2021년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 유리함수를 기반으로 새롭게 정의된 함수 문제는 고1 3월 모의고사에서 마주할 수 있는 가장 까다로운 유형으로, 그래프 개형을 추론하고 해석하는 능력이 등급을 갈랐을 겁니다. 전반적으로 수학(상), (하)의 핵심 개념들을 충실하게 물어보면서도, 21번, 28번, 29번 등에서 볼 수 있듯 복잡한 조건 해석과 꼼꼼한 경우 분류 능력을 요구하는 문항들이 변별력을 확보했습니다. 이 시험에서 드러난 함수 그래프 해석 능력이나 복잡한 경우의 수, 집합 조건 추론 능력의 약점은 고2, 고3 과정에서 더욱 심화된 형태로 등장하므로 이번 기회에 반드시 개념을 재정비하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 주어진 복잡한 조건에 따라 경우의 수를 세는 조합 문제입니다. 출제 의도는 학생들이 논리적 흐름에 따라 케이스를 나누고, 각 케이스에 맞는 조합 계산을 정확히 할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (ii) 조건에서 A와 B가 각각 수학 과목을 1개 이상 선택해야 한다는 제약을 놓치거나, (ii-1)과 (ii-2)의 케이스를 나누는 과정에서 중복 또는 누락이 발생하여 오답을 선택했을 가능성이 높습니다. 문제 해결의 실마리는 '서로 일치하는 1개의 과목'이 '수학 과목'일 때와 '과학 과목'일 때로 큰 틀을 나누어 접근하는 것입니다. 각 경우에 대해 A가 과목을 선택한 후, B가 남은 과목 중에서 조건을 만족하며 선택하는 순서로 생각하면 논리적 오류를 줄일 수 있습니다.
  

• 21번

  — 여러 제한 조건이 걸린 순열, 조합 문제입니다. 단순히 공식에 대입하는 것이 아니라, 주어진 조건 (가), (나), (다)를 모두 만족하는 배열을 찾아내는 논리적 사고력을 측정합니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 (나)조건(이웃하지 않음)과 (다)조건(좌석 번호 차가 10이 아님)을 동시에 고려하는 과정에서 특정 케이스를 빼먹거나, 전체 경우에서 여사건을 빼려다 오히려 더 복잡한 계산에 빠지는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 조건 (가)를 이용해 A와 B의 자리를 먼저 고정하는 것입니다. A가 앉을 수 있는 자리(24, 25)와 B가 앉을 수 있는 자리(11, 12, 13, 14)의 조합은 몇 가지 되지 않으므로, 각 경우에 대해 남은 3명이 앉을 수 있는 자리를 (나), (다) 조건을 고려하여 직접 세는 것이 가장 확실하고 빠른 방법입니다.
  

• 27번

  — 이차함수와 직선의 교점, 그리고 선분의 내분점 개념을 융합한 문제입니다. 출제 의도는 두 그래프의 교점의 x좌표가 특정 이차방정식의 두 근임을 이해하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하여 내분점 공식에 활용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 두 교점 P, Q의 좌표를 직접 구하려고 시도하다가 복잡한 루트 계산에 막혀 시간을 허비했을 것입니다. 이 문제의 핵심 실마리는 P, Q의 x좌표를 각각 α, β라고 설정하는 것입니다. 그러면 α, β는 방정식 x²-2x = 3x+k, 즉 x²-5x-k=0의 두 근이 됩니다. 근과 계수의 관계(α+β=5, αβ=-k)와 문제에 주어진 내분점의 x좌표 공식 `(1*β + 2*α)/(1+2) = 1`을 연립하면 k값을 효율적으로 구할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 조건 제시법으로 주어진 집합의 성질을 추론하는, 높은 수준의 논리력을 요구하는 문제입니다. 단순히 집합의 연산 법칙을 아는 것을 넘어, '모든'이라는 양화사(quantifier)가 포함된 조건 (나)를 정확히 해석하는 것이 관건입니다. 학생들은 조건 (나) `X⊂U이고 n(X)=1인 모든 집합 X에 대하여 n((A∪X)-B)=1이다`를 한두 개의 예시만으로 파악하려다 성급한 일반화의 오류에 빠지기 쉽습니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 U의 모든 원소 a에 대해 X={a}를 대입해보는 것입니다. 예를 들어, a∈A인 경우 (A∪{a})-B = A-B 이므로 n(A-B)=1 이라는 결론을 얻을 수 있고, a∉A인 경우 (A∪{a})-B의 원소가 1개라는 사실로부터 a가 B에 속하는지 아닌지에 대한 정보를 얻어낼 수 있습니다. 이 과정을 모든 원소에 대해 반복하면 집합 B의 원소를 확정할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 원의 방정식과 도형의 넓이, 그리고 조건을 만족하는 점의 개수를 통해 미지수를 역으로 추론하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 원 위의 점과 x축 위의 두 점으로 만들어지는 삼각형의 넓이가 최대/최소가 되는 지점의 기하학적 의미를 파악하고, 주어진 점의 개수(3개)라는 조건을 통해 원의 위치를 특정할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 흔한 오답 패턴은 넓이가 8√2가 되는 점 P의 y좌표를 구한 뒤, 해당 y값을 갖는 점이 왜 3개인지에 대한 기하학적 고찰 없이 계산에만 매몰되는 경우입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 '점 P의 개수가 3개'라는 조건입니다. 삼각형 ABP의 밑변 AB는 x축 위에 고정되어 있으므로, 넓이는 높이, 즉 점 P의 |y좌표|에 의해 결정됩니다. 높이가 h인 점이 3개가 되려면, 하나는 원의 가장 높은 지점(y=-a+3a=2a) 또는 가장 낮은 지점(y=-a-3a=-4a)이어야 하고, 나머지 두 개는 대칭적으로 존재해야 합니다. 이 점을 파고들면 높이와 반지름의 관계를 파악하여 a값을 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 유리함수와 구간별로 정의된 새로운 함수, 그리고 그 그래프와 직선의 교점 개수를 분석하는 최고난도 문항입니다. 함수의 그래프를 추론하고, 주어진 교점 개수 정보를 통해 함수의 파라미터(a, b, k)를 결정하는 종합적인 능력을 요구합니다. 대부분의 학생들은 g(x)의 그래프를 그리는 단계부터 어려움을 겪었을 것이며, 특히 x≥a 구간의 f(x+2a)+a가 어떤 형태의 그래프인지 파악하는 것이 핵심 난관입니다. 이 문제의 돌파구는 h(t)=1이 되는 t의 범위가 `-9 ≤ t ≤ -8`이라는 사실에 있습니다. 이는 함수 g(x)의 그래프에서 극값(또는 그에 준하는 값)이 -8 또는 -9라는 것을 의미합니다. g(x)의 그래프는 x=a를 기준으로 두 유리함수가 합쳐진 형태이므로, x<a 부분의 유리함수가 점근선에 가까워지면서 만들어내는 값과 x≥a 부분에서 나타나는 꼭짓점 형태의 y값을 분석하여 a, b의 관계식을 찾아내야 합니다.