2018년 07월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 문항은 물론이고 16번 합성함수와 21번 절댓값 함수까지, 복잡한 함수의 그래프 개형을 추론하고 교점의 개수를 분석하는 능력이 이번 시험의 등급을 갈랐을 겁니다. 단순 계산 문제보다는 함수의 대칭성, 극값의 위치 등 개념적 이해를 깊이 있게 물어보는 문항들이 다수 포진되어 있었습니다. 이러한 출제 경향은 평가원이 수험생에게 요구하는 수학적 사고력을 명확히 보여주며, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 각 개념이 그래프 상에서 어떻게 구현되는지 시각적으로 훈련하는 것이 수능 고득점의 핵심임을 다시 한번 일깨워줍니다.

문항 분석

• 17번

  — 삼차함수의 그래프 성질을 이용해 방정식의 실근 개수를 추론하는 문제입니다. (나) 조건에서 '실근의 개수가 2개'라는 것은 함수 그래프와 직선이 '접한다'는 의미이며, '실수 p의 최댓값이 f(2)'라는 것은 p=f(2)일 때가 바로 그 접하는 상황 중 하나임을 알려주는 결정적 힌트입니다. 많은 학생들이 f(2)를 무조건 극댓값이라고 단정하는 실수를 하는데, (가) 조건 f(2)=f(5)를 통해 삼차함수의 비율 관계를 떠올려 극점의 위치를 정확히 파악하는 것이 핵심입니다. f(x)-f(2) = (x-2)²(x-k) 꼴로 식을 세우면 계산을 훨씬 수월하게 진행할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 이 문제는 확률변수 X의 기댓값을 구하는 과정을 빈칸 추론 형태로 제시했습니다. 출제 의도는 동일한 것이 있는 순열의 수를 정확히 계산하고, 확률변수의 정의에 따라 각 케이스를 누락 없이 셀 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 헤맸을 부분은 (나)를 구하는 과정인데, '번호 4가 부여된 흰 공'을 기준으로 앞쪽(1~3번)과 뒤쪽(5~7번)의 상황을 분리해서 생각하는 것이 핵심입니다. 즉, 1~3번 자리에 흰 공 1개와 검은 공 2개를 배열하고, 5~7번 자리에 남은 흰 공 2개와 검은 공 1개를 배열하는 경우의 수를 각각 곱해야 한다는 실마리를 잡아야 합니다.
  

• 19번

  — 도형의 닮음을 이용한 무한등비급수 문제로, 첫째항(S₁)과 공비를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 공비는 첫 번째 정삼각형과 두 번째 정삼각형의 길이의 비를 제곱하여 쉽게 구할 수 있으므로, 결국 이 문제의 성패는 S₁의 넓이를 구하는 계산력에 달려있습니다. S₁은 두 개의 동일한 활꼴 모양 넓이의 합으로, 중심각이 120도인 부채꼴에서 이등변삼각형의 넓이를 빼서 구해야 합니다. 이 과정에서 필요한 길이와 각도를 삼각비나 좌표를 이용해 정확히 찾아내는 끈기가 필요하며, 계산 실수에 특히 유의해야 합니다.
  

• 20번

  — 도함수의 성질을 통해 원함수의 그래프를 추론하는, 개념 이해도를 깊이 있게 측정하는 문항입니다. 핵심은 f'(-x)=-f'(x)라는 조건이 도함수 f'(x)가 '기함수(원점 대칭)'임을 의미하고, 이를 적분한 f(x)는 '우함수(y축 대칭)'가 된다는 사실을 간파하는 것입니다. 이 대칭성을 이용하면 f'(1)=0일 때 f'(-1)=0임은 자명하며(ㄱ), f'(x)의 식을 4x(x-1)(x+1)로 특정할 수 있습니다. f(x)가 우함수라는 것을 알면 정적분 계산(ㄴ)과 그래프 개형(ㄷ)을 판단하는 것이 훨씬 수월해지므로, 대칭성 파악이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 절댓값을 포함한 함수의 극댓값과 정적분을 묻는 문제입니다. f(x)=(x-1)|x-a|는 x=a를 기준으로 함수식이 달라지므로, a와 1의 대소 관계에 따라 그래프 개형이 달라진다는 점을 인지하고 경우를 나누어 접근해야 합니다. 극댓값이 1이라는 조건은 미분해서 0이 되는 지점의 함숫값이 1이라는 의미인데, a>1일 때 (1, a) 구간에서 생기는 위로 볼록한 이차함수의 꼭짓점에서 극댓값이 발생함을 파악하는 것이 결정적 실마리입니다. 이 조건을 이용해 a값을 확정한 후, 구간을 나누어 정적분을 계산하면 됩니다.
  

• 기하 28번

  — 타원의 정의와 중학교 기하 지식을 융합하여 해결해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 타원의 정의(두 초점까지의 거리의 합이 2a로 일정)를 기본으로, 문제에 주어진 추가적인 기하학적 조건(중점, 길이)을 어떻게 해석하고 활용하는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 PF=5, PM=5라는 조건만 보고 삼각형 FMP가 이등변삼각형이라는 사실에만 매몰되는 것입니다. 결정적인 실마리는 'M이 선분 FQ의 중점'이라는 조건과 PM=5를 연결하는 것입니다. 삼각형 PFQ에서 중선 PM의 길이가 빗변 FQ의 절반(FM=5이므로 FQ=10)과 같으므로, 삼각형 PFQ는 ∠P=90°인 직각삼각형임을 알아채야 합니다. 이 사실을 발견하는 순간, 피타고라스 정리와 타원의 정의를 연립하여 장축과 단축의 길이를 구할 수 있게 됩니다.
  

• 기하 29번

  — 벡터 내적의 기하학적 의미를 완벽하게 이해하고 있는지를 묻는 고난도 문항입니다. 이 문제를 좌표 성분으로만 풀려고 시도하면 계산이 매우 복잡해져 길을 잃기 쉽습니다. 출제 의도는 AR·AS를 성분 계산이 아닌, 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 코사인 값의 곱으로 해석하여 최대·최소를 기하학적으로 찾을 수 있는지를 평가하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 AR·AS를 AR·(OS-OA)로 분해하는 것입니다. 여기서 S는 원 C₁ 위의 점이므로 OS는 크기가 √5로 고정된 벡터입니다. 따라서 AR·OS의 최대·최소는 벡터 OS가 벡터 AR과 같은 방향일 때와 반대 방향일 때 발생합니다. 결국 이 문제는 주어진 조건들을 활용하여 벡터 AR을 먼저 확정 짓고, 그 다음 내적의 기하학적 의미를 적용하는 2단계 사고 과정을 요구합니다.
  

• 미적분 30번

  — 미분, 적분, 함수의 그래프 추론 등 미적분의 모든 핵심 개념을 총동원해야 하는 최고난도 킬러 문항입니다. 출제 의도는 복잡하게 주어진 부등식 g(x)-k ≥ xf(x)를 새로운 함수 J(x) = g(x) - xf(x)의 최솟값이 k라는 것으로 해석하고, 이 최솟값 k와 그때의 x좌표 사이의 관계(h(k))를 역으로 추적하여 미지의 계수 a, b를 결정하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 J(x)를 미분하여 J'(x) = -xf'(x)라는 간결한 관계를 이끌어내지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. 이 관계식을 찾는 것이 문제 해결의 결정적 실마리이며, 이를 통해 f'(x)의 부호 변화를 조사하여 J(x)의 극값을 찾고, 주어진 (가), (나) 조건을 대입하여 a, b에 대한 연립방정식을 풀어내는 것이 정해진 풀이의 흐름입니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 조건을 만족하는 부분집합들의 특정 원소의 합을 구하는 문제입니다. 원소의 개수가 3 이상인 부분집합을 모두 구해서 최소 원소를 더하는 것은 불가능에 가깝습니다. 발상을 전환하여, 각 원소(2, 4, 8, ...)가 '최소 원소'가 되는 집합은 총 몇 개일까를 역으로 세는 것이 핵심 전략입니다. 예를 들어, '8(2³)'이 최소 원소가 되려면, 집합은 8을 반드시 포함하고 8보다 작은 원소(2, 4)는 포함하지 않아야 합니다. 이 상태에서 '원소 개수 3개 이상' 조건을 만족시키도록 8보다 큰 원소(16, 32, 64) 중에서 원소를 추가하는 경우의 수를 계산하고, 이를 각 원소에 대해 반복하여 (원소 값) × (경우의 수)의 총합을 구해야 합니다.
  

• 수학 II 30번

  — 기울기 t의 변화에 따른 직선과 절댓값 함수 그래프의 교점 개수 함수 g(t)의 불연속성을 분석하는 최고난도 문항입니다. g(t)가 불연속이 되는 지점은 직선이 그래프에 '접할 때'와 '뾰족점(첨점)을 지날 때'입니다. 이 문제의 가장 결정적인 조건은 '불연속이 되는 k값 중 가장 작은 값이 0'이라는 부분입니다. 이는 t=0, 즉 수평선과의 교점 개수는 변하지 않는다는 의미로, 점 (a, f(a))를 지나는 수평선이 y=|f(x)| 그래프와 접하는 상황이 아니어야 함을 시사합니다. 3차 함수 f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계를 조절하며, 언제 y=|f(x)|의 극댓값과 극솟값의 절댓값이 같아지는지를 찾아내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.