수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x`|`x는``4의``배수 RIGHT }]
가 있다. [eqn: A cup X=A]이고 [eqn: B SMALLINTER X=emptyset]인 집합 [eqn: X]의 개수는?

②

[eqn: A cup X = A]에서 [eqn: X subset A]이다.

[eqn: B SMALLINTER X=emptyset]에서 [eqn: X]는 [eqn: B]의 원소를 포함하지 않는다.

따라서 [eqn: X subset A - B]이다.

[eqn: U = left { 1, 2, 3, cdots, 50 right }]에서

[eqn: A]는 [eqn: 50] 이하의 [eqn: 6]의 배수의 집합이므로

[eqn: A = left { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 right }]

[eqn: B]는 [eqn: 50] 이하의 [eqn: 4]의 배수의 집합이므로

[eqn: A cap B]는 [eqn: 50] 이하의 [eqn: 6]과 [eqn: 4]의 공배수, 즉 [eqn: 12]의 배수의 집합이다.

[eqn: A cap B = left { 12, 24, 36, 48 right }]

[eqn: A - B = A - (A cap B) = left { 6, 18, 30, 42 right }]

집합 [eqn: X]는 [eqn: A - B]의 부분집합이므로 구하는 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 2^{4} = 16]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하고
[eqn: f(1)+2f(3)=12], [eqn: f^{-1}(1)-f^{-1}(3)=2]
일 때, [eqn: f(4)+f^{-1}(4)]의 값은?

②

함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하므로 [eqn: f]는 일대일 대응이다.

[eqn: f(1) + 2f(3) = 12]에서 [eqn: f(1)], [eqn: f(3)]은 [eqn: X]의 원소이므로

[eqn: f(3) = 5], [eqn: f(1) = 2]이다.

[eqn: f^{-1}(1) - f^{-1}(3) = 2]에서 [eqn: f^{-1}(1)], [eqn: f^{-1}(3)]은 [eqn: X]의 원소이고

[eqn: f^{-1}(2) = 1], [eqn: f^{-1}(5) = 3]이므로 남은 원소는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

차이가 [eqn: 2]가 되는 두 수는 [eqn: 4]와 [eqn: 2]이므로

[eqn: f^{-1}(1) = 4], [eqn: f^{-1}(3) = 2]이다.

따라서 남은 [eqn: f^{-1}(4) = 5]이다.

[eqn: f^{-1}(1) = 4]에서 [eqn: f(4) = 1]이다.

∴ [eqn: f(4) + f^{-1}(4) = 1 + 5 = 6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

연립부등식
[eqn: {cases{LEFT | x-k RIGHT | LEQ 15&#x ^{2} -x-12>0&}}]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: 7]이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은?

④

연립부등식의 두 번째 부등식 [eqn: x^{2}-x-12 > 0]에서

[eqn: (x-4)(x+3) > 0]

∴ [eqn: x < -3] 또는 [eqn: x > 4] ……①

첫 번째 부등식 [eqn: left | x-k right | leq 5]에서

[eqn: -5 leq x-k leq 5]

∴ [eqn: k-5 leq x leq k+5] ……②

①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: 7]이 되어야 한다.

[eqn: k]는 정수이므로 보기의 값을 대입하여 확인한다.

(ⅰ) [eqn: k = -2]일 때

②에서 [eqn: -7 leq x leq 3]이므로 ①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -7], [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4]이다.

이때 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: -7-6-5-4 = -22]이다.

(ⅱ) [eqn: k = -1]일 때

②에서 [eqn: -6 leq x leq 4]이므로 ①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4]이다.

이때 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: -6-5-4 = -15]이다.

(ⅲ) [eqn: k = 0]일 때

②에서 [eqn: -5 leq x leq 5]이므로 ①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -5], [eqn: -4], [eqn: 5]이다.

이때 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: -5-4+5 = -4]이다.

(ⅳ) [eqn: k = 1]일 때

②에서 [eqn: -4 leq x leq 6]이므로 ①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -4], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

이때 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: -4+5+6 = 7]이다.

(ⅴ) [eqn: k = 2]일 때

②에서 [eqn: -3 leq x leq 7]이므로 ①, ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

이때 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 5+6+7 = 18]이다.

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

삼차방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-kx+k=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하자. [eqn: alpha], [eqn: beta] 중 실수는 하나뿐이고 [eqn: alpha^{2}=-2beta]일 때, [eqn: beta^{2}+gamma^{2}]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 실수이다.)

⑤

삼차방정식 [eqn: x^{3} - x^{2} - kx + k = 0]에서

[eqn: x^{2}(x - 1) - k(x - 1) = 0]

[eqn: (x^{2} - k)(x - 1) = 0]

[eqn: x = 1] 또는 [eqn: x^{2} = k]

[eqn: k > 0]이면 세 근이 모두 실수이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta] 중 실수는 하나뿐이라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: k < 0]이고, 세 근은 [eqn: 1], [eqn: sqrt{-k}i], [eqn: -sqrt{-k}i]이다.

[eqn: alpha], [eqn: beta] 중 실수는 하나뿐이므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: alpha]가 실수, [eqn: beta]가 허수인 경우

[eqn: alpha = 1]이므로 [eqn: alpha^{2} = 1]

[eqn: alpha^{2} = -2 beta]에서 [eqn: beta = - {1} over {2}]

이는 [eqn: beta]가 허수라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: alpha]가 허수, [eqn: beta]가 실수인 경우

[eqn: beta = 1]이므로 [eqn: alpha^{2} = -2 beta = -2]

[eqn: alpha]는 허수이므로 [eqn: alpha = +- sqrt{2}i]

이때 나머지 한 근 [eqn: gamma]는 [eqn: gamma = -+ sqrt{2}i]이다.

따라서 [eqn: beta = 1], [eqn: gamma^{2} = -2]이므로

[eqn: beta^{2} + gamma^{2} = 1^{2} + (-2) = -1]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p:x ^{2} +2ax+1 rm geq0],
[eqn: q:x ^{2} +2bx+9 rm leq0]
이 있다. 다음 두 문장이 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는?

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: p]이다.

[eqn: p]는 [eqn: ∽q]이기 위한 충분조건이다.

①

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: p]가 참이려면 이차방정식 [eqn: x^{2} + 2ax + 1 = 0]의 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 할 때

[eqn: {D_{1}} over {4} = a^{2} - 1 leq 0], [eqn: (a+1)(a-1) leq 0], [eqn: -1 leq a leq 1]

[eqn: a]는 정수이므로 [eqn: a]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]의 [eqn: 3]개이다.

[eqn: p]는 [eqn: sim q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: p]가 참이면 [eqn: sim q]도 참이어야 한다.

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: p]가 참이므로, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sim q]도 참이어야 한다.

[eqn: sim q : x^{2} + 2bx + 9 > 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 위 부등식이 성립하려면 이차방정식 [eqn: x^{2} + 2bx + 9 = 0]의 판별식을 [eqn: D_{2}]라 할 때

[eqn: {D_{2}} over {4} = b^{2} - 9 < 0], [eqn: (b+3)(b-3) < 0], [eqn: -3 < b < 3]

[eqn: b]는 정수이므로 [eqn: b]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 [eqn: 5]개이다.

따라서 구하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 3 times 5 = 15]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

함수 [eqn: f(x)={a} over {x}+b(a neq 0)]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 [eqn: y=left | f(x) right |]는 직선 [eqn: y=2]와 한 점에서만 만난다.

(나) [eqn: f^{-1}(2)=f(2)-1]

[eqn: f(8)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

함수 [eqn: f(x)={a} over {x}+b]의 그래프의 점근선은 [eqn: x=0], [eqn: y=b]이므로 곡선 [eqn: y=left | f(x) right |]의 점근선은 [eqn: y=left | b right |]이다.

조건 (가)에서 곡선 [eqn: y=left | f(x) right |]는 직선 [eqn: y=2]와 한 점에서만 만나므로 [eqn: left | b right | = 2]

∴ [eqn: b=2] 또는 [eqn: b=-2]

[eqn: f^{-1}(2)=k]라 하면 [eqn: f(k)=2]이므로

[eqn: {a} over {k}+b=2]에서 [eqn: {a} over {k}=2-b]

[eqn: b=2]이면 [eqn: {a} over {k}=0]이 되어 [eqn: a neq 0]에 모순이므로 [eqn: b=-2]

[eqn: b=-2]를 대입하면 [eqn: {a} over {k}=4]에서 [eqn: k={a} over {4}]

즉, [eqn: f^{-1}(2)={a} over {4}]이다.

또한 [eqn: f(2)={a} over {2}-2]이므로 조건 (나)에서

[eqn: {a} over {4} = left ( {a} over {2} - 2 right ) - 1], [eqn: {a} over {4} = {a} over {2} - 3], [eqn: {a} over {4} = 3] ∴ [eqn: a=12]

따라서 [eqn: f(x)={12} over {x}-2]이므로

[eqn: f(8)={12} over {8}-2={3} over {2}-2=- {1} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

두 자연수 [eqn: k], [eqn: m(k rm GEQ itm)]에 대하여 전체집합
[eqn: U= LEFT { x`|`x는``k이하의``자연수 RIGHT }]
의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { x`|`x는``m의``약수 RIGHT }], [eqn: B]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: B-A= LEFT { 4,`7 RIGHT }], [eqn: n(A rm `cup`B ^{C} )=7]

(나) 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합과 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은 서로 같다.

집합 [eqn: A ^{C} rm capB ^{C}]의 모든 원소의 합은?

⑤

[eqn: A rm cupB ^{C} =(A ^{C} rm capB) ^{C} =(B-A) ^{C}]이므로

[eqn: n(A rm CUP B ^{C} )=itn(U)-n(B-A)]

조건 (가)에서 [eqn: n(B - A) = 2]이고 [eqn: n(A rm cupB ^{C} )=7]이므로

[eqn: 7 = k - 2] ∴ [eqn: k = 9]

따라서 [eqn: U= left{1,2,3,4,5,6,7,8,9 right}]이다.

[eqn: B - A = left { 4, 7 right }]이므로 [eqn: 4 notinA], [eqn: 7 notin A]이다.

[eqn: A]는 [eqn: m]의 약수의 집합이고 [eqn: m` rm leq9]이므로 [eqn: m]은 [eqn: 4]의 배수와 [eqn: 7]의 배수가 아니어야 한다.

따라서 [eqn: m]이 될 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 9]이다.

조건 (나)에서 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합을 [eqn: S(A)], 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합을 [eqn: S(B)]라 하면

[eqn: S(A) = S(B)]

[eqn: S(A)=S(A-B)+S(A rm capB)]

[eqn: S(B)=S(B-A)+S(A rm capB)=4+7+S(A rm capB)=11+S(A rm capB)]

따라서 [eqn: S(A - B) = 11]이다.

[eqn: A-B rm subsetA]이므로 집합 [eqn: A]의 원소 중 일부의 합이 [eqn: 11]이어야 하고, [eqn: S(A) rm geq11]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: m = 6]일 때

[eqn: A= LEFT { 1, 2, 3, 6 RIGHT }]이고 [eqn: S(A)=12` rm geq11]이다.

[eqn: A]의 원소 중 합이 [eqn: 11]이 되는 부분집합은 [eqn: LEFT { 2,`3,`6 RIGHT }]이므로 [eqn: A-B= LEFT { 2,`3,`6 RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: A`capB= LEFT { 1 RIGHT }]이고 [eqn: B= LEFT ( A`capB RIGHT ) cup LEFT ( B-A RIGHT ) = LEFT { 1,`4,`7 RIGHT }]이다.

(ⅱ) [eqn: m = 9]일 때

[eqn: A= LEFT { 1,`3,`9 RIGHT }]이고 [eqn: S(A)=13 rm geq11]이다.

하지만 [eqn: A]의 원소 중 합이 [eqn: 11]이 되는 부분집합이 존재하지 않는다.

나머지 [eqn: m]의 값에 대해서는 [eqn: S(A) < 11]이므로 조건을 만족하지 않는다.

따라서 (ⅰ)에 의해 [eqn: A= LEFT { 1,`2,`3,`6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,`4,`7 RIGHT }]이다.

[eqn: A`cupB= LEFT { 1,`2,`3,`4,`6,`7 RIGHT }]이므로

[eqn: A ^{C} rm capB ^{C} =(A rm cupB) ^{C} = rm LEFT { 5,`8,`9 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A ^{C} rm capB ^{C}]의 모든 원소의 합은 [eqn: 5 + 8 + 9 = 22]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

두 직선 [eqn: l_{1} : 2x+y+2=0], [eqn: l_{2} : x-2y-4=0]의 교점을 [eqn: rmA], 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원 위의 점 [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rmQ]는 삼각형 [eqn: rmPBC]의 무게중심이다.

(나) 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 [eqn: 3]배이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]는 서로 수직이다. ㄴ. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 [eqn: 10]이다.

③

두 직선 [eqn: l_{1} : 2x+y+2=0], [eqn: l_{2} : x-2y-4=0]을 연립하여 풀면 [eqn: x=0], [eqn: y=-2]이므로 교점은 [eqn: rmA(0, -2)]이다.

두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]의 [eqn: x]절편을 각각 구하 면 [eqn: rmB(-1, 0)], [eqn: rmC(4, 0)]이다.

ㄱ. 직선 [eqn: l_{1}]의 기울기는 [eqn: -2]이고, 직선 [eqn: l_{2}]의 기울기는 [eqn: {1} over {2}]이다.

두 직선의 기울기의 곱이 [eqn: -2 times {1} over {2} = -1]이므로 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]는 서로 수직이다. (참)

ㄴ. 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmangle A = 90^{circ}]인 직각삼각형이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원은 빗변 [eqn: rmBC]를 지름으로 하는 원이다.

선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmM left ( {3} over {2}, 0 right )]이고, 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} rmbarBC`= {5} over {2}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 방정식은 [eqn: left ( x - {3} over {2} right )^{2} + y^{2} = {25} over {4}]이다.

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 [eqn: 3]배이고 두 삼각형은 밑변 [eqn: rmBC]를 공유하므로, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표의 절댓값은 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표의 절댓값의 [eqn: 3]배이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: -2]이고 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 6]이다.

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a, 6)] ([eqn: a > 0])이라 하면 조건 (가)에서 점 [eqn: rmQ]는 삼각형 [eqn: rmPBC]의 무게중심이므로

[eqn: rmQ LEFT ( it {a-1+4} over {3} , {6+0+0} over {3} RIGHT )] 즉, [eqn: rmQ LEFT ( it {a+3} over {3} ,2 RIGHT )]이다.

따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rmQ]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원 위의 점이므로

[eqn: left ( {a+3} over {3} - {3} over {2} right )^{2} + 2^{2} = {25} over {4}], [eqn: left ( {2a-3} over {6} right )^{2} = {9} over {4}]

[eqn: {2a-3} over {6} = +- {3} over {2}], [eqn: 2a-3 = +- 9], [eqn: 2a = 12] 또는 [eqn: 2a = -6]

[eqn: a = 6] 또는 [eqn: a = -3]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 6]이다.

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (6, 6)]이고, [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 [eqn: 12]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

따라서 정답은 ③이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]에서 출발하여 점 [eqn: rmF]까지 화살표 방향으로 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의 변을 따라 움직인다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]로부터 움직인 거리가 [eqn: x(0<x<5)]일 때, 삼각형 [eqn: rmPFA]의 넓이를 [eqn: f(x)]라 하자. 다음은 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: (f circ f)(a)={9} over {32}] 인 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱을 구하는 과정이다.

[eqn: (f circ f)(a)=f(f(a))={9} over {32}] 에서 [eqn: f(a)=b]라 하면

[eqn: f(b)={9} over {32}]

이고, 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: {BOX{```(가)```}}] 이므로

[eqn: 0<b leq] [eqn: {BOX{```(가)```}}]

이다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]로부터 움직인 거리가 [eqn: b]인 점을 [eqn: rmQ]라 하면 삼각형 [eqn: rmQFA]의 넓이는 [eqn: {9} over {32}] 이다.

점 [eqn: rmQ]에서 직선 [eqn: rmFA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rmoverline{QH}={9} over {16}]이므로 [eqn: b=] [eqn: {BOX{```(나)```}}]이다.

같은 방법으로 [eqn: f(a)=] [eqn: {BOX{```(나)```}}]를 만족시키는 [eqn: a(0<a<5)]의 값을 구하면

[eqn: a=] [eqn: {BOX{``````````````````}}] 또는 [eqn: a=] [eqn: {BOX{``````````````````}}]

이다. 따라서 [eqn: (f circ f)(a)={9} over {32}] 를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: {BOX{```(다)```}}] 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: {r} over {p times q}] 의 값은?

②

정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 변 [eqn: rmFA]의 길이는 [eqn: 1]이다.

삼각형 [eqn: rmPFA]의 넓이 [eqn: f(x)]는 밑변 [eqn: rmFA]의 길이가 [eqn: 1]이므로, 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmFA]에 내린 수선의 길이를 [eqn: h(x)]라 하면 [eqn: f(x) = {1} over {2} times 1 times h(x) = {1} over {2} h(x)]이다.

점 [eqn: rmP]가 변 [eqn: rmCD]위에 있을 때 [eqn: h(x)]는 최대가 된다.

정육각형에서 평행한 두 변 [eqn: rmFA]와 [eqn: rmCD]사이의 거리는 [eqn: sqrt{3}]이므로 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt{3}]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: {sqrt{3}} over {2}]이므로 (가)는 [eqn: {sqrt{3}} over {2}]이다.

[eqn: 0 < b leq {sqrt{3}} over {2}]에서 [eqn: b < 1]이므로 점 [eqn: rmQ]는 변 [eqn: rmAB]위에 있다.

점 [eqn: rmQ]에서 직선 [eqn: rmFA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

정육각형의 한 내각의 크기는 [eqn: 120^{circ}]이므로 직선 [eqn: rmFA]의 연장선과 선분 [eqn: rmAB]가 이루는 각은 [eqn: 60^{circ}]이다.

따라서 [eqn: rmangle QAH = 60^{circ}]이므로

[eqn: {bar{rmQH}} =b TIMES sin60 ^{CIRC } = {sqrt {3}} over {2} b]이다.

[eqn: rmoverline{QH} = {9} over {16}]이므로 [eqn: {sqrt{3}} over {2} b = {9} over {16}]에서 [eqn: b = {3 sqrt{3}} over {8}]이다.

따라서 (나)는 [eqn: {3 sqrt{3}} over {8}]이다.

[eqn: f(a) = {3 sqrt{3}} over {8}]을 만족시키는 [eqn: a]를 구하면

[eqn: f(a) = {1} over {2} h(a) = {3 sqrt{3}} over {8}]에서 [eqn: h(a) = {3 sqrt{3}} over {4}]이다.

점 [eqn: rmP]가 변 [eqn: rmBC]위에 있을 때, 선분 [eqn: rmBC]의 연장선과 직선 [eqn: rmFA]가 이루는 각도 [eqn: 60^{circ}]이다.

점 [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: rmFA]에 내린 수선의 길이는 [eqn: {sqrt{3}} over {2}]이므로, 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: t]만큼 이동했다고 하면 ([eqn: 0 leq t leq 1]), [eqn: h(a) = {sqrt{3}} over {2} + t times sin 60^{circ} = {sqrt{3}} over {2} + {sqrt{3}} over {2} t]이다.

[eqn: {sqrt{3}} over {2} (1+t) = {3 sqrt{3}} over {4}]에서 [eqn: 1+t = {3} over {2}] ∴ [eqn: t = {1} over {2}]

점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]를 거쳐 점 [eqn: rmC]방향으로 이동하므로 [eqn: a = 1 + {1} over {2} = {3} over {2}]이다.

정육각형의 대칭성에 의해 점 [eqn: rmP]가 변 [eqn: rmDE]위에 있을 때도 조건을 만족하므로

[eqn: a = 5 - {3} over {2} = {7} over {2}]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: {3} over {2} times {7} over {2} = {21} over {4}]이므로 (다)는 [eqn: {21} over {4}]이다.

[eqn: p = {sqrt{3}} over {2}], [eqn: q = {3 sqrt{3}} over {8}], [eqn: r = {21} over {4}]이므로

[eqn: {r} over {p times q} = {21} over {4} div left ( {sqrt{3}} over {2} times {3 sqrt{3}} over {8} right ) = {21} over {4} div {9} over {16} = {21} over {4} times {16} over {9} = {28} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {26} over {3}]	② [eqn: {28} over {3}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: {32} over {3}]	⑤ [eqn: {34} over {3}]

두 집합
[eqn: A= LEFT { 6,`8 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { a,`a+2 RIGHT }]
에 대하여 [eqn: A CUP B= LEFT { 6,`8,`10 RIGHT }]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: A CUP B= LEFT { 6,`8,`10 RIGHT }]이고 [eqn: A= LEFT { 6,`8 RIGHT }]이므로 [eqn: 10 in B]이다.

[eqn: B= LEFT { a,`a+2 RIGHT }]이므로 [eqn: a = 10] 또는 [eqn: a+2 = 10]이다.

(ⅰ) [eqn: a = 10]일 때

[eqn: B= LEFT { 10,`12 RIGHT }]이므로 [eqn: A CUP B= LEFT { 6,`8,`10,`12 RIGHT }]가 되어 조건에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a+2 = 10]일 때

[eqn: a = 8]이고 [eqn: B= LEFT { 8,`10 RIGHT }]이므로 [eqn: A CUP B= LEFT { 6,`8,`10 RIGHT }]가 되어 조건을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a = 8]이다.

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

점 [eqn: (5,`4)]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점의 좌표는 [eqn: (a,`b)]이다. [eqn: ab]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

점 [eqn: (5, 4)]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: (4, 5)]이다.

이 점을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점의 좌표는

[eqn: (4,`5+1)], 즉 [eqn: (4,`6)]이다.

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=6]이므로 [eqn: ab = 4 times 6 = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

등식
[eqn: (2x+3)(x-2)+8=ax(x-2)+b(x-2)+cx]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 5]

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: (2x+3)(x-2)+8 = 2x^{2} - x + 2]

우변을 전개하여 정리하면

[eqn: ax(x-2)+b(x-2)+cx = ax^{2} + (-2a+b+c)x - 2b]

주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수가 같아야 한다.

[eqn: a = 2], [eqn: -2a+b+c = -1], [eqn: -2b = 2]

[eqn: -2b = 2]에서 [eqn: b = -1]

[eqn: a = 2], [eqn: b = -1]을 [eqn: -2a+b+c = -1]에 대입하면

[eqn: -4 - 1 + c = -1]

∴ [eqn: c = 4]

따라서 [eqn: a+b+c = 2 + (-1) + 4 = 5]이다.

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

곡선 [eqn: y=x^{2}-x-1]위의 점 중 제[eqn: 2]사분면에 있는 점을 중심으로 하고, [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원의 방정식은 [eqn: x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0]이다. [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 1]

그래프에서 원의 중심이 제[eqn: 2]사분면에 있고 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하므로, 원의 반지름의 길이를 [eqn: r] ([eqn: r>0])이라 하면 원의 중심의 좌표는 [eqn: (-r,`r)]이다.

이 점이 곡선 [eqn: y=x^{2}-x-1] 위에 있으므로

[eqn: r = (-r)^{2} - (-r) - 1], [eqn: r = r^{2} + r - 1], [eqn: r^{2} - 1 = 0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=1]

따라서 원의 중심의 좌표는 [eqn: (-1, 1)]이고 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

중심이 [eqn: (-1, 1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 방정식은

[eqn: (x+1)^{2} + (y-1)^{2} = 1^{2}]

전개하여 정리하면

[eqn: x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = 1], [eqn: x^{2} + y^{2} + 2x - 2y + 1 = 0]

이 식이 [eqn: x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0]과 같으므로

[eqn: a=2], [eqn: b=-2], [eqn: c=1]

∴ [eqn: a+b+c = 2 + (-2) + 1 = 1]

따라서 정답은 [eqn: 1]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x GEQ a RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { y`|`y GEQ b RIGHT }]로의 함수 [eqn: f(x)=x^{2}-4x+3]이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

함수 [eqn: f(x)=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]를 대칭축으로 하는 아래로 볼록한 포물선이다.

함수 [eqn: f(x)]가 일대일대응이 되려면 정의역 [eqn: X= LEFT { x`|`x GEQ a RIGHT }]에서 증가함수이어야 하므로

[eqn: a geq 2] ……①

또한, 치역과 공역이 같아야 하므로 [eqn: x=a]일 때 최솟값 [eqn: b]를 가져야 한다.

즉, [eqn: f(a)=b]에서 [eqn: b=a^{2}-4a+3] ……②

구하고자 하는 [eqn: a-b]의 값은

[eqn: a-b = a-(a^{2}-4a+3) = -a^{2}+5a-3]

[eqn: = - left ( a^{2}-5a right ) -3 = - left ( a- {5} over {2} right )^{2}+ {13} over {4}]

①에서 [eqn: a geq 2]이므로 [eqn: a= {5} over {2}]일 때 [eqn: a-b]는 최댓값 [eqn: {13} over {4}]을 갖는다.

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=13]이므로

[eqn: p+q = 4+13 = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 원 [eqn: C:(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C`` prime]이라 할 때, 두 원 [eqn: C], [eqn: C`` prime]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원 [eqn: C`` prime]은 원 [eqn: C]의 중심을 지난다.

(나) 직선 [eqn: 4x-3y+21=0]은 두 원 [eqn: C], [eqn: C`` prime]에 모두 접한다.

[eqn: a+b+r]의 값을 구하시오. (단, [eqn: r]는 양수이다.)

[eqn: 12]

원 [eqn: C] 의 방정식은 [eqn: (x-1)^{2} + y^{2} = r^{2}]이므로 중심의 좌표는 [eqn: (1, 0)]이고 반지름의 길이는 [eqn: r]이다.

원 [eqn: C] 를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 원 [eqn: C`` prime]의 중심의 좌표는 [eqn: (1+a, b)]이고 반지름의 길이는 [eqn: r]이다.

조건 (가)에서 원 [eqn: C`` prime]이 원 [eqn: C] 의 중심 [eqn: (1, 0)]을 지나므로

[eqn: (1 - (1+a))^{2} + (0 - b)^{2} = r^{2}]

즉, [eqn: a^{2} + b^{2} = r^{2}] ……①

조건 (나)에서 직선 [eqn: 4x - 3y + 21 = 0]이 원 [eqn: C] 에 접하므로 원 [eqn: C] 의 중심 [eqn: (1, 0)]과 직선 사이의 거리는 반지름의 길이 [eqn: r]와 같다.

[eqn: r = {left | 4 times 1 - 3 times 0 + 21 right |} over {sqrt{4^{2} + (-3)^{2}}} = {25} over {5} = 5]

①에 [eqn: r = 5]를 대입하면

[eqn: a^{2} + b^{2} = 25] ……②

또한 직선 [eqn: 4x - 3y + 21 = 0]이 원 [eqn: C`` prime]에도 접하므로 원 [eqn: C']의 중심 [eqn: (1+a, b)]와 직선 사이의 거리는 반지름의 길이 [eqn: 5]와 같다.

[eqn: {left | 4(1+a) - 3b + 21 right |} over {sqrt{4^{2} + (-3)^{2}}} = 5]

[eqn: left | 4a - 3b + 25 right | = 25]

[eqn: 4a - 3b + 25 = 25] 또는 [eqn: 4a - 3b + 25 = -25]

즉, [eqn: 4a - 3b = 0] 또는 [eqn: 4a - 3b = -50]

(ⅰ) [eqn: 4a - 3b = 0]일 때

[eqn: b = {4} over {3} a]를 ②에 대입하면

[eqn: a^{2} + left ( {4} over {3} a right )^{2} = 25], [eqn: {25} over {9} a^{2} = 25], [eqn: a^{2} = 9]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 3]이고 [eqn: b = 4]이다.

(ⅱ) [eqn: 4a - 3b = -50]일 때

[eqn: b = {4} over {3} a + {50} over {3}]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: b > {50} over {3}]이다.

그러나 ②에서 [eqn: b^{2} leq 25]이므로 [eqn: b leq 5]이어야 하므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a = 3], [eqn: b = 4], [eqn: r = 5]이다.

[eqn: a + b + r = 3 + 4 + 5 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

그림과 같이 한 개의 정삼각형과 세 개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다.

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 네 개의 정다각형 내부에 하나씩 적을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.

(가) 세 개의 정사각형에 적혀 있는 수는 모두 정삼각형에 적혀 있는 수보다 작다.

(나) 변을 공유하는 두 정사각형에 적혀 있는 수는 서로 다르다.

[eqn: 130]

정삼각형에 적힌 수를 [eqn: a], 왼쪽 정사각형부터 차례대로 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

조건 (가)에 의해 [eqn: b < a], [eqn: c < a], [eqn: d < a]이다.

조건 (나)에 의해 변을 공유하는 두 정사각형에 적힌 수는 서로 다르므로 [eqn: b neq c], [eqn: c neq d]이다.

[eqn: a]의 값에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

[eqn: a = k] ([eqn: k = 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])일 때, [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 1] 이상 [eqn: k-1] 이하의 자연수이다.

가운데 정사각형에 적을 수 [eqn: c]를 정하는 경우의 수는 [eqn: k-1]이다.

왼쪽 정사각형에 적을 수 [eqn: b]는 [eqn: c]와 달라야 하므로 [eqn: k-2]가지이다.

오른쪽 정사각형에 적을 수 [eqn: d]는 [eqn: c]와 달라야 하므로 [eqn: k-2]가지이다.

따라서 [eqn: a = k]일 때의 경우의 수는 [eqn: (k-1) times (k-2)^{2}]이다.

(ⅰ) [eqn: a = 2]일 때 [eqn: 1 times 0^{2} = 0]

(ⅱ) [eqn: a = 3]일 때 [eqn: 2 times 1^{2} = 2]

(ⅲ) [eqn: a = 4]일 때 [eqn: 3 times 2^{2} = 12]

(ⅳ) [eqn: a = 5]일 때 [eqn: 4 times 3^{2} = 36]

(ⅴ) [eqn: a = 6]일 때 [eqn: 5 times 4^{2} = 80]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 0 + 2 + 12 + 36 + 80 = 130]이다.

따라서 정답은 [eqn: 130]이다.

최고차항의 계수가 양수인 두 다항식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x^{2}+g(x)]로 나눈 몫은 [eqn: x+2]이고
나머지는 [eqn: left { g(x) right }^{2}-x^{2}]이다.

(나) [eqn: f(x)]는 [eqn: g(x)]로 나누어떨어진다.

[eqn: f(0) neq 0]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 33]

조건 (가)에서 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^{2}+g(x)]로 나눈 몫이 [eqn: x+2]이고 나머지가 [eqn: left { g(x) right }^{2}-x^{2}]이므로

[eqn: f(x) = left ( x^{2}+g(x) right ) (x+2) + left { g(x) right }^{2} - x^{2}]

이때 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아야 하므로

(나머지의 차수) < (나누는 식의 차수)

[eqn: g(x)]의 차수가 [eqn: 2] 이상이면 [eqn: left { g(x) right }^{2}-x^{2}]의 차수는 [eqn: 2]차 이상이고 [eqn: x^{2}+g(x)]의 차수보다 커지므로 모순이다.

[eqn: g(x)]가 상수이면 [eqn: x^{2}+g(x)]는 [eqn: 2]차식이고 [eqn: left { g(x) right }^{2}-x^{2}]도 [eqn: 2]차식이 되어 모순이다.

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: 1]차식이다.

최고차항의 계수가 양수이므로 [eqn: g(x) = ax+b] ([eqn: a > 0])라 하면

나머지는 [eqn: (ax+b)^{2}-x^{2} = (a^{2}-1)x^{2} + 2abx + b^{2}]

이 나머지가 [eqn: 1]차 이하의 다항식이어야 하므로 [eqn: a^{2}-1 = 0]에서 [eqn: a = 1] ([eqn: a > 0])

따라서 [eqn: g(x) = x+b]이다.

이를 [eqn: f(x)]에 대입하면

[eqn: f(x) = (x^{2}+x+b)(x+2) + (x+b)^{2} - x^{2}]

[eqn: f(x) = (x^{2}+x+b)(x+2) + 2bx + b^{2}]

조건 (나)에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: g(x) = x+b]로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의해 [eqn: f(-b) = 0]이다.

[eqn: f(-b) = (b^{2}-b+b)(-b+2) - 2b^{2} + b^{2} = 0]

[eqn: b^{2}(-b+2) - b^{2} = 0], [eqn: -b^{3} + b^{2} = 0], [eqn: -b^{2}(b-1) = 0]

∴ [eqn: b = 0] 또는 [eqn: b = 1]

[eqn: f(0) = 2b + b^{2}]이고 [eqn: f(0) neq 0]이므로 [eqn: b neq 0]

∴ [eqn: b = 1]

따라서 [eqn: f(x) = (x^{2}+x+1)(x+2) + 2x + 1]이므로

[eqn: f(2) = (4+2+1)(2+2) + 4 + 1 = 7 times 4 + 5 = 33]

따라서 정답은 [eqn: 33]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 있다. 방정식 [eqn: left { f(x)-1 right } left { g(x)-1 right } = 0]의 모든 실근의 집합을 [eqn: A]라 하고, 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 모든 실근의 집합을 [eqn: B]라 하면 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta(alpha < beta)]에 대하여
[eqn: A= LEFT { alpha ,` beta RIGHT }], [eqn: B= LEFT { alpha ,` beta +3 RIGHT }]
이다. 상수 [eqn: k]에 대하여 방정식
[eqn: left { f(x)-k right } left { g(x)-k right } = 0]
의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이고 이 세 실근의 합이 [eqn: 12]일 때, [eqn: alpha+beta+k]의 값을 구하시오.

[eqn: 50]

방정식 [eqn: left { f(x)-1 right } left { g(x)-1 right } = 0]의 실근의 집합이 [eqn: A = left { alpha, beta right }]이므로 [eqn: f(alpha)=1] 또는 [eqn: g(alpha)=1]이다.

방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 실근의 집합이 [eqn: B = left { alpha, beta+3 right }]이므로 [eqn: f(alpha)=g(alpha)]이다.

따라서 [eqn: f(alpha)=g(alpha)=1]이다.

이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]이고, [eqn: A = left { alpha, beta right }]이므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(x)-1 = 2(x-alpha)^{2}], [eqn: g(x)-1 = (x-alpha)(x-beta)]인 경우

[eqn: f(x)-g(x) = 2(x-alpha)^{2} - (x-alpha)(x-beta) = (x-alpha)(x-2alpha+beta)]

[eqn: f(x)=g(x)]의 근은 [eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=2alpha-beta]이다.

[eqn: B = left { alpha, beta+3 right }]이므로 [eqn: 2alpha-beta = beta+3]에서 [eqn: alpha-beta = {3} over {2}]이다.

이는 [eqn: alpha < beta]에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: f(x)-1 = 2(x-alpha)(x-beta)], [eqn: g(x)-1 = (x-alpha)^{2}]인 경우

[eqn: f(x)-g(x) = 2(x-alpha)(x-beta) - (x-alpha)^{2} = (x-alpha)(x+alpha-2beta)]

[eqn: f(x)=g(x)]의 근은 [eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=2beta-alpha]이다.

[eqn: B = left { alpha, beta+3 right }]이므로 [eqn: 2beta-alpha = beta+3]에서 [eqn: beta = alpha+3]이다.

이는 [eqn: alpha < beta]를 만족한다.

따라서 [eqn: f(x) = 2(x-alpha)(x-alpha-3)+1], [eqn: g(x) = (x-alpha)^{2}+1]이다.

방정식 [eqn: left { f(x)-k right } left { g(x)-k right } = 0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이려면 두 방정식 [eqn: f(x)=k], [eqn: g(x)=k]가 오직 하나의 공통근을 갖거나, 어느 한 방정식이 중근을 갖고 다른 방정식과 근을 공유하지 않아야 한다.

[eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: 1]이므로 [eqn: k=1]일 때 [eqn: g(x)=1]은 중근 [eqn: x=alpha]를 갖고, [eqn: f(x)=1]은 두 근 [eqn: x=alpha], [eqn: x=alpha+3]을 가지므로 서로 다른 실근은 [eqn: 2]개이다.

[eqn: f(x) = 2 left ( x-alpha- {3} over {2} right )^{2} - {7} over {2}]이므로 최솟값은 [eqn: - {7} over {2}]이다.

[eqn: k=- {7} over {2}]일 때 [eqn: f(x)=- {7} over {2}]은 중근을 갖고, [eqn: g(x)=- {7} over {2}]은 실근을 갖지 않으므로 서로 다른 실근은 [eqn: 1]개이다.

따라서 두 방정식 [eqn: f(x)=k], [eqn: g(x)=k]는 오직 하나의 공통근을 가져야 한다.

공통근은 [eqn: f(x)=g(x)]를 만족하므로 [eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=alpha+6]이다.

[eqn: x=alpha]일 때 [eqn: k=1]이 되어 실근이 [eqn: 2]개이므로 모순이다.

[eqn: x=alpha+6]일 때 [eqn: k = g(alpha+6) = 6^{2}+1 = 37]이다.

[eqn: k=37]일 때,

[eqn: g(x)=37]에서 [eqn: (x-alpha)^{2} = 36] ∴ [eqn: x = alpha-6] 또는 [eqn: x = alpha+6]

[eqn: f(x)=37]에서 [eqn: 2(x-alpha)(x-alpha-3) = 36], [eqn: (x-alpha+3)(x-alpha-6) = 0] ∴ [eqn: x = alpha-3] 또는 [eqn: x = alpha+6]

서로 다른 세 실근은 [eqn: alpha-6], [eqn: alpha-3], [eqn: alpha+6]이므로 세 실근의 합은

[eqn: (alpha-6) + (alpha-3) + (alpha+6) = 3alpha-3]

세 실근의 합이 [eqn: 12]이므로 [eqn: 3alpha-3 = 12] ∴ [eqn: alpha = 5]

[eqn: beta = alpha+3]이므로 [eqn: beta = 8]이다.

∴ [eqn: alpha+beta+k = 5+8+37 = 50]

따라서 정답은 [eqn: 50]이다.