2018년 10월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 10월 학평 가형은 30번 문항의 새로운 함수 g(t) 정의 방식에서 많은 학생들이 당황했을 겁니다. 단순히 계산만 복잡한 것이 아니라, t값의 변화에 따른 최솟값 x의 '위치'를 추적해야 하는 깊은 추론 능력을 요구했죠. 전반적으로 기하 문항(20, 29번)의 공간지각 능력 요구 수준이 높았고, 21번처럼 역함수 미분법을 복합적으로 활용하는 문항은 수능에서도 변별력 확보를 위해 자주 활용되는 패턴이니 반드시 복습해야 합니다. 결국 수능 고득점은 익숙한 유형을 빠르게 풀어내고, 30번과 같은 낯선 정의의 함수를 해석하는 데 시간을 얼마나 확보하느냐에 달려있습니다.

문항 분석

• 18번

  — 점 P의 움직임을 t에 대한 함수로 표현하고, 이를 이용해 점 Q의 좌표를 t로 나타내는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 출제 의도는 매개변수 미분법과 속도의 개념을 정확히 이해하고 있는지를 묻는 것이죠. 많은 학생들이 점 Q의 x, y 좌표 사이의 관계식을 구하려다 시간을 허비하는 실수를 합니다. 점 P의 좌표를 (cos t, sin t)로 설정하고, 직선 AB의 방정식을 구해 점 Q의 좌표를 t로 표현한 뒤, 시간에 대해 미분하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다.
  

• 19번

  — 빈칸 추론 문제의 핵심은 문맥을 파악하고 각 조건이 왜 필요한지를 이해하는 것입니다. 이 문제는 'a+b+c+d가 짝수'라는 조건을 '모두 짝수' 또는 '2개만 짝수'인 경우로 나누는 분류 능력을 테스트합니다. (가)와 (다)는 중복조합(H)의 개념을, (나)는 단순 조합(C)의 개념을 정확히 적용해야 풀 수 있습니다. 특히 (ii) 경우에서 홀수인 두 수는 1이 될 수 없다는 조건(2 이상의 자연수) 때문에 y_i 값들이 0이 될 수 없다는 점을 놓치면 (다)에서 오답을 내기 쉽습니다. 이는 지수와 자연수 조건을 연결 짓는 결정적 힌트입니다.
  

• 20번

  — 4차함수 f(x)의 도함수인 f'(x)의 형태를 주고, 절댓값 함수 조건을 통해 원함수를 추론하는 문제입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 (나) 조건의 해석인데, '|f(x)|=f(0)은 실근을 갖지 않는다'는 것은 y=|f(x)| 그래프가 y=f(0) 직선과 만나지 않음을 의미합니다. 이를 통해 f(0)의 부호와 f(x)의 극솟값의 위치를 결정해야 합니다. 결정적 실마리는 (가) 조건에서 f'(x)의 근이 0, 2, a임을 파악하고, a의 값의 범위(a=0, 0<a<2 등)에 따라 f(x)의 개형을 여러 개 그려본 뒤 (나) 조건을 만족하는 유일한 케이스를 찾아내는 것입니다.
  

• 21번

  — 유리함수의 평행이동과 대칭성을 묻는 문항입니다. 핵심 출제 의도는 (가) 조건인 'g(a)=b, g(b)=a'를 보고, 함수 y=g(x)의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 사실을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 이 조건을 식으로만 해결하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 유리함수 그래프가 직선 y=x에 대해 대칭이려면, 두 점근선의 교점이 반드시 y=x 위에 있어야 한다는 것이 이 문제를 푸는 결정적 열쇠입니다. 이 사실을 이용하면 평행이동 거리 m의 값을 즉시 구할 수 있습니다.
  

• 26번

  — 함수의 개수를 세는 조합 문제로, (가) 치역의 원소가 3개, (나) 증가함수(x1<x2이면 f(x1)≤f(x2))라는 두 가지 핵심 조건을 동시에 만족시켜야 합니다. 학생들이 흔히 하는 실수는 두 조건을 따로 생각하거나, (나) 조건을 보고 바로 중복조합 공식만 떠올리는 것입니다. 이 문제는 반드시 '1단계: 공역 X의 원소 7개 중 치역이 될 3개의 원소를 먼저 선택'하고, '2단계: 정의역 원소 7개를 선택된 치역 3개에 (나) 조건을 만족시키면서 '모두' 대응시키는 경우의 수'를 구하는 순서로 풀어야 합니다. 2단계에서 선택된 치역 원소 3개가 적어도 한 번씩은 선택되어야 하므로, 전체 중복조합 경우의 수에서 치역이 1개 또는 2개인 경우를 빼는 여사건의 원리를 적용하는 것이 효율적입니다.
  

• 기하 29번

  — 공간도형에서 선분의 최대, 최소 문제는 보통 벡터를 이용해 해결합니다. 이 문제의 핵심은 벡터 XQ를 시점이 알려진 벡터들의 합(XQ = XA + AP + PQ)으로 분해하는 것입니다. 조건 (나)는 점 H가 A에서 BP에 내린 수선의 발임을 의미하며, 이를 통해 원 D가 놓인 평면의 법선벡터와 관련된 정보를 얻을 수 있습니다. 최댓값은 XA, AP, 그리고 PQ의 크기와 방향이 특정 관계를 이룰 때 발생합니다. 많은 학생들이 원 D의 반지름 길이나 중심 위치를 잘못 파악하여 최종 계산에서 틀리는 경우가 많으니, 피타고라스 정리와 벡터 내적을 꼼꼼하게 적용해야 합니다.
  

• 미적분 30번

  — 새롭게 정의된 함수 g(t)의 의미를 파악하는 것이 이 문제의 전부라 해도 과언이 아닙니다. g(t)는 'y=f(t)라는 상수함수보다 f(x)가 아래에 있도록 하는 x값 중 가장 작은 값'으로, 그래프를 그려놓고 y=f(t)라는 가로선을 위아래로 움직여보며 g(t)의 값이 어떻게 변하는지 관찰해야 합니다. 불연속점 a는 g(t)의 값이 점프하는 지점, 즉 최솟값 x가 한쪽 그래프에서 다른 쪽 그래프로 넘어가는 순간에 발생합니다. 이 지점을 정확히 찾아내고, 구간별로 g(t)의 함수식을 구하여 정적분하는 것이 문제 해결의 전체적인 흐름입니다. f(t)의 값이 극값이 되는 지점에서 불연속이 발생할 수 있음을 예측하는 것이 결정적 힌트입니다.
  

• 수학 29번

  — 정적분으로 정의된 함수의 성질을 이용해 이차함수를 결정하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (가) 조건이 무엇을 의미하는지 파악하는 것입니다. 모든 실수 t에 대해 ∫(t부터 a까지)f(x)dx = ∫(a부터 2a-t까지)f(x)dx가 성립한다는 것은, 이차함수 f(x)가 직선 x=a에 대해 선대칭임을 알려주는 항등식입니다. 이 대칭성을 이용해 f(x)를 a(x-a)²+b 꼴로 설정하고 (나)의 두 정적분 값을 이용해 연립방정식을 풀면 함수를 확정할 수 있습니다. 절댓값 함수의 정적분 계산에서 부호를 잘못 판단하는 실수를 조심해야 합니다.
  

• 수학 30번

  — 최고차항 계수가 1인 3차함수와 그 접선에 대한 심층적인 이해를 요구하는, 이 시험지의 최고난도 문항입니다. 주어진 등식 f(a)+1 = f'(a)(a-t)는 점 (t, -1)에서 곡선 y=f(x)에 그은 접선의 접점이 (a, f(a))임을 의미합니다. '실수 a의 값이 6 하나뿐이기 위한 필요충분조건이 -2<t<k'라는 말은, 직선 y=-1 위의 한 점 (t, -1)에서 3차함수에 접선을 오직 하나만 그을 수 있는 t의 범위가 (-2, k)라는 뜻입니다. 3차함수에서 접선을 하나만 그을 수 있는 영역은 변곡점을 지나는 접선(변곡접선)을 경계로 나뉜다는 사실이 문제 해결의 결정적 아이디어입니다. 즉, 점 (-2, -1)과 (k, -1)이 바로 변곡접선 위의 점이라는 것을 추론해야 합니다.