2018년 06월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 21번과 30번에서 함수의 그래프를 추론하고 복잡한 조건식을 해석하는 능력을 깊이 있게 파고들어, 최상위권 학생들조차 시간 안배에 큰 어려움을 겪었을 시험입니다. 16번 도형 극한이나 14번 로그함수 문제처럼 익숙한 유형도 있었지만, 19번 포물선의 공통접선 개수 문제처럼 개념의 경계를 넘나드는 문항들이 변별력을 확실히 갈랐습니다. 결국 실제 수능에서는 단순 공식 암기를 넘어, 여러 개념을 융합하고 낯선 조건 속에서 해결 전략을 스스로 세우는 능력이 고득점의 열쇠가 될 것이라는 평가원의 명확한 메시지로 보입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 함수 f(x)와 그 도함수 f'(x)가 포함된 항등식을 다루는 유형입니다. 출제 의도는 주어진 등식이 모든 실수 x에 대해 성립하는 '항등식'임을 간파하고, 계수비교법을 활용해 미정계수를 결정할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 이 식을 어떻게 다뤄야 할지 몰라 당황하거나, 특정 x값을 대입하는 수치대입법으로 접근하려다 길을 잃는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 f(x) = ax^2 + b 와 f'(x) = 2ax 를 주어진 식에 그대로 대입하여 x에 대한 내림차순으로 정리하는 것입니다. 그러면 x의 계수와 상수항이 양변에서 같아야 한다는 항등식의 기본 성질을 이용해 a와 b에 대한 연립방정식을 손쉽게 얻을 수 있습니다.
  

• 18번

  — 전형적인 도형 활용 등비급수 문제로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 출제 의도는 닮음을 이용해 공비를 찾고, 삼각비와 도형의 성질을 이용해 첫째항의 넓이를 계산하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 공비를 구할 때, 길이의 비와 넓이의 비를 혼동하는 것입니다. 닮음인 두 도형의 길이의 비가 k:1 이라면, 넓이의 비는 k²:1 이라는 점을 명심해야 합니다. 이 문제 해결의 결정적 힌트는 두 번째 직사각형 A₂B₂C₂D₂의 한 변의 길이를 구하는 데 있습니다. 삼각형 B₁G₁C₁이 이등변삼각형이라는 점과, 선분 B₁C₁의 길이가 1이라는 점을 이용하면 G₁에서 B₁C₁에 내린 수선의 발을 통해 필요한 길이들을 삼각비로 표현할 수 있고, 이것이 공비를 구하는 열쇠가 됩니다.
  

• 19번

  — 두 포물선의 '공통접선의 개수'를 묻는 문항으로, 기하와 대수를 넘나드는 통합적 사고를 요구합니다. 많은 학생들이 두 식을 연립하여 판별식으로 접근하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 한 포물선 위의 임의의 점 (t, t²/2)에서의 접선의 방정식을 먼저 세우고, 이 직선이 다른 포물선에도 접할 조건(판별식 D=0)을 이용하는 것입니다. 이렇게 하면 접점의 x좌표 t에 대한 방정식을 얻게 되는데, 이 방정식의 실근의 개수가 바로 공통접선의 개수 f(p)가 됩니다.
  

• 20번

  — 시그마(∑)와 조합 기호가 포함된 증명 과정의 빈칸을 채우는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 조건식을 논리적 흐름에 따라 해석하고, 각 단계에서 필요한 핵심 개념(여기서는 중복조합)을 적용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들은 보통 c+d가 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나누는 이유 자체를 이해하지 못해 (가), (나) 빈칸에 접근조차 못하는 경우가 많습니다. 이 문제의 실마리는 주어진 조건식 2a+2b+c+d=2n 에서 좌변의 2a+2b가 항상 짝수라는 사실을 인지하는 것입니다. 따라서 c+d 역시 짝수여야만 등식이 성립하며, 이를 기준으로 경우를 나눈 것입니다. (가)는 c=2k₁, d=2k₂를 대입하여 얻어지는 식 a+b+k₁+k₂=n 을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 것이므로, 바로 '중복조합' 공식을 떠올려야 합니다.
  

• 21번

  — 삼차함수의 그래프 개형과 미분, 그리고 평균값 정리에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 고난도 문항입니다. 출제 의도는 주어진 조건들을 해석하여 삼차함수 f(x)와 그 도함수 f'(x)의 그래프를 추론하고, 명제의 참/거짓을 판별하는 능력을 종합적으로 측정하는 것입니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건 f(1)-f(-1) > 8을 단순히 a, b에 대한 부등식으로만 접근하는 것입니다. 이 경우 계산이 복잡해지고 기하학적 의미를 놓치게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 (나) 조건의 양변을 2(=1-(-1))로 나누어 (f(1)-f(-1))/(1-(-1)) > 4 라는 '평균변화율'의 형태로 바꾸는 것입니다. 그러면 '평균값 정리'에 의해, 구간 (-1, 1)에 f'(c) > 4를 만족하는 c가 반드시 존재한다는 강력한 단서를 얻게 되며, 이를 통해 f'(x)의 그래프(아래로 볼록한 이차함수)의 위치를 특정하고 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참/거짓을 명확하게 판단할 수 있습니다.
  

• 27번

  — 중복순열 문제에서 '적어도 ~'라는 조건이 나왔을 때, 여사건을 떠올리는 것이 정석적인 접근법입니다. 이 문제의 출제 의도는 직접 경우를 나누어(a가 2개, 3개, 4개일 때) 푸는 것보다 여사건(전체 경우 - a가 0개인 경우 - a가 1개인 경우)을 활용하는 것이 훨씬 효율적임을 알고 있는지 확인하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 'a가 1개인 경우'를 계산할 때, a의 위치를 정하는 경우의 수(4C1)를 곱하는 것을 빠뜨리는 것입니다. 전체 경우의 수에서 빼야 할 두 가지 케이스를 정확히 계산하는 것이 관건입니다.
  

• 28번

  — 조건부확률의 정의 P(E|F) = P(E∩F)/P(F)를 정확히 이해하고, 각 사건에 해당하는 경우의 수를 n을 이용하여 식으로 표현하는 능력을 평가하는 문항입니다. 가장 큰 함정은 전체 경우의 수, 즉 집합 A의 원소 개수를 구하는 과정입니다. 1≤x≤y≤n을 만족하는 순서쌍 (x,y)의 개수는 단순 곱셈이 아닌 중복조합(nH2)으로 계산해야 합니다. 문제의 실마리는 조건에 해당하는 사건 F(b가 3의 배수)와 교집합 사건 E∩F(a=b이고 b가 3의 배수)의 원소의 개수를 각각 n에 대한 식으로 나타낸 후, 조건부확률 식에 대입하여 주어진 값 1/9과 같다고 놓고 방정식을 푸는 것입니다.
  

• 29번

  — 연속성, 역함수, 교점의 개수 등 여러 개념이 융합된 복합적인 함수 추론 문제입니다. 출제 의도는 역함수가 존재할 조건(일대일 대응)과 연속의 정의를 이해하고, 이를 이용해 미정계수로 이루어진 조각난 함수(piecewise function)를 완성시키는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 빠지기 쉬운 함정은 'f(x)와 f⁻¹(x)의 교점은 항상 y=x 위에 있다'고 성급하게 단정하는 것입니다. 이 성질은 f(x)가 '증가함수'일 때만 성립합니다. 문제에서 함수가 연속이고 역함수를 가지므로, 함수는 반드시 단조증가 또는 단조감소해야 합니다. 주어진 교점 (-1, -1), (1, 1), (2, 2)가 모두 y=x 위에 있으므로, 이 함수가 단조증가함수임을 확신하고 문제를 풀어나가는 것이 핵심입니다. 이 사실을 깨닫는 순간, 함수가 (1,1)을 지난다는 점을 이용해 x=1에서의 연속 조건을 처리하고, (2,2)를 지난다는 점을 이용해 c의 값을 구하는 등 단계적으로 문제를 해결할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 주어진 두 가지 조건을 만족하는 사차함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 귀납적 추론을 통해 함숫값을 찾아내고, 평균변화율의 부호를 통해 그래프의 개형을 확정 짓는 논리적 사고력을 측정하는 것입니다. 이 문제를 f(x)=ax⁴+... 로 설정하고 시작하면 계산의 늪에 빠져 절대 풀 수 없습니다. (가) 조건 `Σf(k) = f(n)f(n+1)`에 n=1, 2, 3, ... 을 순차적으로 대입하여 함숫값 사이의 관계를 알아내는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 예를 들어 n=1을 대입하면 f(1)=f(1)f(2) 이므로 f(1)=0 또는 f(2)=1 이라는 정보를 얻을 수 있습니다. 이렇게 얻어낸 f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)의 값을 (나) 조건(평균변화율이 0 이하)과 결합하여 사차함수의 가능한 그래프 개형을 추려나가야 합니다. 결국 f(x)의 인수를 찾아내는 과정이 이 문제의 핵심입니다.