2023년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학평은 30번 문항의 해석에서 시간을 뺏긴 학생들이 많았을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수에 미분가능성, 실근 개수 조건을 결합하여 삼차함수를 추론해야 했는데, 이는 단순 계산이 아닌 개념의 깊이 있는 이해를 요구합니다. 또한 21번 수열 역추론 문제와 20번 평균값 정리의 직관을 묻는 문제처럼, 사고력을 요하는 준킬러 문항들이 탄탄하게 배치되어 시간 안배가 등급을 갈랐을 것으로 보입니다. 이러한 문제 구성은 함수의 특징을 그래프와 연계하여 추론하는 능력을 중시하는 최근 수능의 출제 경향을 그대로 반영하고 있으므로, 기출 분석을 통해 조건 해석 능력을 기르는 훈련이 필수적입니다.

문항 분석

• 15번

  — an과 Sn이 혼합된 점화식을 an에 대한 식으로 변환하고 등비수열의 합을 활용하는 능력을 평가하는 문제입니다. 대부분의 학생들이 an+1 = Sn+1 - Sn 관계를 이용해 식을 정리하는 첫 단추를 꿰지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. 이 관계식을 통해 an+1 = (1/2)an + k/2 꼴로 변형한 뒤, 이 점화식의 일반항을 구하는 과정(특성방정식 또는 축차대입)을 떠올리는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 20번

  — 평균변화율과 순간변화율이 같아지는 지점을 찾는, 평균값 정리의 기하학적 의미를 제대로 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. g(t)의 정의를 복잡하게만 느끼고, '원점과 (t, f(t))를 잇는 직선의 기울기'와 '점 (k, f(k))에서의 접선의 기울기'가 같아지는 상황을 그래프 상에서 직관적으로 파악하지 못하면 접근이 매우 어렵습니다. 특히 ㄷ 보기의 경우, g(t)의 치역을 직접 구하려 하기보다, 접선의 기울기가 특정 자연수가 될 수 없는 k 값의 영역이 존재하는지를 f(x) 그래프의 개형을 통해 추론하는 것이 핵심입니다.
  

• 21번

  — 곱의 홀짝성에 따라 다음 항이 결정되는 복잡한 귀납적 정의를 주고, a5=63이라는 구체적인 항의 값으로부터 역으로 추론하여 a1을 찾아내는 문제입니다. a1부터 순차적으로 조건을 따라가는 '순방향 추론'을 시도하면 경우의 수가 너무 많아져 시간 내에 풀기가 거의 불가능한 함정이 있습니다. a5=63에서 시작하여 a4, a3... 순서로 가능한 값들을 거꾸로 추적하는 '역추론' 방식이 필수적이며, 각 단계에서 an+1과 an의 곱이 홀수인지 짝수인지에 따라 분기되는 모든 경우를 빠짐없이 따지는 꼼꼼함이 요구됩니다.
  

• 28번

  — 무한대와 0으로 가는 극한 조건을 이용해 다항함수 f(x)와 g(x)의 차수와 계수를 결정하는 문제입니다. 많은 학생들이 '상수항과 계수가 모두 음이 아닌 정수'라는 조건을 놓쳐 부정방정식 풀이에서 답을 특정하지 못하는 실수를 합니다. (가) 조건에서 {f(x)}²g(x)의 최고차항이 4x⁵임을, (나) 조건에서 f(x){g(x)}²의 최저차항이 2x⁵임을 파악한 뒤, 두 함수의 차수 조합(deg(f), deg(g))을 가능한 경우로 나누어 계수를 비교하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 29번

  — 제한된 범위 내에서 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구하고, 주어진 조건을 만족하는 미지수 a, b를 찾는 문제입니다. 닫힌구간 [-π/a, π/a]가 코사인 함수의 주기와 어떤 관계를 갖는지, 그리고 평행이동(b)이 어떤 영향을 미치는지 정확히 파악하지 못하면 최댓값, 최솟값이 발생하는 지점을 잘못 판단할 수 있습니다. 핵심은 3x+b=t로 치환하여 t의 범위를 구하고, 이 범위 내에서 cos(t) 그래프를 그려 최댓값 1/2과 최솟값 -√3/2이 모두 포함되도록 하는 t의 범위를 역으로 추적하여 a와 b의 관계식을 도출하는 것입니다.
  

• 30번

  — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 미분가능성과 방정식의 실근 조건을 종합적으로 해석하여 삼차함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건의 좌극한/우극한 식을 보고 g(x)가 x=2에서 미분가능해야 함을 간파하지 못하면 문제의 실마리를 전혀 잡을 수 없습니다. g(x)는 x=2에서 연속이고(g(2)=-4), 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다는 조건(f(2)=-f(2))을 이용해 f(2)=0이라는 결정적 정보를 얻어내는 것이 첫 번째 관문입니다. 이후 (나) 조건 g(x)=4의 실근이 2개라는 것은 g(x)의 그래프 개형, 특히 극값 중 하나가 4라는 사실을 암시하므로 이를 통해 f(x)를 완성해야 합니다.