2018년 03월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학력평가는 30번 문항에서 보여준 절댓값이 포함된 정적분 함수 해석의 깊이가 단연 돋보였습니다. 계산량과 개념적 난도 모두 최상급이어서 많은 상위권 학생들조차 시간을 상당히 소모했을 것으로 보입니다. 전반적으로 미적분의 핵심 주제인 정적분으로 정의된 함수(20, 30번), 삼각함수 극한 도형(19번), 그리고 복합적인 함수 추론(21번) 문항들이 까다롭게 출제되었고, 29번 조합 문제 역시 정교한 케이스 분류를 요구하여 변별력을 확보했습니다. 이러한 문제 유형들은 실제 수능에서 킬러 문항으로 직결되는 만큼, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 문제의 조건을 해석하고 그래프를 추론하는 근본적인 수학 실력을 기르는 데 집중해야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이 문제는 프랙탈 도형의 넓이 합을 구하는 전형적인 등비급수 활용 문제입니다. 출제 의도는 닮음을 이용하여 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 찾아낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 공비를 구할 때, 길이의 비와 넓이의 비를 혼동하여 길이의 비를 그대로 공비로 사용하는 실수를 합니다. 넓이의 비는 길이의 비의 '제곱'이라는 사실을 절대 잊으면 안 됩니다. 문제 해결의 실마리는 첫 번째 직사각형과 두 번째 직사각형의 닮음비를 찾는 것에 있으며, 이를 위해 좌표를 도입하거나 삼각형의 닮음을 이용하면 수월하게 접근할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 수열의 극한에 대한 합답형(ㄱ,ㄴ,ㄷ) 문항으로, 수렴과 발산의 정의 및 기본 성질에 대한 깊이 있는 이해를 요구합니다. 출제 의도는 학생들이 수렴하는 경우뿐만 아니라 진동, 발산하는 경우까지 고려하여 명제의 참/거짓을 판별할 수 있는지 확인하는 데 있습니다. 가장 흔한 오답 패턴은 특정 조건이 성립하는 쉬운 예시(예: 모두 0으로 수렴)만 떠올리고 명제가 참이라고 속단하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '반례'를 찾는 훈련에 있습니다. 특히 'ㄷ' 보기처럼 두 수열의 합과 곱이 수렴할 때, 각 수열의 수렴성을 묻는 경우 an = {1, 0, 1, 0, ...}, bn = {0, 1, 0, 1, ...} 과 같은 교대로 나타나는 수열을 반례로 생각하는 연습이 되어 있어야 합니다.
  

• 21번

  — 유한집합 위에서 정의된 두 함수의 관계를 추론하는 문제입니다. 여러 조건을 종합하여 숨겨진 규칙을 찾아내고, 이를 바탕으로 함숫값을 구하는 능력이 핵심입니다. 학생들은 (다) 조건 'f(x)+g(x)의 값이 일정하다'를 어떻게 활용해야 할지 몰라 막막해하는 경우가 많습니다. 하지만 (나) 조건에서 (g∘f)(x)=x, 즉 g는 f의 역함수(f⁻¹)라는 것을 파악하는 것이 이 문제의 결정적 돌파구입니다. 이 두 조건을 결합하면 f(x)+f⁻¹(x)=k (상수)라는 강력한 관계식을 얻을 수 있고, f(1)=8이라는 구체적인 값을 대입하여 k를 먼저 확정 짓고 나면 나머지 함수 관계를 퍼즐처럼 맞춰나갈 수 있습니다.
  

• 28번

  — 직선 위의 점들의 y좌표로 정의된 수열의 합을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심 출제 의도는 '일차함수'와 '등차수열' 사이의 관계를 꿰뚫어 보고 있는지를 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 점 (n, an)이 한 직선 위에 있다는 조건을 보고 복잡한 직선의 방정식을 세우려고 하지만, 이는 수열 {an}이 등차수열임을 의미하는 수학적 표현이라는 것을 즉시 알아차려야 합니다. 이 사실을 깨닫는 것이 문제 해결의 90%입니다. an = dn + c (d는 공차) 꼴임을 인지하고, 주어진 a₁과 a₇ 값을 이용해 첫째항과 공차를 구한 뒤 등차수열의 합 공식을 적용하면 간단히 해결됩니다.
  

• 29번

  — 두 집합 A, B가 주어진 두 명제를 모두 만족시키는 순서쌍 (A, B)의 개수를 세는 문제입니다. 논리적 조건 해석과 체계적인 경우의 수 계산 능력을 동시에 요구합니다. 학생들은 '집합 B의 어떤 원소 x에 대하여 x∈A이다'라는 두 번째 명제를 해석할 때 실수를 많이 합니다. 이는 'A와 B의 교집합이 공집합이 아니다(A∩B≠∅)'라는 의미인데, 이를 간과하고 개수를 세면 오답으로 이어지기 쉽습니다. 문제를 푸는 첫 단추는 첫 번째 명제 'x²-3x<0'을 만족하는 원소들의 집합 P={1, 2}를 구하고, A가 P의 공집합이 아닌 부분집합임을 확정하는 것입니다. 그 후 A가 {1}, {2}, {1, 2}인 세 가지 경우로 나누어 각각의 경우에 대해 두 번째 조건을 만족하는 B의 개수를 구하는 전략이 유효합니다.
  

• 30번

  — 유리함수의 대소 관계를 만족시키는 미지수(p, q)의 조건을 찾고, 그 개수를 다시 수열로 정의하여 합을 구하는 복합적인 문제입니다. 최고난도 문항답게 여러 개념의 유기적인 연결을 요구합니다. 학생들은 f(1)<f(5)<f(3)과 같은 부등식을 보고 단순히 함숫값을 대입하여 대수적으로 풀려고 시도하다가 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 유리함수의 '점근선(x=p/2)'의 위치에 따라 함수의 증가/감소 구간이 달라진다는 점을 이용하는 것입니다. 점근선의 위치를 1, 3, 5를 기준으로 나누어 각 경우에 부등식이 성립하는지 그래프를 통해 확인하여 자연수 p의 최솟값 m을 찾는 것이 첫 번째 관문입니다. 그 후, 결정된 함수 f(x)와 g(x)의 합성함수 부등식을 풀 때도 g(x)의 점근선(-q)의 위치를 기준으로 경우를 나누어 an을 구해야 하는, 다단계의 논리적 사고를 요구하는 문제입니다.
  

• 미적분 27번

  — 정적분을 포함한 등식 유형으로, 해결의 열쇠는 '양변을 미분한다'는 정해진 패턴에 있습니다. 하지만 학생들이 가장 흔하게 저지르는 실수는 좌변의 첫 번째 항 ∫x f(t)dt를 미분할 때 발생합니다. 이 식은 x와 t에 대한 정적분의 곱, 즉 x * ∫f(t)dt 이므로, x를 상수로 착각하고 xf(x)로 미분하면 오답으로 직행합니다. 곱의 미분법을 적용해야 한다는 점이 이 문제의 핵심 함정입니다. 이 부분만 정확히 처리하면 미적분의 기본정리에 의해 f(x)에 대한 식이 깔끔하게 정리되고, 이후 계수 비교를 통해 a, b 값을 구할 수 있습니다.
  

• 미적분 28번

  — 무한급수를 정적분으로 변환하는 능력을 묻는 문제입니다. 일반적인 f(k/n) 형태가 아니라 Σ (k/n) * f(1+k/n) 꼴로 주어져 학생들이 변환에 혼란을 겪기 쉽습니다. 이 문제의 실마리는 x_k = k/n 로 치환하여 식을 ∫ x * f(1+x) dx 형태로 바꾸는 것입니다. f(x)=ln(x)를 대입하면 결국 ∫ x * ln(1+x) dx 를 계산하는 문제로 귀결되는데, 여기서 로그함수가 포함된 적분이므로 부분적분법을 사용해야 한다는 것을 떠올려야 합니다. 정적분 변환과 부분적분이라는 두 가지 핵심 개념을 모두 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 문제입니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 복잡한 조건이 붙은 분할 및 분배 문제로, 정교한 케이스 분류가 핵심입니다. 많은 학생들이 '4개를 선택'하는 과정과 '2명에게 분배'하는 과정을 동시에 생각하려다 중복이나 누락 오류를 범합니다. 이 문제의 가장 효율적인 접근법은 [1단계: 6개의 과일(사과2, 배2, 귤2) 중 4개를 뽑는 조합]과 [2단계: 뽑힌 4개의 과일을 2명에게 분배]로 명확히 나누는 것입니다. 1단계에서는 과일의 종류(3종류 vs 2종류)에 따라 케이스를 나누고, 2단계에서는 각 케이스별로 '적어도 한 개씩 받는다'는 조건을 만족시키기 위해 (전체 분배 경우의 수) - (한 명에게 몰아주는 2가지 경우)를 빼는 전략을 사용하는 것이 결정적입니다.
  

• 미적분 30번

  — 정적분으로 정의된 함수에 절댓값까지 결합된 최고난도 킬러 문항입니다. g(x)의 극값을 찾기 위해 g'(x)를 구해야 하는데, 피적분함수에 변수 x가 포함되어 있어 곧바로 미분할 수 없다는 점이 첫 번째 함정입니다. 결정적 실마리는 f(x)의 그래프 개형을 먼저 파악하고, t의 범위(0<t<x)에 따라 f(x)와 f(t)의 대소 관계가 어떻게 변하는지를 분석하여 절댓값을 풀어내는 것입니다. 특히 f(x)가 x=1에서 증감이 바뀌므로, x의 구간을 (0,1)과 (1,2)로 나누어 g(x)를 각각 정리한 후 미분해야 합니다. g'(x)의 부호 변화를 통해 극점을 찾는 과정은 상당한 계산력과 개념 이해도를 요구합니다.