2018년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 21번과 30번 문항에서 함수의 그래프 개형을 추론하는 능력을 매우 깊이 있게 측정하여 최상위권 변별력을 확보했습니다. 전반적인 문제 구성은 기존 기출문제의 유형을 충실히 따르고 있어, 새로운 유형보다는 익숙한 개념을 얼마나 정확하고 깊게 이해하고 있는지가 등급을 결정했을 것입니다. 특히 정적분으로 정의된 함수를 다루는 21번이나, 합성함수와 실근의 관계를 묻는 30번 같은 문항은 수능에서도 최고난도 문항으로 출제될 가능성이 높으므로 반드시 복습해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 벡터 내적의 최댓값을 묻고 있지만, 그 본질은 기하학적 상황을 해석하는 데 있습니다. 많은 학생들이 |PA + PB| = √10 이라는 조건을 보고 타원을 떠올리며 함정에 빠지기 쉽지만, 이는 벡터의 합에 대한 조건입니다. 선분 AB의 중점 M을 도입하여 |2PM| = √10, 즉 점 P가 M을 중심으로 하는 원 위의 점임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 그 후, OB · OP의 값이 최대가 되는 것은 두 벡터가 이루는 각이 최소일 때, 즉 점 P가 O에서 M을 지나 원과 만나는 가장 먼 점 Q일 때라는 기하학적 직관을 이용해야 합니다.
  

• 18번

  — 이 문항은 함수의 연속성에 대한 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는, 전형적인 합답형(ㄱ,ㄴ,ㄷ) 문제입니다. 출제 의도는 주어진 함수 f(x)를 바탕으로 새롭게 정의된 함수 g(x)와 h(x)의 특정 지점(x=0)에서의 연속성을 판별하는 것입니다. 많은 학생들이 g(x)의 절댓값 기호를 처리하거나 h(x)의 f(-x)를 해석할 때 그래프를 직접 그리지 않고 머릿속으로만 생각하다가 좌극한과 우극한 값을 착각하는 실수를 합니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 f(x)의 그래프를 이용하여 g(x) = f(x) + |f(x)|와 h(x) = f(x) + f(-x)의 그래프를 x=0 근방에서 직접 그려보는 것입니다. 특히 h(x)가 우함수(y축 대칭)의 형태를 띤다는 것을 간파하면 훨씬 수월하게 접근할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 닮음을 이용한 등비급수 도형 문제는 수능의 단골 출제 유형으로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 복잡해 보이는 도형에서 닮음 관계를 찾아내고, 삼각비와 원의 성질을 이용하여 필요한 길이와 넓이를 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 두 번째 도형(R₂)의 한 변의 길이를 구할 때, 복잡한 좌표 설정이나 비례식 계산에 매몰되어 시간을 허비하는 것입니다. 이 문제를 풀어낼 결정적 힌트는 첫 번째 직사각형 OA₁B₁C₁과 두 번째 직사각형 OA₂B₂C₂의 닮음비를 찾는 데 있습니다. 점 B₂가 호 D₁E₁ 위에 있다는 조건을 이용해 O, B₂, C₁을 잇는 직각삼각형을 만들면 닮음비를 손쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 독립시행의 확률과 조건부 확률이 결합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 6번의 시행 동안 특정 사건(공의 개수 변화)이 일어나는 과정을 추적하고, 마지막 시행에서 처음으로 특정 조건을 만족할 확률을 계산하도록 하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 '6번째 시행 후 처음으로 8개가 될'이라는 조건을 간과하고, 단순히 6번 시행 후 B 상자에 공이 8개가 될 모든 경우의 확률을 계산하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 5번째 시행까지는 B 상자의 공이 절대로 8개가 되어서는 안 된다는 제약 조건을 먼저 파악하는 것입니다. 동전의 앞면이 나온 횟수를 a, 뒷면이 나온 횟수를 b라 할 때, a+b=6이고 B 상자의 공 개수가 6+a-b=8이 되는 (a,b) 순서쌍을 찾고, 그 과정에서 5번째까지 8개가 되는 경우를 제외하는 방식으로 접근해야 합니다.
  

• 21번

  — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 성질을 통해 원함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 g(x)의 증감 상태에 대한 정보를 해석하여 피적분함수인 {f(t)-|f(t)|}의 부호를 파악하고, 이를 통해 사차함수 f(x)의 그래프 개형을 결정하는 것입니다. 많은 학생들이 g'(x) = 2{f(2x)-|f(2x)|} - (-1){f(-x)-|f(-x)|} 라는 복잡한 도함수 형태에 압도되어 문제의 본질을 파악하지 못합니다. 결정적인 실마리는 피적분함수 {f(t)-|f(t)|}의 값이 f(t)≥0일 때 0이 되고, f(t)<0일 때 2f(t)가 된다는 사실입니다. (가), (나), (다) 조건은 결국 f(x)가 어떤 구간에서 0보다 작거나 같은지, 즉 f(x)의 실근의 위치에 대한 정보를 주고 있는 것이므로, 이를 바탕으로 x축과 만나는 사차함수(우함수)의 그래프 개형을 추론하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 29번

  — 규칙에 따라 움직이는 점의 좌표를 추적하는 수열 문제로, 격자점 문제와 유사한 형태입니다. 출제 의도는 주어진 규칙(이동 거리: (2n-1)/25)에 따라 점 Aₙ의 좌표를 계산하고, 그 점들 중 y=x 직선 위에 있는 점들의 규칙성을 발견하는 것입니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 점 P의 이동 경로가 단순히 직선이 아니라 수직으로 꺾이는 경로라는 점을 놓치는 것입니다. Aₙ의 좌표를 구하기 위해서는 Aₙ₋₁에서부터 이동한 총 거리를 계산하고, 그 거리가 경로의 어느 부분에 해당하는지를 판단해야 합니다. 문제 해결의 핵심은 점 Aₙ의 x좌표와 y좌표의 합이 원점으로부터 이동한 총 거리(Sₙ)와 같다는 점을 이용하는 것입니다. 점 Aₙ이 y=x 위에 있으려면 x좌표와 y좌표가 같아야 하므로, 총 이동 거리 Sₙ이 짝수가 되는 n값을 찾는 것이 결정적인 단서가 됩니다.
  

• 30번

  — 합성함수 방정식 (f∘f)(x)=x의 실근에 대한 이해와 삼차함수의 그래프 추론 능력을 종합적으로 평가하는 최고난도 킬러 문항입니다. 출제 의도는 (f∘f)(x)=x의 실근이 f(x)=x의 실근과 f(x)=y, f(y)=x (단, x≠y)를 만족하는 실근의 합집합이라는 사실을 이용하여 삼차함수 f(x)의 그래프를 특정하는 것입니다. 대부분의 학생들은 (f∘f)(x)=x라는 방정식 자체의 형태에 압도되어, 이 방정식의 근이 갖는 기하학적 의미(y=f(x) 그래프와 y=x 직선의 교점, 또는 y=f(x) 그래프 위의 y=x 대칭인 두 점)를 파악하지 못합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 주어진 5개의 실근(0, 1, a, 2, b)이 어떤 관계를 맺고 있는지를 파악하는 것입니다. f'(1)<0, f'(2)<0 조건과 근의 순서(1<a<2<b)를 고려하면, (1, 2)와 (2, 1)이 y=x에 대해 대칭인 점이 될 수 없음을 알 수 있습니다. 따라서 (1,1), (2,2)는 교점이 아니고, (a,a)가 교점이며 (1,b), (b,1) 또는 (1,2), (2,1)과 같은 대칭 쌍이 존재해야 함을 추론하는 것이 문제 해결의 시작입니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 이 문제는 'a<2 또는 b<2'라는 조건 때문에 많은 학생들이 합사건의 확률로 접근하려다 시간을 낭비하기 쉽습니다. 출제 의도는 '또는'이 포함된 사건은 여사건을 활용하는 것이 훨씬 효율적이라는 점을 꿰뚫어 보는지 평가하는 것입니다. 전체 경우의 수는 a+b+c=9를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수이므로 중복조합(3H9)으로 간단히 구할 수 있습니다. 문제의 핵심은 여사건인 'a≥2 그리고 b≥2'를 설정하고, a'=a-2, b'=b-2로 치환하여 a'+b'+c=5라는 새로운 방정식의 해를 구하는 데 있습니다. 이 발상 전환 하나로 문제의 난이도가 급격히 내려갑니다.
  

• 기하 29번

  — 공간벡터와 평면의 개념이 복합적으로 얽혀있는 고난도 문항입니다. OA · OP = c 라는 조건이 벡터 OA를 법선벡터로 하는 평면을 의미한다는 것을 즉시 파악해야 합니다. 즉, P1, P2, P3는 서로 다른 세 평행한 평면 위에 놓여있습니다. 문제의 실마리는 xy평면으로의 정사영에 있습니다. 직선 l은 xy평면 위의 직선이며, 이 직선이 xy평면을 두 영역으로 나눕니다. P1, P2, P3의 xy평면 위로의 수선의 발들이 모두 한 영역에 속한다는 것은, 이 점들의 좌표 (x, y)가 부등식 y+6x-k > 0 또는 y+6x-k < 0 을 모두 만족한다는 의미입니다. 각 점의 좌표를 구하고 부등식에 대입하여 k의 범위를 찾아내는 것이 최종 목표입니다.
  

• 미적분 30번

  — 최고난도 문항으로, 합성함수 h(x)=f(g(x))의 조건을 통해 4차함수 f(x)의 그래프를 역으로 추론해야 합니다. 이 문제를 풀기 위한 첫걸음은 내함수 g(x)=2x²e⁻ˣ의 그래프 개형을 완벽하게 분석하는 것입니다. g(x)의 극값, 변곡점, 점근선을 파악하고 치역을 알아내야 합니다. 그 다음, (가), (나), (다) 조건을 하나씩 f(x)에 대한 정보로 번역해야 합니다. 예를 들어, (가) 조건 'h(x)=0의 실근이 4개'라는 것은, f(y)=0의 근 y=c에 대해 g(x)=c를 만족하는 x의 개수의 총합이 4라는 뜻입니다. 특히 (나) 조건 'h(x)는 x=0에서 극소'는 h'(0)=f'(g(0))g'(0)=0인데 g'(0)=0이므로 추가적인 분석이 필요한, 이 문제의 가장 핵심적인 함정이자 실마리입니다.