수학ETF	2022_고2_11월	기출문제
	1~30

[eqn: 2^{7 over 3} times 16^{2 over 3}]의 값은?

④

[eqn: 16 = 2^{4}]이므로 [eqn: 16^{2 over 3} = left ( 2^{4} right )^{2 over 3} = 2^{8 over 3}]

지수법칙에 의해

[eqn: 2^{7 over 3} times 16^{2 over 3} = 2^{7 over 3} times 2^{8 over 3}][eqn: = 2^{{7 over 3} + {8 over 3}}][eqn: = 2^{15 over 3}][eqn: = 2^{5} = 32]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{7} - a_{2}]의 값은?

④

등차수열 [eqn: a_{n}]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{n} = a_{1} + (n-1)d]이다.

[eqn: a_{7} - a_{2} = (a_{1} + 6d) - (a_{1} + d) = 5d]

공차가 [eqn: 3]이므로 [eqn: d = 3]에서

[eqn: a_{7} - a_{2} = 5 times 3 = 15]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: log` _{81} `12-log` _{81} `4]의 값은?

②

로그의 성질에 의해

[eqn: log_{81} 12 - log_{81} 4 = log_{81} left ( {12} over {4} right )][eqn: = log_{81} 3]

[eqn: 81 = 3^{4}]이므로

[eqn: log _{81} 3=log _{3 ^{4}} 3= {1} over {4} `log _{3} 3= {1} over {4}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: 2x+1 leq f(x) leq (x+1)^{2}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{x -> 0} (x+5)f(x)]의 값은?

⑤

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x+1 leq f(x) leq (x+1)^{2}]이고

[eqn: lim from {x -> 0} (2x+1) = 1], [eqn: lim from {x -> 0} (x+1)^{2} = 1]이므로

함수의 극한의 대소 관계에 의해

[eqn: lim from {x -> 0} f(x) = 1]

∴ [eqn: lim from {x -> 0} (x+5)f(x) = lim from {x -> 0} (x+5) times lim from {x -> 0} f(x) = 5 times 1 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0 leq x leq 3pi]일 때, 방정식 [eqn: sqrt {2} `cosx-1=0]의 모든 해의 합은?

③

방정식 [eqn: rm sqrt {2} cos`itx-1=0]에서 [eqn: cos x = {sqrt{2}} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 3 pi]에서 함수 [eqn: y = cos x]의 그래프와 직선 [eqn: y = {sqrt{2}} over {2}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x = {pi} over {4}] 또는 [eqn: x = 2 pi - {pi} over {4} = {7 pi} over {4}] 또는 [eqn: x = 2 pi + {pi} over {4} = {9 pi} over {4}]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: {pi} over {4} + {7 pi} over {4} + {9 pi} over {4} = {17} over {4} pi]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {15} over {4} pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: {17} over {4} pi]

④ [eqn: {9} over {2} pi]	⑤ [eqn: {19} over {4} pi]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow infty} {f(x)} over {x} = 3]일 때, [eqn: lim_{x rightarrow infty} {2x^{2}-1} over {left { f(x) right }^{2}+3x^{2}}]의 값은?

①

주어진 조건 [eqn: lim from {x -> inf} {f(x)} over {x} = 3]을 이용하기 위해 구하고자 하는 식의 분모와 분자를 각각 [eqn: x^{2}]으로 나누면

[eqn: lim from {x -> inf} {2x^{2}-1} over {left { f(x) right }^{2}+3x^{2}} = lim from {x -> inf} { {2x^{2}-1} over {x^{2}} } over { {left { f(x) right }^{2}+3x^{2}} over {x^{2}} }]

[eqn: = lim from {x -> inf} { 2 - {1} over {x^{2}} } over { left ( {f(x)} over {x} right )^{2} + 3 }]

이때 [eqn: lim from {x -> inf} {1} over {x^{2}} = 0]이고 [eqn: lim from {x -> inf} {f(x)} over {x} = 3]이므로

[eqn: lim from {x -> inf} { 2 - {1} over {x^{2}} } over { left ( {f(x)} over {x} right )^{2} + 3 } = { 2 - 0 } over { 3^{2} + 3 }][eqn: = {2} over {9 + 3}][eqn: = {2} over {12}][eqn: = {1} over {6}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow 0} left { f(x)+kg(x) right }]의 값이 존재할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

③

주어진 그래프에서 [eqn: x=0]에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하면

[eqn: lim from {x -> 0-} f(x) = 2], [eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = -1]

[eqn: lim from {x -> 0-} g(x) = 1], [eqn: lim from {x -> 0+} g(x) = 3]

[eqn: lim from {x -> 0} left { f(x)+kg(x) right }]의 값이 존재하려면 [eqn: x=0]에서의 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

[eqn: lim from {x -> 0-} left { f(x)+kg(x) right } = lim from {x -> 0+} left { f(x)+kg(x) right }]

[eqn: lim from {x -> 0-} f(x) + k lim from {x -> 0-} g(x) = lim from {x -> 0+} f(x) + k lim from {x -> 0+} g(x)]

[eqn: 2 + k times 1 = -1 + k times 3]에서 [eqn: k = {3} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

함수 [eqn: f(x)=log` _{a} `(3x+1)+2]가 닫힌구간 [eqn: [0,`5]]에서 최솟값 [eqn: {2} over {3}]를 가질 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양의 상수이다.)

②

함수 [eqn: f(x) = log_{a} (3x+1) + 2]의 밑 [eqn: a]의 값의 범위에 따라 경우를 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: a > 1]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f(x)]의 값도 증가하므로 [eqn: x=0]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f(0) = log_{a} 1 + 2 = 2]

이때 최솟값이 [eqn: {2} over {3}]라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: 0 < a < 1]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f(x)]의 값은 감소하므로 [eqn: x=5]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f(5) = log_{a} 16 + 2 = {2} over {3}]

[eqn: log_{a} 16 = -{4} over {3}], [eqn: a^{-{4} over {3}} = 16 = 2^{4}], [eqn: a = (2^{4})^{-{3} over {4}} = 2^{-3} = {1} over {8}]

이는 [eqn: 0 < a < 1]을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a = {1} over {8}]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 8]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: (x-1)f(x) = sqrt{x^{2}+3} + a]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

②

[eqn: x neq 1]일 때,

[eqn: f(x) = {sqrt{x^{2}+3} + a} over {x-1}]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서도 연속이다.

[eqn: f(1) = lim from {x -> 1} f(x) = lim from {x -> 1} {sqrt{x^{2}+3} + a} over {x-1}]

[eqn: x -> 1]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 1} ( sqrt{x^{2}+3} + a ) = 0]

[eqn: sqrt{1+3} + a = 0], [eqn: 2 + a = 0] ∴ [eqn: a = -2]

[eqn: a = -2]를 대입하여 극한값을 구하면

[eqn: f(1) = lim from {x -> 1} {sqrt{x^{2}+3} - 2} over {x-1}][eqn: = lim from {x -> 1} {( sqrt{x^{2}+3} - 2 )( sqrt{x^{2}+3} + 2 )} over {(x-1)( sqrt{x^{2}+3} + 2 )}]

[eqn: = lim from {x -> 1} {x^{2} + 3 - 4} over {(x-1)( sqrt{x^{2}+3} + 2 )}][eqn: = lim from {x -> 1} {x^{2} - 1} over {(x-1)( sqrt{x^{2}+3} + 2 )}]

[eqn: = lim from {x -> 1} {(x-1)(x+1)} over {(x-1)( sqrt{x^{2}+3} + 2 )}][eqn: = lim from {x -> 1} {x+1} over {sqrt{x^{2}+3} + 2}][eqn: = {1+1} over {sqrt{4} + 2}]

[eqn: = {2} over {4} = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 6]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f'(4)]의 값은?

①

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = x^{2} + ax + b]라 하면

[eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 6]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 0]이므로

[eqn: {f(6) - f(0)} over {6 - 0} = 0]

[eqn: f(6) = 36 + 6a + b], [eqn: f(0) = b]이므로

[eqn: {36 + 6a + b - b} over {6} = 0], [eqn: 6 + a = 0] ∴ [eqn: a = -6]

따라서 [eqn: f(x) = x^{2} - 6x + b]이므로 도함수 [eqn: f'(x)]는

[eqn: f'(x) = 2x - 6]

∴ [eqn: f'(4) = 2 times 4 - 6 = 2]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+h)-f(1-h)} over {h} = 6]일 때, [eqn: lim_{x rightarrow 1} {f(x^{3})-f(1)} over {x-1}]의 값은?

①

[eqn: f(x)]가 다항함수이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

[eqn: lim from {h -> 0} {f(1+h)-f(1-h)} over {h}]

[eqn: = lim from {h -> 0} {f(1+h)-f(1)} over {h} + lim from {h -> 0} {f(1-h)-f(1)} over {-h}]

[eqn: = f'(1) + f'(1) = 2f'(1)]

[eqn: 2f'(1) = 6]이므로 [eqn: f'(1) = 3]이다.

구하고자 하는 극한식의 분모와 분자에 [eqn: x^{2}+x+1]을 곱하면

[eqn: lim from {x -> 1} {f(x^{3})-f(1)} over {x-1}][eqn: = lim from {x -> 1} left ( {f(x^{3})-f(1)} over {x^{3}-1} times (x^{2}+x+1) right )]

[eqn: = lim from {x -> 1} {f(x^{3})-f(1)} over {x^{3}-1} times lim from {x -> 1} (x^{2}+x+1)]

[eqn: = f'(1) times (1^{2}+1+1) = 3f'(1)]

[eqn: f'(1) = 3]이므로 [eqn: 3f'(1) = 3 times 3 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{10} = 4]이고 [eqn: sum_{k=1}^{9} (a_{k} + a_{k+1}) = 25]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값은?

⑤

[eqn: sum from {k=1} to {9} (a_{k} + a_{k+1}) = 25]에서 시그마의 성질에 의해

[eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} + sum from {k=1} to {9} a_{k+1} = 25]

이때 [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = S]라 하면

[eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} = S - a_{10}], [eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k+1} = S - a_{1}] 이므로

[eqn: (S - a_{10}) + (S - a_{1}) = 25], [eqn: 2S - (a_{1} + a_{10}) = 25]

[eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{10} = 4]이므로

[eqn: 2S - (1 + 4) = 25], [eqn: 2S - 5 = 25], [eqn: 2S = 30] ∴ [eqn: S = 15]

즉, [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 15]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmP LEFT ( ita,`b RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( ita ^{2} ,`-2b ^{2} RIGHT )] ([eqn: a > 0], [eqn: b > 0])이 있다. 두 동경 [eqn: rmOP], [eqn: rmOQ]가 나타내는 각의 크기를 각각 [eqn: theta_{1}], [eqn: theta_{2}]라 하자. [eqn: tan theta_{1} + tan theta_{2} = 0]일 때, [eqn: sin theta_{1}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

②

점 [eqn: RMP(ITa,b)]에서 [eqn: a > 0], [eqn: b > 0]이므로 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다. 따라서 [eqn: tan theta_{1} = {b} over {a}]이다.

점 [eqn: rmQ(ita ^{2} ,-2b ^{2} )]에서 [eqn: a^{2} > 0], [eqn: -2b^{2} < 0]이므로 점 [eqn: rmQ]는 제[eqn: 4]사분면 위의 점이다. 따라서 [eqn: tan theta_{2} = {-2b^{2}} over {a^{2}}]이다.

주어진 조건 [eqn: tan theta_{1} + tan theta_{2} = 0]에서

[eqn: {b} over {a} + {-2b^{2}} over {a^{2}} = 0], [eqn: {ab - 2b^{2}} over {a^{2}} = 0], [eqn: b(a - 2b) = 0]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: a = 2b]이다.

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rmP(it2b,b)]이므로 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP] 사이의 거리는 [eqn: rm {bar{OP}} `=it sqrt {(2b) ^{2} +b ^{2}} = sqrt {5b ^{2}} = sqrt {5} b]

따라서 [eqn: sin theta_{1} = {b} over {sqrt{5}b} = {1} over {sqrt{5}} = {sqrt{5}} over {5}]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: {sqrt{6}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt{7}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt{2}} over {5}]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} -4&``` LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )#a _{n} ` ^{2}&``` LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]
일 때, [eqn: sum_{k=1}^{22} a_{k}]의 값은?

③

주어진 귀납적 정의에 따라 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 항을 차례로 구하면

[eqn: a_{1} = 1]

[eqn: a_{1} geq 0]이므로 [eqn: a_{2} = 1 - 4 = -3]

[eqn: a_{2} < 0]이므로 [eqn: a_{3} = (-3)^{2} = 9]

[eqn: a_{3} geq 0]이므로 [eqn: a_{4} = 9 - 4 = 5]

[eqn: a_{4} geq 0]이므로 [eqn: a_{5} = 5 - 4 = 1]

[eqn: a_{5} geq 0]이므로 [eqn: a_{6} = 1 - 4 = -3]

[eqn: a_{6} < 0]이므로 [eqn: a_{7} = (-3)^{2} = 9]

[eqn: a_{7} geq 0]이므로 [eqn: a_{8} = 9 - 4 = 5]

[eqn: a_{8} geq 0]이므로 [eqn: a_{9} = 5 - 4 = 1]

[eqn: a_{9} geq 0]이므로 [eqn: a_{10} = 1 - 4 = -3]

즉, 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: 1, -3, 9, 5]가 이 순서대로 반복되는 주기수열이다.

주기가 [eqn: 4]이므로 한 주기의 합은

[eqn: a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1 - 3 + 9 + 5 = 12]

구하고자 하는 합은 [eqn: 22]개의 항의 합이므로

[eqn: 22 = 4 times 5 + 2]에서

[eqn: sum from {k=1} to {22} a_{k} = 5 times (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{21} + a_{22}]

이때 [eqn: a_{21} = a_{1} = 1], [eqn: a_{22} = a_{2} = -3]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {22} a_{k} = 5 times 12 + 1 - 3 = 58]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 50]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 66]

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{20} a_{k} + sum_{k=1}^{10} a_{2k} = 0]
이 성립한다. [eqn: a_{3} + a_{4} = 3]일 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

④

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면 [eqn: a_{n} = a r^{n-1}]

만약 [eqn: r=1]이면 [eqn: sum from {k=1} to {20} a_{k} = 20a], [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{2k} = 10a]이므로 [eqn: 30a=0]에서 [eqn: a=0]이 되어 [eqn: a_{3}+a_{4}=3]을 만족하지 않는다.

만약 [eqn: r=-1]이면 [eqn: sum from {k=1} to {20} a_{k} = 0], [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{2k} = -10a]이므로 [eqn: -10a=0]에서 [eqn: a=0]이 되어 [eqn: a_{3}+a_{4}=3]을 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: r neq 1], [eqn: r neq -1]이므로 등비수열의 합 공식에 의해

[eqn: sum from {k=1} to {20} a_{k} = {a(1-r^{20})} over {1-r}], [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{2k} = {ar(1-r^{20})} over {1-r^{2}}]

주어진 조건에 대입하면

[eqn: {a(1-r^{20})} over {1-r} + {ar(1-r^{20})} over {1-r^{2}} = 0], [eqn: {a(1-r^{20})} over {1-r} left ( 1 + {r} over {1+r} right ) = 0]

[eqn: a neq 0]이고 [eqn: r^{20} neq 1]이므로

[eqn: 1 + {r} over {1+r} = 0], [eqn: {2r+1} over {r+1} = 0]∴ [eqn: r = -{1} over {2}]

[eqn: a_{3} + a_{4} = 3]에서 [eqn: a r^{2} + a r^{3} = 3], [eqn: a r^{2} (1+r) = 3]

[eqn: r = -{1} over {2}]를 대입하면

[eqn: a left ( -{1} over {2} right )^{2} left ( 1 - {1} over {2} right ) = 3], [eqn: a times {1} over {4} times {1} over {2} = 3], [eqn: {a} over {8} = 3] ∴ [eqn: a = 24]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: 3 sin^{2} left ( theta + {2} over {3} pi right ) = 8 sin left ( theta + {pi} over {6} right )]일 때, [eqn: cos left ( theta - {pi} over {3} right )]의 값은?

④

[eqn: theta + {2} over {3} pi = left ( theta + {pi} over {6} right ) + {pi} over {2}]이므로

[eqn: sin left ( theta + {2} over {3} pi right ) = sin left { left ( theta + {pi} over {6} right ) + {pi} over {2} right } = cos left ( theta + {pi} over {6} right )]

주어진 방정식에 대입하면

[eqn: 3 cos^{2} left ( theta + {pi} over {6} right ) = 8 sin left ( theta + {pi} over {6} right )]

[eqn: 3 left { 1 - sin^{2} left ( theta + {pi} over {6} right ) right } = 8 sin left ( theta + {pi} over {6} right )]

[eqn: 3 sin^{2} left ( theta + {pi} over {6} right ) + 8 sin left ( theta + {pi} over {6} right ) - 3 = 0]

[eqn: left { 3 sin left ( theta + {pi} over {6} right ) - 1 right } left { sin left ( theta + {pi} over {6} right ) + 3 right } = 0]

[eqn: -1 leq sin left ( theta + {pi} over {6} right ) leq 1]이므로 [eqn: sin left ( theta + {pi} over {6} right ) = {1} over {3}]

한편, [eqn: theta - {pi} over {3} = left ( theta + {pi} over {6} right ) - {pi} over {2}]이므로

[eqn: cos LEFT ( theta - {pi } over {3} RIGHT ) =cos LEFT { LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) - {pi } over {2} RIGHT }][eqn: =cos LEFT { {pi } over {2} - LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT } =sin LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT )]

∴ [eqn: cos left ( theta - {pi} over {3} right ) = {1} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = (x^{2} - 2x + 2)f(x)]
라 하자. [eqn: lim_{x rightarrow 2} {g(x) - 1} over {2f(x) - 1} = -2]일 때, [eqn: g'(2)]의 값은?

②

[eqn: g(x) = (x^{2} - 2x + 2)f(x)]에서 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g(2) = (4 - 4 + 2)f(2) = 2f(2)]

[eqn: lim from {x -> 2} {g(x) - 1} over {2f(x) - 1} = -2]에서 [eqn: x -> 2]일 때 극한값이 존재하고, 만약 [eqn: 2f(2) - 1 neq 0]이라면

[eqn: lim from {x -> 2} {g(x) - 1} over {2f(x) - 1} = {g(2) - 1} over {2f(2) - 1} = {2f(2) - 1} over {2f(2) - 1} = 1]이 되어 극한값이 [eqn: -2]라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: 2f(2) - 1 = 0]이어야 하므로 [eqn: f(2) = {1} over {2}]이고 [eqn: g(2) = 1]이다.

주어진 극한식을 미분계수의 정의를 이용하여 변형하면

[eqn: lim from {x -> 2} {g(x) - 1} over {2f(x) - 1} = lim from {x -> 2} { {g(x) - g(2)} over {x - 2} } over { 2 {f(x) - f(2)} over {x - 2} }][eqn: = {g'(2)} over {2f'(2)} = -2]

∴ [eqn: g'(2) = -4f'(2)] ……①

한편, [eqn: g(x) = (x^{2} - 2x + 2)f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = (2x - 2)f(x) + (x^{2} - 2x + 2)f'(x)]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g'(2) = 2f(2) + 2f'(2)]

[eqn: f(2) = {1} over {2}]이므로 [eqn: g'(2) = 1 + 2f'(2)] ……②

①, ②에서

[eqn: -4f'(2) = 1 + 2f'(2)], [eqn: 6f'(2) = -1]∴ [eqn: f'(2) = - {1} over {6}]

따라서 [eqn: g'(2) = -4 times left ( - {1} over {6} right ) = {2} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[eqn: 1]이 아닌 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=2 ^{{1} over {log` _{2} `x}}] 이라 하자. 다음은 방정식 [eqn: 8 times f(f(x))=f(x^{2})]의 모든 해의 곱을 구하는 과정이다.

[eqn: x neq 1]인 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(f(x))=2 ^{{1} over {log` _{2} `f(x)}}]에서

[eqn: 8 TIMES f(f(x))=2 ^{LEFT ( box{```(가)```}+ {1} over {log` _{2} `f(x)} RIGHT )}]이고,

[eqn: f(x)=2 ^{{1} over {log` _{2} `x}}]에서 [eqn: log` _{2} `f(x)= {1} over {box{```(나)```}}]이다.

방정식 [eqn: 8 times f(f(x))=f(x^{2})]에서

[eqn: 2 ^{LEFT ( ` {BOX{```(가)```}} + {BOX{```(나)```}} ` RIGHT )} =2 ^{{1} over {2log` _{2} `x}}]

[eqn: box{```(가)```}+box{```(나)```}= {1} over {2log` _{2} `x}]

그러므로 방정식 [eqn: 8 times f(f(x))=f(x^{2})]의 모든 해는

방정식 [eqn: LEFT ( `box{```(가)```}+box{```(나)```}` RIGHT ) TIMES 2log` _{2} `x=1]의

모든 해와 같다.

따라서 방정식 [eqn: 8 times f(f(x))=f(x^{2})]의 모든 해의 곱은

[eqn: box{```(다)```}] 이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: p times q times g(4)]의 값은?

⑤

[eqn: 8 times f(f(x)) = 2^{3} times 2^{1 over {log_{2} f(x)}} = 2^{3 + {1 over {log_{2} f(x)}}}]이므로

(가)에 알맞은 수는 [eqn: 3]이다.

∴ [eqn: p = 3]

[eqn: f(x) = 2^{1 over {log_{2} x}}]의 양변에 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: log_{2} f(x) = {1 over {log_{2} x}}]이므로

(나)에 알맞은 식은 [eqn: log_{2} x]이다.

∴ [eqn: g(x) = log_{2} x]

방정식 [eqn: 8 times f(f(x)) = f(x^{2})]에서

[eqn: 2^{3 + log_{2} x} = 2^{1 over {2 log_{2} x}}]이므로

[eqn: 3 + log_{2} x = {1 over {2 log_{2} x}}]

양변에 [eqn: 2 log_{2} x]를 곱하여 정리하면

[eqn: 2 ( log_{2} x )^{2} + 6 log_{2} x - 1 = 0]

이 방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: log_{2} alpha], [eqn: log_{2} beta]는 이차방정식 [eqn: 2t^{2} + 6t - 1 = 0]의 두 근이므로

근과 계수의 관계에서

[eqn: log_{2} alpha + log_{2} beta = -3], [eqn: log_{2} ( alpha beta ) = -3] ∴ [eqn: alpha beta = 2^{-3} = {1 over {8}}]

따라서 (다)에 알맞은 수는 [eqn: {1 over {8}}]이다.

∴ [eqn: q = {1 over {8}}]

[eqn: p times q times g(4) = 3 times {1 over {8}} times log_{2} 4 = 3 times {1 over {8}} times 2 = {3 over {4}}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

두 집합
[eqn: A= LEFT { (x,`y)`|`x ^{2} +y ^{2} =5,`y GEQ 0 RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { (x,`y)`|`y=2 LEFT | x RIGHT | RIGHT }]
에 대하여 좌표평면에서 집합 [eqn: A cup B]가 나타내는 도형을 [eqn: S]라 하자. 양의 실수 [eqn: m]에 대하여 직선 [eqn: y = m(x+5)]가 도형 [eqn: S]와 만나는 점의 개수를 [eqn: f(m)]이라 할 때, 열린구간 [eqn: (0, infty)]에서 함수 [eqn: f(m)]은 [eqn: m = alpha_{1}], [eqn: m = alpha_{2}], [eqn: m = alpha_{3}]에서만 불연속이다. [eqn: alpha_{1} + alpha_{2} + alpha_{3}]의 값은?

①

도형 [eqn: S]는 반원 [eqn: x^{2} + y^{2} = 5] ([eqn: y geq 0])와 [eqn: y = 2 left | x right |]의 그래프의 합집합이다.

집합 [eqn: A]와 [eqn: B]의 교점을 구하면

[eqn: x^{2} + (2 left | x right |)^{2} = 5]에서 [eqn: 5x^{2} = 5]이므로 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 1]

따라서 교점은 [eqn: (-1, 2)], [eqn: (1, 2)]이다.

직선 [eqn: y = m(x+5)]는 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-5, 0)]을 지난다.

교점의 개수 [eqn: f(m)]이 변하는 경계는 다음과 같다.

(ⅰ) 직선이 점 [eqn: (1, 2)]를 지날 때

[eqn: 2 = m(1+5)]에서 [eqn: m = {1} over {3}]

(ⅱ) 직선이 반원 [eqn: x^{2} + y^{2} = 5] ([eqn: y geq 0])에 접할 때

원점 [eqn: (0, 0)]과 직선 [eqn: mx - y + 5m = 0] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{5}]이므로 [eqn: {left | 5m right |} over {sqrt{m^{2} + 1}} = sqrt{5}]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 25m^{2} = 5(m^{2} + 1)]

[eqn: 20m^{2} = 5]에서 [eqn: m^{2} = {1} over {4}]

[eqn: m > 0]이므로 [eqn: m = {1} over {2}]

(이때 접점은 [eqn: (-1, 2)]이므로 직선이 점 [eqn: (-1, 2)]를 지날 때와 일치한다.)

(ⅲ) 직선이 [eqn: y = 2x] ([eqn: x geq 0])와 평행할 때

[eqn: m = 2]

[eqn: m]의 값에 따른 [eqn: f(m)]을 구하면

[eqn: 0 < m < {1} over {3}]일 때 [eqn: f(m) = 4]

[eqn: m = {1} over {3}]일 때 [eqn: f(m) = 3]

[eqn: {1} over {3} < m < {1} over {2}]일 때 [eqn: f(m) = 4]

[eqn: m = {1} over {2}]일 때 [eqn: f(m) = 2]

[eqn: {1} over {2} < m < 2]일 때 [eqn: f(m) = 2]

[eqn: m geq 2]일 때 [eqn: f(m) = 1]

따라서 함수 [eqn: f(m)]은 [eqn: m = {1} over {3}], [eqn: m = {1} over {2}], [eqn: m = 2]에서 불연속이다.

[eqn: alpha_{1} + alpha_{2} + alpha_{3} = {1} over {3} + {1} over {2} + 2 = {17} over {6}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {17} over {6}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {19} over {6}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

반지름의 길이가 [eqn: sqrt{3}]인 원 [eqn: C] 에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: rmangle BAC]의 이등분선이 원 [eqn: C] 와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmrmD]라 하고, 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmAD]의 교점을 [eqn: rmE]라 하자. [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{3}]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rmsin(angle DBE) = {1} over {2}] ㄴ. [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} +9] ㄷ. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmBDE]의 넓이의 [eqn: 4]배가 되도록 하는 모든 [eqn: rmoverline{BE}]의 값의 합은 [eqn: {9} over {4}]이다.

⑤

ㄱ. [eqn: rmangle BAC]의 이등분선이 원 [eqn: C] 와 만나는 점이 [eqn: rmD]이므로 [eqn: rmangle BAD = angle CAD = theta]라 하면

원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle CBD = angle CAD = theta]이다.

따라서 [eqn: rmangle DBE = theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙을 적용하면 원 [eqn: C] 의 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{3}]이므로 [eqn: rm {{bar{rmBD}}} over {sin theta } =2 TIMES sqrt {3}]

[eqn: rmoverline{BD} = sqrt{3}]이므로 [eqn: sin theta = {1} over {2}]

[eqn: rmangle DBE = theta]이므로 [eqn: rmsin ( angle DBE ) = {1} over {2}]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: sin theta = {1} over {2}]이고 [eqn: theta]는 예각이므로 [eqn: theta = 30^{circ}]이다.

따라서 [eqn: rmangle BAC = 60^{circ}]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {{bar{rmBC}}} over {sin60 ^{CIRC }} =2 sqrt {3}]에서 [eqn: rmoverline{BC} = 3]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} TIMES cos60 ^{CIRC }]

[eqn: rm 9= {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} - {bar{AB}} TIMES {bar{AC}}]

∴ [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} +9] (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S_{1}], 삼각형 [eqn: rmBDE]의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 하면

[eqn: rm S _{1} = {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} TIMES sin60 ^{CIRC } = {sqrt {3}} over {4} rm {bar{AB}} TIMES {bar{AC}}]

원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle BDE = angle BCA]이고, [eqn: rmangle DBE = 30^{circ}]이므로

[eqn: rm S _{2} = {1} over {2} TIMES {bar{BD}} TIMES {bar{BE}} TIMES sin30 ^{CIRC } = {sqrt {3}} over {4} {bar{rmBE}}]

[eqn: S_{1} = 4 S_{2}]이므로 [eqn: rm{sqrt{3}} over {4} overline{AB} times overline{AC} = sqrt{3} overline{BE}]

∴ [eqn: rmoverline{AB} times overline{AC} = 4 overline{BE}] ……①

삼각형 [eqn: rmABC]에서 각의 이등분선의 성질에 의해 [eqn: rmoverline{AB} : overline{AC} = overline{BE} : overline{CE}]이므로

[eqn: rmoverline{CE} = {overline{AC}} over {overline{AB}} overline{BE}]

[eqn: rmoverline{BC} = overline{BE} + overline{CE} = overline{BE} left ( 1 + {overline{AC}} over {overline{AB}} right ) = overline{BE} {overline{AB} + overline{AC}} over {overline{AB}} = 3]

따라서 [eqn: rmoverline{BE} = {3 overline{AB}} over {overline{AB} + overline{AC}}]

①에 대입하면 [eqn: rmoverline{AB} times overline{AC} = {12 overline{AB}} over {overline{AB} + overline{AC}}]

[eqn: rmoverline{AB} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AC} ( overline{AB} + overline{AC} ) = 12]

즉, [eqn: rm {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} + {bar{AC}} ^{2} =12]

①에 의해 [eqn: rm 4 {bar{BE}} + {bar{AC}} ^{2} =12]이므로 [eqn: rm {bar{AC}} ^{2} =12-4 {bar{BE}}] ……②

ㄴ에서 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} +9]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} +12-4 {bar{BE}} =4 {bar{BE}} +9]

∴ [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} =8 {bar{BE}} -3] ……③

①의 양변을 제곱하면 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} TIMES {bar{AC}} ^{2} =16 {bar{BE}} ^{2}]

②, ③을 대입하면 [eqn: rm (8 {bar{BE}} -3)(12-4 {bar{BE}} )=16 {bar{BE}} ^{2}]

[eqn: rm 96 {bar{BE}} -32 {bar{BE}} ^{2} -36+12 {bar{BE}} =16 {bar{BE}} ^{2}]

[eqn: rm 48 {bar{BE}} ^{2} -108 {bar{BE}} +36=0]

[eqn: rm 4 {bar{BE}} ^{2} -9 {bar{BE}} +3=0]

이 이차방정식의 판별식 [eqn: D]에 대하여 [eqn: D = ( -9 )^{2} - 4 times 4 times 3 = 33 > 0]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 모든 [eqn: rmoverline{BE}]의 값의 합은 [eqn: {9} over {4}]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

공차가 음수인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은?

[eqn: left | a_{m} right | = 2 left | a_{m+2} right |]이면서

[eqn: S_{m}], [eqn: S_{m+1}], [eqn: S_{m+2}] 중에서 가장 큰 값이 [eqn: 460]이고

가장 작은 값이 [eqn: 450]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

(단, [eqn: S_{n}]은 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.)

③

등차수열 [eqn: a_{n}]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: d < 0]이다.

[eqn: left | a_{m} right | = 2 left | a_{m+2} right |]에서

(ⅰ) [eqn: a_{m}]과 [eqn: a_{m+2}]의 부호가 같은 경우

[eqn: a_{m} = 2 a_{m+2}]이므로 [eqn: a_{m} = 2(a_{m} + 2d)]에서 [eqn: a_{m} = -4d]

[eqn: d < 0]이므로 [eqn: a_{m} > 0], [eqn: a_{m+1} = -3d > 0], [eqn: a_{m+2} = -2d > 0]

[eqn: a_{m+1} > 0], [eqn: a_{m+2} > 0]이므로 [eqn: S_{m} < S_{m+1} < S_{m+2}]

따라서 가장 큰 값은 [eqn: S_{m+2} = 460], 가장 작은 값은 [eqn: S_{m} = 450]이다.

[eqn: S_{m+2} - S_{m} = a_{m+1} + a_{m+2} = -5d = 10]

∴ [eqn: d = -2]

[eqn: a_{m} = -4(-2) = 8]이므로 [eqn: a_{1} + (m-1)(-2) = 8]에서 [eqn: a_{1} = 2m + 6]

[eqn: S_{m} = {m(a_{1} + a_{m})} over {2} = {m(2m+6+8)} over {2} = m(m+7) = 450]

[eqn: m^{2} + 7m - 450 = 0], [eqn: (m+25)(m-18) = 0]

[eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m = 18]

∴ [eqn: a_{1} = 2 times 18 + 6 = 42]

(ⅱ) [eqn: a_{m}]과 [eqn: a_{m+2}]의 부호가 다른 경우

[eqn: d < 0]이므로 [eqn: a_{m} > 0], [eqn: a_{m+2} < 0]이다.

[eqn: a_{m} = -2 a_{m+2}]이므로 [eqn: a_{m} = -2(a_{m} + 2d)]에서 [eqn: 3a_{m} = -4d], [eqn: a_{m} = -{4} over {3} d]

[eqn: a_{m+1} = a_{m} + d = -{1} over {3} d > 0], [eqn: a_{m+2} = a_{m} + 2d = {2} over {3} d < 0]

[eqn: a_{m+1} > 0], [eqn: a_{m+2} < 0]이므로 [eqn: S_{m} < S_{m+1}]이고 [eqn: S_{m+1} > S_{m+2}]

따라서 가장 큰 값은 [eqn: S_{m+1} = 460]이다.

[eqn: S_{m+2} - S_{m} = a_{m+1} + a_{m+2} = {1} over {3} d < 0]이므로 [eqn: S_{m+2} < S_{m}]

따라서 가장 작은 값은 [eqn: S_{m+2} = 450]이다.

[eqn: S_{m+1} - S_{m+2} = -a_{m+2} = 10]이므로 [eqn: a_{m+2} = -10]

[eqn: {2} over {3} d = -10]에서 [eqn: d = -15]

[eqn: a_{m+1} = -{1} over {3} (-15) = 5]이므로 [eqn: a_{1} + m(-15) = 5]에서 [eqn: a_{1} = 15m + 5]

[eqn: S_{m+1} = {(m+1)(a_{1} + a_{m+1})} over {2} = {(m+1)(15m+5+5)} over {2} = 460]

[eqn: (m+1)(15m+10) = 920], [eqn: 3m^{2} + 5m - 182 = 0], [eqn: (3m+26)(m-7) = 0]

[eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m = 7]

∴ [eqn: a_{1} = 15 times 7 + 5 = 110]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은 [eqn: 42 + 110 = 152]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 144]	② [eqn: 148]	③ [eqn: 152]

④ [eqn: 156]	⑤ [eqn: 160]

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-5x+8]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} - 5x + 8]을 미분하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 5]

[eqn: x = 2]를 대입하면

[eqn: f'(2) = 3 times 2^{2} - 5 = 12 - 5 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{2} = 2], [eqn: a_{6} = 9]일 때, [eqn: a_{3} times a_{5}]의 값을 구하시오.

[eqn: 18]

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{2} = a r = 2] ……①

[eqn: a_{6} = a r^{5} = 9] ……②

구하고자 하는 값은 [eqn: a_{3} times a_{5}]이므로

[eqn: a_{3} times a_{5} = a r^{2} times a r^{4} = a^{2} r^{6}]

[eqn: a^{2} r^{6} = (a r) times (a r^{5})]이므로

①, ②에서 [eqn: a_{3} times a_{5} = 2 times 9 = 18]

따라서 정답은 [eqn: 18]이다.

함수 [eqn: y = 2^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 그래프가 함수 [eqn: y=log` _{2} `(4x-b)]의 그래프와 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 14]

함수 [eqn: y = 2^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 그래프의 식은

[eqn: y = 2^{x-a} + 3] ……①

함수 [eqn: y = log_{2}(4x-b)]의 그래프와 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭인 그래프는 이 함수의 역함수의 그래프와 같다.

[eqn: y = log_{2}(4x-b)]에서 [eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면

[eqn: x = log_{2}(4y-b)]

로그의 정의에서 [eqn: 2^{x} = 4y-b]

[eqn: 4y = 2^{x} + b], [eqn: y = {1} over {4} times 2^{x} + {b} over {4}], [eqn: y = 2^{-2} times 2^{x} + {b} over {4}]

[eqn: y = 2^{x-2} + {b} over {4}] ……②

①과 ②의 식이 일치해야 하므로 [eqn: a = 2], [eqn: {b} over {4} = 3]

[eqn: a = 2], [eqn: b = 12]

∴ [eqn: a+b = 2+12 = 14]

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 호 [eqn: rmAC]의 길이가 [eqn: pi]이고 부채꼴 [eqn: rmOBC]의 넓이가 [eqn: 15 pi]이다. 선분 [eqn: rmrmOA]의 길이를 구하시오. (단, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmB]도 아니다.)

[eqn: 6]

그래프에서 점 [eqn: rmA], [eqn: rmO], [eqn: rmB]는 일직선 상에 순서대로 위치하므로 [eqn: rmangle AOB = pi]이다.

반원의 반지름의 길이를 [eqn: r] ([eqn: r > 0]), [eqn: rmangle AOC = theta] ([eqn: 0 < theta < pi])라 하면

호 [eqn: rmAC]의 길이가 [eqn: pi]이므로 [eqn: r theta = pi] ……①

[eqn: rmangle AOB = pi]이므로 [eqn: rmangle BOC = pi - theta]이다.

부채꼴 [eqn: rmOBC]의 넓이가 [eqn: 15 pi]이므로 [eqn: {1} over {2} r^{2} (pi - theta) = 15 pi] ……②

①에서 [eqn: theta = {pi} over {r}]이므로 이를 ②에 대입하면 [eqn: {1} over {2} r^{2} left ( pi - {pi} over {r} right ) = 15 pi]

양변을 [eqn: pi]로 나누고 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: r^{2} - r = 30], [eqn: r^{2} - r - 30 = 0], [eqn: (r - 6)(r + 5) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 6]

선분 [eqn: rmOA]의 길이는 반원의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n} = {n} over {2n+1}]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{6} {1} over {a_{k}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 358]

[eqn: S_{n} = {n} over {2n+1}]에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{1} = S_{1} = {1} over {3}]

[eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: a_{n} = S_{n} - S_{n-1}][eqn: = {n} over {2n+1} - {n-1} over {2n-1}]

[eqn: = {n(2n-1) - (n-1)(2n+1)} over {(2n+1)(2n-1)}][eqn: = {2n^{2} - n - (2n^{2} - n - 1)} over {4n^{2} - 1}]

[eqn: = {1} over {4n^{2} - 1}]

이 식에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: a_{1} = {1} over {3}]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} = {1} over {4n^{2} - 1}]이다.

따라서 [eqn: {1} over {a_{k}} = 4k^{2} - 1]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {6} {1} over {a_{k}} = sum from {k=1} to {6} (4k^{2} - 1)][eqn: = 4 sum from {k=1} to {6} k^{2} - sum from {k=1} to {6} 1]

[eqn: = 4 times {6 times 7 times 13} over {6} - 6][eqn: = 4 times 91 - 6][eqn: = 364 - 6 = 358]

따라서 정답은 [eqn: 358]이다.

일차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: lim_{x rightarrow -3} {f(x)g(x)} over {(x+3)^{2}} = 4], [eqn: lim_{x rightarrow -3} {f(x)+g(x)} over {x+3} = -4]
일 때, [eqn: g(2)-f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: lim from {x -> -3} {f(x)g(x)} over {(x+3)^{2}} = 4]에서 극한값이 존재하고 [eqn: x -> -3]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 가므로 분자도 [eqn: 0]으로 가야 한다.

즉, [eqn: f(-3)g(-3) = 0]이다.

또한 [eqn: lim from {x -> -3} {f(x)+g(x)} over {x+3} = -4]에서 극한값이 존재하고 [eqn: x -> -3]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 가므로 분자도 [eqn: 0]으로 가야 한다.

즉, [eqn: f(-3)+g(-3) = 0]이다.

따라서 [eqn: f(-3) = 0], [eqn: g(-3) = 0]이다.

[eqn: f(x)]는 일차함수이고 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) = a(x+3)] ([eqn: a neq 0]), [eqn: g(x) = (x+3)(x-k)]라 하면

[eqn: lim _{x -> -3} {} {f(x)g(x)} over {(x+3) ^{2}} = lim _{x -> -3} {} {a(x+3) ^{2} (x-k)} over {(x+3) ^{2}}][eqn: = lim _{x -> -3} {} a(x-k)=-a(k+3)=4] ……①

[eqn: lim _{x -> -3} {} {f(x)+g(x)} over {x+3} = lim _{x -> -3} {} {a(x+3)+(x+3)(x-k)} over {x+3}][eqn: = lim _{x -> -3} {} (a+x-k)=a-k-3=-4] ……②

②에서 [eqn: k = a+1]

이를 ①에 대입하면

[eqn: -a(a+1+3) = 4], [eqn: a^{2}+4a+4 = 0], [eqn: (a+2)^{2} = 0] ∴ [eqn: a = -2]

[eqn: a = -2]를 [eqn: k = a+1]에 대입하면 [eqn: k = -1]

따라서 [eqn: f(x) = -2(x+3)], [eqn: g(x) = (x+3)(x+1)]이다.

[eqn: f(2) = -2 times 5 = -10], [eqn: g(2) = 5 times 3 = 15]

∴ [eqn: g(2)-f(2) = 15 - (-10) = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,`n]]에서 함수 [eqn: y = 2 sin left { {pi} over {6} (x+1) right }]의 최댓값을 [eqn: f(n)], 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 할 때, 부등식 [eqn: 2 < f(n) - g(n) < 4]를 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 13]

함수 [eqn: h(x) = 2 sin left { {pi} over {6} (x+1) right }]이라 하면 [eqn: h(x)]의 주기는 [eqn: {2pi} over {{pi} over {6}} = 12]이다.

[eqn: x geq 0]인 정수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x)]의 값을 구하면

[eqn: h(0) = 2 sin left ( {pi} over {6} right ) = 1], [eqn: h(1) = 2 sin left ( {pi} over {3} right ) = sqrt{3}]

[eqn: h(2) = 2 sin left ( {pi} over {2} right ) = 2], [eqn: h(3) = 2 sin left ( {2pi} over {3} right ) = sqrt{3}]

[eqn: h(4) = 2 sin left ( {5pi} over {6} right ) = 1], [eqn: h(5) = 2 sin left ( pi right ) = 0]

[eqn: h(6) = 2 sin left ( {7pi} over {6} right ) = -1], [eqn: h(7) = 2 sin left ( {4pi} over {3} right ) = -sqrt{3}]

[eqn: h(8) = 2 sin left ( {3pi} over {2} right ) = -2]

닫힌구간 [eqn: [0, n]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값 [eqn: f(n)]과 최솟값 [eqn: g(n)]을 구하여 [eqn: f(n) - g(n)]의 값을 계산하면

(ⅰ) [eqn: n = 1]일 때, [eqn: f(1) = sqrt{3}], [eqn: g(1) = 1]이므로 [eqn: f(1) - g(1) = sqrt{3} - 1]

(ⅱ) [eqn: n = 2, 3, 4]일 때, [eqn: f(n) = 2], [eqn: g(n) = 1]이므로 [eqn: f(n) - g(n) = 1]

(ⅲ) [eqn: n = 5]일 때, [eqn: f(5) = 2], [eqn: g(5) = 0]이므로 [eqn: f(5) - g(5) = 2]

(ⅳ) [eqn: n = 6]일 때, [eqn: f(6) = 2], [eqn: g(6) = -1]이므로 [eqn: f(6) - g(6) = 3]

(ⅴ) [eqn: n = 7]일 때, [eqn: f(7) = 2], [eqn: g(7) = -sqrt{3}]이므로 [eqn: f(7) - g(7) = 2 + sqrt{3}]

(ⅵ) [eqn: n geq 8]일 때, [eqn: f(n) = 2], [eqn: g(n) = -2]이므로 [eqn: f(n) - g(n) = 4]

부등식 [eqn: 2 < f(n) - g(n) < 4]를 만족시키는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 6 + 7 = 13]이다.

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x+5&``` LEFT ( x<5 RIGHT )#LEFT | 2x-a RIGHT |&``` LEFT ( x GEQ 5 RIGHT )}}],
[eqn: g(x) = (x-5)(x-b)]
라 하자. 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[eqn: 11]

[eqn: h(x) = f(x)g(x)]라 하면

[eqn: h(x) = left { matrix { (x+5)(x-5)(x-b) & left ( x < 5 right ) # left | 2x-a right | (x-5)(x-b) & left ( x geq 5 right ) } right .]

[eqn: h(x)]가 [eqn: x=5]에서 미분가능해야 하므로, [eqn: x=5]에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.

[eqn: x < 5]일 때 [eqn: h(x) = (x^{2}-25)(x-b)]이므로

[eqn: h'(x) = 2x(x-b) + (x^{2}-25)]

[eqn: x=5]에서의 좌미분계수는 [eqn: 10(5-b)]이다.

[eqn: x > 5]일 때 [eqn: h(x) = left | 2x-a right | (x-5)(x-b)]이다.

[eqn: a]의 값에 따라 [eqn: x=5] 근방에서 [eqn: left | 2x-a right |]의 부호가 달라지므로 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a < 10]인 경우

[eqn: x -> 5+]일 때 [eqn: 2x-a > 10-a > 0]이므로 [eqn: left | 2x-a right | = 2x-a]이다.

[eqn: h(x) = (2x-a)(x-5)(x-b)]이므로

[eqn: h'(x) = 2(x-5)(x-b) + (2x-a)(x-b) + (2x-a)(x-5)]

[eqn: x=5]에서의 우미분계수는 [eqn: (10-a)(5-b)]이다.

좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로

[eqn: 10(5-b) = (10-a)(5-b)], [eqn: a(5-b) = 0]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: b=5]이다.

이때 [eqn: x geq 5]에서 [eqn: 2x-a > 0]이므로 [eqn: h(x)]는 [eqn: x geq 5]에서 미분가능하다.

따라서 [eqn: a < 10]인 자연수 [eqn: a]에 대하여 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 5)], [eqn: (2, 5)], [eqn: ...], [eqn: (9, 5)]로 [eqn: 9]개이다.

(ⅱ) [eqn: a = 10]인 경우

[eqn: x -> 5+]일 때 [eqn: 2x-10 > 0]이므로 [eqn: left | 2x-10 right | = 2x-10]이다.

[eqn: h(x) = 2(x-5)^{2}(x-b)]이므로

[eqn: h'(x) = 4(x-5)(x-b) + 2(x-5)^{2}]

[eqn: x=5]에서의 우미분계수는 [eqn: 0]이다.

좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로

[eqn: 10(5-b) = 0]에서 [eqn: b=5]이다.

이때 [eqn: x geq 5]에서 [eqn: h(x) = 2(x-5)^{3}]이므로 미분가능하다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (10, 5)]로 [eqn: 1]개이다.

(ⅲ) [eqn: a > 10]인 경우

[eqn: x -> 5+]일 때 [eqn: 2x-a < 10-a < 0]이므로 [eqn: left | 2x-a right | = a-2x]이다.

[eqn: h(x) = (a-2x)(x-5)(x-b)]이므로

[eqn: h'(x) = -2(x-5)(x-b) + (a-2x)(x-b) + (a-2x)(x-5)]

[eqn: x=5]에서의 우미분계수는 [eqn: (a-10)(5-b)]이다.

좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로

[eqn: 10(5-b) = (a-10)(5-b)], [eqn: (20-a)(5-b) = 0]

따라서 [eqn: a=20] 또는 [eqn: b=5]이다.

한편, [eqn: a > 10]이므로 [eqn: x = {a} over {2} > 5]에서 [eqn: f(x)]가 꺾이게 된다.

[eqn: h(x)]가 [eqn: x = {a} over {2}]에서 미분가능하려면 [eqn: g left ( {a} over {2} right ) = 0]이어야 한다.

[eqn: g left ( {a} over {2} right ) = left ( {a} over {2} - 5 right ) left ( {a} over {2} - b right ) = 0]에서 [eqn: a > 10]이므로 [eqn: a = 2b]이다.

[eqn: b=5]이면 [eqn: a=10]이 되어 [eqn: a > 10]에 모순이므로 [eqn: a=20]이다.

[eqn: a=20]이면 [eqn: b=10]이다.

이때 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=10]에서 미분가능하다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (20, 10)]으로 [eqn: 1]개이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 9 + 1 + 1 = 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

양의 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x} +2 ^{-a} -2&``` LEFT ( x<a RIGHT )#2 ^{-x} +2 ^{a} -2&``` LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}]
라 할 때, 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

함수 [eqn: y = left | f(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 [eqn: k]는 오직 하나뿐이다.

[eqn: 2^{M+m} = p + sqrt{q}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 자연수이다.)

[eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x < a]에서 증가하고 [eqn: x geq a]에서 감소하며, [eqn: x=a]에서 연속이므로 [eqn: x=a]에서 최댓값 [eqn: 2^{a} + 2^{-a} - 2]를 갖는다.

[eqn: a>0]이므로 [eqn: 2^{a} + 2^{-a} - 2 > 0]이다.

[eqn: x -> -inf]일 때 [eqn: f(x) -> 2^{-a} - 2 < 0]이므로 함수 [eqn: y = left | f(x) right |]의 그래프의 왼쪽 점근선은 [eqn: y = 2 - 2^{-a}]이다.

[eqn: x -> inf]일 때 [eqn: f(x) -> 2^{a} - 2]이다.

(ⅰ) [eqn: a > 1]인 경우

[eqn: 2^{a} - 2 > 0]이므로 오른쪽 점근선은 [eqn: y = 2^{a} - 2]이다.

이때 [eqn: 0 < k < 2^{a} - 2]에서 직선 [eqn: y=k]와 그래프는 항상 [eqn: 2]개의 교점을 가지므로, 교점이 [eqn: 2]개인 양수 [eqn: k]가 무수히 많아 조건을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 0 < a leq 1]인 경우

[eqn: 2^{a} - 2 leq 0]이므로 오른쪽 점근선은 [eqn: y = 2 - 2^{a} geq 0]이다.

[eqn: 0 < a leq 1]에서 [eqn: 2^{a} + 2 times 2^{-a} < 4]이므로 [eqn: 2 - 2^{-a} > 2^{a} + 2^{-a} - 2]가 항상 성립하여 왼쪽 점근선이 최댓값보다 높다.

직선 [eqn: y=k]와 교점이 [eqn: 2]개인 양수 [eqn: k]가 오직 하나뿐이려면, 최댓값이 오른쪽 점근선보다 크거나 같아야 한다.

(만약 [eqn: 2^{a} + 2^{-a} - 2 < 2 - 2^{a}]라면 [eqn: 2^{a} + 2^{-a} - 2 < k < 2 - 2^{a}]에서 교점이 [eqn: 2]개가 되어 무수히 많아진다.)

따라서 [eqn: 2^{a} + 2^{-a} - 2 geq 2 - 2^{a}]이어야 한다.

[eqn: 2 times 2^{a} + 2^{-a} - 4 geq 0]에서 양변에 [eqn: 2^{a}]을 곱하면

[eqn: 2(2^{a})^{2} - 4 times 2^{a} + 1 geq 0]

이차방정식 [eqn: 2t^{2} - 4t + 1 = 0]의 근은 [eqn: t = {2 +- sqrt{2}} over {2}]이고 [eqn: a>0]에서 [eqn: 2^{a}>1]이므로

[eqn: 2^{a} geq {2+sqrt{2}} over {2}]

[eqn: a geq log_{2} left ( {2+sqrt{2}} over {2} right ) = log_{2}(2+sqrt{2}) - 1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a]의 범위는 [eqn: log_{2}(2+sqrt{2}) - 1 leq a leq 1]이다.

따라서 [eqn: M = 1], [eqn: m = log_{2}(2+sqrt{2}) - 1]이다.

[eqn: M+m = log_{2}(2+sqrt{2})]이므로 [eqn: 2^{M+m} = 2+sqrt{2}]

[eqn: p=2], [eqn: q=2]이므로 [eqn: p+q=4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.