2017년 10월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 10월 학평 나형은 19번 확률 문제의 복잡한 케이스 분류나 29번 점화식 문제의 생소함에서 시간을 많이 뺏긴 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 계산 과정이 길기보다는, 문제의 조건을 정확히 해석하고 개념을 연결하는 능력을 중점적으로 평가하고 있어요. 특히 20번, 30번처럼 다항함수의 그래프 개형을 추론하고 미분가능성 조건을 따지는 문항은 평가원이 꾸준히 선호하는 유형이므로, 기출문제를 통해 그래프의 특징과 조건의 의미를 체화하는 훈련이 반드시 필요합니다. 낯선 표현의 점화식이나 조건부 확률 문제에 당황하지 않도록 기본 정의로 돌아가 차분히 해석하는 연습을 하세요.

문항 분석

• 18번

  — 전형적인 등비급수와 도형 문제입니다. 첫째항(R1의 넓이)을 구하는 것은 어렵지 않지만, 많은 학생들이 공비를 찾는 데서 헤매는 경향이 있어요. S2를 직접 구하려 하지 말고, 큰 원과 두 번째로 그려지는 작은 원 사이의 '닮음비'를 찾는 것이 핵심입니다. 두 원의 반지름의 비율을 구하면 길이비가 나오고, 이를 제곱하면 넓이비, 즉 공비가 바로 나옵니다. 도형의 닮음 관계를 파악하는 것이 시간 단축의 결정적 열쇠입니다.
  

• 20번

  — 삼차함수 그래프의 특징을 완벽하게 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 (나) 조건에서 극댓값 정보를, (다) 조건에서 극솟값의 위치에 대한 정보를 얻어내라는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (다) 조건 'f(x)=f(4)가 서로 다른 두 실근을 갖는다'의 의미를 놓치는 것입니다. 이는 직선 y=f(4)가 삼차함수 그래프에 접한다는 뜻이며, 결국 x=4가 극소점의 x좌표이거나 또 다른 접점임을 암시합니다. 그래프 개형을 여러 가지로 그려보며 조건을 만족하는 유일한 상황을 찾아내는 것이 문제 해결의 시작입니다.
  

• 21번

  — 유리함수와 무리함수 사이에 존재하는 격자점의 개수를 세는, 소위 '개수 세기' 유형입니다. 이 문제의 함정은 A_n을 n에 대한 일반식으로 구하려고 시도하는 것입니다. 문제에서 요구하는 것은 n ≤ A_n < 3n을 만족하는 A_n의 합이므로, n에 구체적인 값을 몇 개 대입해보며 규칙을 찾는 것이 훨씬 효율적일 수 있습니다. 핵심 실마리는 부등식 g(a) < b < f(a)에서 a의 범위(n < a ≤ 3n)에 따라 b의 개수가 어떻게 변하는지를 관찰하는 것입니다. a값을 하나씩 대입하며 b의 개수를 세고, 그 합이 주어진 부등식 범위에 들어가는지 확인하는 전략이 유효합니다.
  

• 기하 29번

  — 공간좌표 위에 놓인 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 타원(S)과, 그 타원을 xy평면에 정사영시킨 도형의 관계를 묻는 고난도 공간도형 문제입니다. 많은 학생들이 타원 S의 방정식을 직접 구하려고 시도하다가 길을 잃습니다. 이 문제의 출제 의도는 정사영의 핵심 원리, 즉 '(정사영 넓이) = (원래 넓이) × cosθ'를 이용하는 것입니다. 주어진 '정사영의 장축 길이'는 타원 S의 장축 길이가 아니라는 점이 핵심 함정입니다. 평면 α와 xy평면이 이루는 각을 θ라 하고, 타원 S의 장축과 xy평면의 교선 등을 기하학적으로 파악하여 실제 타원 S의 장축 길이를 추론해내는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다.
  

• 미적분 30번

  — 넓이로 정의된 함수 S(x)를 포함한 정적분 값을 계산하는, 최상위권 변별을 위한 문항입니다. S(x)가 호(arc)를 포함한 도형의 넓이이므로 x에 대한 식으로 표현하는 과정부터 만만치 않습니다. 가장 큰 함정은 피적분함수인 S(1+sinθ)와 S(1+cosθ)의 복잡한 형태에 압도당하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 적분 구간 [0, π/2]의 대칭성에 있습니다. θ 대신 (π/2 - θ)를 치환해보면 sin과 cos이 서로 바뀌면서 두 적분 항 사이의 관계를 발견할 수 있습니다. 즉, 복잡한 S(x) 식을 직접 적분하기보다는, 정적분의 성질과 대칭성을 이용해 식을 간단히 정리하는 능력이 요구됩니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 자연수 순서쌍의 개수를 구하는 조합론 문제로, 두 조건을 동시에 만족시켜야 합니다. (가) 조건 abc=180은 소인수분해(180 = 2² × 3² × 5)를 통해 숫자 조합을 찾는 문제임을 알려주고, (나) 조건은 a, b, c가 모두 다른 수여야 함을 의미합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 180의 약수들을 체계 없이 나열하다가 중복하거나 빠뜨리는 것입니다. 해결의 실마리는 180의 소인수들을 세 개의 다른 묶음으로 나누는 '분할'의 관점으로 접근하는 것입니다. 기준을 정해(예: 가장 큰 수를 기준으로) 경우를 나누어 세면 실수를 줄일 수 있습니다.
  

• 수학 II 29번

  — 도형의 무게중심을 이용하여 수열의 점화식을 세우는 융합 유형입니다. 문제의 표현이 생소해서 많은 학생들이 시작조차 어려워했을 문항이죠. 출제 의도는 기하학적 정의(무게중심)를 좌표를 이용한 대수적 관계로 변환할 수 있는지를 평가하는 것입니다. Q_n의 좌표를 (x_n, y_n)으로 설정하고 무게중심 공식을 P_n의 좌표와 같다고 놓으면, x좌표와 y좌표에 대한 각각의 삼항 점화식을 얻을 수 있습니다. 이 점화식을 해결하는 것이 문제의 핵심이며, 특히 x_n에 대한 점화식은 공차가 변하는 등차수열 형태이므로 주의 깊게 풀어내야 합니다.
  

• 수학 II 30번

  — 함수의 곱 g(x)h(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 묻는, 최상위권 변별 문항입니다. 핵심 개념은 '불연속/첨점 함수 × 다항함수'의 미분가능성 조건입니다. 함수 g(x)는 절댓값과 구간이 나뉜 정의 때문에 x=3, x=3-k, x=0에서 미분 불가능할 가능성이 있습니다. 이 지점들에서 곱함수 g(x)h(x)가 미분가능하려면, 다항함수 h(x)가 해당 지점에서 함수값 0을 가져 '불연속성'이나 '뾰족함'을 상쇄시켜야 합니다. 따라서 h(0)=0, h(3)=0, h(3-k)=0 이라는 결정적 힌트를 얻을 수 있고, 이를 통해 삼차함수 h(x)의 식을 완성할 수 있습니다.