2017년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 21번 합성함수 문제에서 역함수 존재 조건과 연속성을 엮어낸 방식이 매우 까다로워 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 30번 문항 역시 함수 h(x)의 구조를 파악하고 부등식 조건을 만족시키며 넓이를 최대로 만드는 과정을 추론하는 능력을 요구하는 최고난도 문항이었죠. 전반적으로 킬러 문항의 난이도는 높았지만, 나머지 문항들은 기출문제의 틀을 크게 벗어나지 않아 기본 개념과 유형 학습의 중요성을 다시 한번 일깨워주었습니다. 특히 다항함수의 그래프 개형 추론과 정적분 활용 능력은 수능 고득점을 위해 반드시 정복해야 할 핵심 과제임을 명확히 보여주는 시험이었습니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문항은 함수의 연속성에 대한 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 좌극한과 우극한의 개념을 활용하여 미지수를 포함한 함수의 연속 조건을 파악하는 것이죠. 많은 학생들이 f(x)가 x=0에서 연속이라는 조건을 간과하거나, 주어진 두 개의 식에서 lim g(x)와 lim g(x) 값을 각각 분리해내는 과정에서 실수를 합니다. 결정적 실마리는 f(x)가 x=0에서 연속이므로 '좌극한 = 우극한 = 함숫값'이라는 사실을 이용하는 것입니다. 이 단서를 활용해 f(0)에 대한 두 개의 식을 세우고, 문제에 주어진 g(x)의 극한값 차이(6)와 연립하면 f(0)의 값을 구할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 전형적인 무한등비급수 도형 활용 문제로, 첫째항(S₁)의 넓이와 공비(r)를 정확히 구하는 능력을 평가합니다. 학생들은 주로 공비를 구하는 과정에서 실수를 저지릅니다. 두 번째 도형이 첫 번째 도형 안의 특정 삼각형(A₁B₁D₁)에 내접하는 원에서 시작되므로, 닮음비를 찾기 위해선 첫 번째 원(O₁)과 두 번째 원(O₂)의 반지름 길이의 비율을 구해야 합니다. 흔히 길이의 비를 구해놓고 제곱하는 것을 잊어 넓이의 비(공비)를 틀리는 경우가 많습니다. 이 문제의 핵심은 첫째항의 넓이를 '부채꼴 넓이 - 삼각형 넓이'와 다른 삼각형 넓이의 합으로 정확히 계산하고, 공비는 큰 정삼각형과 작은 정삼각형의 닮음비, 즉 외접원의 반지름의 비를 통해 구하는 것입니다.
  

• 20번

  — 삼차함수와 직선의 교점 개수에 대한 이해를 묻는 문항으로, 그래프 개형 추론 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 f(x) = -x + t 라는 방정식을 f(x) + x = t 로 변형하여, 새로운 함수 h(x) = f(x) + x 의 그래프와 상수함수 y = t 의 교점으로 해석할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 특히 'ㄷ' 보기가 함정인데, 교점의 개수 g(t)가 상수함수라는 것은 h(x)가 극값을 갖지 않고 계속 증가하거나 감소해야 함을 의미합니다. 많은 학생들이 f(x)가 극값을 갖지 않는다고 착각하지만, 실제로는 h'(x) = f'(x) + 1 ≥ 0 이 성립하면 되므로 f(x)가 극값을 가져도 g(t)는 상수함수가 될 수 있습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 방정식의 근의 개수 문제를 함수 그래프의 교점 개수 문제로 치환하여 생각하는 것입니다.
  

• 21번

  — 합성함수 g(f(x))가 역함수를 갖는다는 조건을 해석하는 것이 관건인 고난도 문항입니다. 역함수가 존재하려면 함수가 '일대일 대응'이어야 하고, 이는 실수 전체에서 정의된 함수에서는 '반드시 연속이면서 항상 증가하거나 항상 감소'해야 함을 의미합니다. 학생들은 먼저 g(x)의 그래프를 그려 구간별 특징을 파악해야 하는데, 이 과정부터 만만치 않습니다. 가장 큰 함정은 f(x)의 연속성만 따지거나, g(f(x))의 증가/감소 여부를 판별할 때 f(x)의 치역이 g(x)의 어느 정의역 구간에 해당하는지를 놓치는 것입니다. 이 문제의 열쇠는 g(x)가 x=0을 기준으로 증가/감소가 바뀌는 V자 형태의 일부임을 파악하고, g(f(x))가 항상 증가하기 위해서는 f(x)의 치역이 g(x)의 증가하는 구간에만 놓이도록 f(x)의 계수 a, b, c를 결정해야 한다는 점을 깨닫는 것입니다.
  

• 29번

  — 두 삼차함수의 곱으로 표현된 함수와 특정 함수의 극값 조건을 통해 각 함수를 추론해내는 문제입니다. 출제 의도는 인수정리와 도함수의 활용 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. f(x)g(x)가 (x-1)², (x-2)², (x-3)²을 인수로 갖는다는 점에서 f(x)와 g(x)가 이 인수들을 어떻게 나누어 갖는지를 추론해야 합니다. 가장 흔한 오답 패턴은 g(x)가 x=2에서 극댓값을 갖는다는 조건을 g(2)=0으로만 해석하여 (x-2)를 인수로 갖는다고만 생각하는 것입니다. 하지만 극값을 가지려면 g'(2)=0이어야 하므로, g(x)는 (x-2)²를 인수로 가질 가능성이 매우 높습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 'g(x)의 최고차항 계수가 3'이라는 조건과 'g(x)가 x=2에서 극값을 갖는다'는 조건을 결합하여 g(x)의 형태를 3(x-2)²(x-k) 또는 3(x-a)(x-b)(x-c)로 가정한 뒤 g'(2)=0을 만족하는 인수의 조합을 찾아내는 것입니다.
  

• 30번

  — 정적분으로 정의된 값의 최소를 구하는 문제로, 여러 함수가 복잡하게 얽혀 있어 해석 능력이 매우 중요합니다. 출제 의도는 평행이동된 함수들로 구성된 h(x)의 그래프를 추론하고, 0 ≤ h(x) ≤ g(x)라는 부등식 조건을 만족시키면서 ∫(g(x)-h(x))dx를 최소화하는 상황을 찾는 것입니다. 이 적분값을 최소화하려면, 결국 ∫h(x)dx를 최대화해야 합니다. 학생들은 h(x) = k{f(x)-f(x-a)-f(x-b)+f(x-2)}의 형태가 매우 생소하여 그래프를 그리는 데 어려움을 겪습니다. 이 문제의 돌파구는 f(x)가 간단한 직선이므로 h(x)가 구간별로 상수함수(계단 모양)가 됨을 파악하는 것입니다. 결국 문제는 '포물선 g(x) 아래에 놓일 수 있는 계단 모양 h(x)의 넓이가 최대가 되는 순간'을 찾는 기하학적 문제로 바뀌며, 이는 h(x)의 그래프가 g(x)의 그래프에 접할 때 발생합니다.
  

• 기하 27번

  — 포물선과 타원의 정의를 정확히 알고 기하학적으로 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 복잡한 연립방정식 계산이 아니라, 각 도형의 정의를 그림 위에서 길이의 관계로 표현하는 것입니다. 'PA = PF'라는 조건은 점 P가 타원 위의 점이면서 동시에 포물선 위의 점이라는 것을 암시하지만, 사실상 타원의 초점 F'와 포물선의 초점 A를 연결하는 관계를 찾는 데 사용됩니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 포물선의 정의, 즉 '포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다'는 사실을 놓치고 좌표 계산에만 매몰되는 것입니다. 힌트는 주어진 세 개의 등식(AF=2, PA=PF, FF'=PF')을 한 그림에 길이로 표시하고, 타원의 정의(PF + PF' = 장축의 길이)를 어떻게 활용할지 고민하는 데서 나옵니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 조건부확률 문제로, 문제의 상황을 정확하게 이해하고 케이스를 꼼꼼하게 나누는 능력이 관건입니다. 출제 의도는 '갑이 을보다 큰 수가 나왔을 때'라는 조건부 사건을 새로운 표본공간으로 설정하고, 그 안에서 '갑의 수가 을과 병의 수의 합보다 클 확률'을 계산하도록 하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 조건부확률의 분모가 되는 P(갑 > 을)을 계산할 때, 갑이 뽑을 수 있는 6가지 카드 각각에 대해 을이 뽑는 경우를 일일이 세는 과정에서 실수를 하는 것입니다. 이 문제를 푸는 가장 확실한 실마리는 먼저 (갑, 을)의 순서쌍 중 '갑 > 을'을 만족하는 모든 경우를 표로 그려 나열하고, 그 개수를 분모로 확정 짓는 것입니다. 그 후, 각각의 경우에 대해 병이 뽑을 수 있는 3가지 수를 대입하여 '갑 > 을+병' 조건을 만족하는 경우의 수를 세는 것이 가장 안전한 방법입니다.
  

• 기하 29번

  — 공간벡터의 내적과 자취를 기하학적으로 해석하여 최대, 최소 거리를 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 점 P가 만족하는 조건 'OB·OP=0'과 '|OP|≤4'를 해석하여 P의 자취가 어떤 도형인지를 파악하는 것입니다. 이는 원점을 중심으로 하고 반지름이 4인 xy평면 위의 원판임을 의미합니다. 그 다음, 점 Q의 조건을 해석하는 것이 관건인데, |PQ|=1은 Q가 P를 중심으로 하는 반지름 1인 구 위의 점임을, 'PQ·OA ≥ √3/2'는 벡터 PQ와 x축 양의 방향이 이루는 각의 코사인 값이 √3/2 이상, 즉 각이 30도 이하임을 의미합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 P가 원판 위를 움직일 때 Q가 존재하는 영역 전체를 상상하는 것입니다. 힌트는 B(0,0,2)에서 가장 멀거나 가까운 Q를 찾기 위해, 먼저 P가 어떤 위치에 있을 때 |BQ|가 극값이 될 가능성이 있는지부터 따져보는 것입니다. P의 위치를 x축 또는 y축 위의 특수한 점으로 고정하고 Q의 범위를 생각해보면 전체적인 영역을 추론하는 데 도움이 됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 절댓값을 포함한 함수의 미분가능성과 최대·최소를 다루는 최고난도 미분 문제입니다. 출제 의도는 함수 h(x) = |g(x) - f(x-k)|가 x=k에서 최솟값 g(k)를 갖는다는 조건의 의미를 파악하는 것입니다. 이 조건이 성립하려면, 두 함수 y=g(x)와 y=f(x-k)가 x=k에서 만나고(함숫값이 같고), 그 지점에서 g(x)의 접선의 기울기가 f(x-k)의 접선의 기울기와 같아야 합니다. 즉, g(k)=f(0)과 g'(k)=f'(0)이라는 두 개의 핵심적인 관계식을 도출해야 합니다. 많은 학생들이 g(k)=f(0)만 생각하고 미분계수가 같다는 조건을 놓쳐서 이차함수 g(x)를 확정하지 못하는 실수를 합니다. 이 두 조건을 통해 g(x)를 k에 대한 식으로 표현한 뒤, 닫힌 구간 [k-1, k+1]에서 h(x)의 최댓값 조건을 이용하여 k를 구하는 것이 문제 해결의 전체적인 흐름입니다.