2018년 04월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 4월 학평 나형은 30번 문항의 복잡한 함수 해석과 21번, 29번의 꼼꼼함을 요구하는 경우의 수 문제에서 등급이 갈렸을 것으로 보입니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 도형과 수열이 결합된 18번, 20번 문항에서부터 시간을 많이 소모하며 어려움을 겪었을 가능성이 높아요. 이처럼 여러 개념을 융합하여 문제 해결 능력을 측정하는 방식은 평가원 수능의 핵심 기조이므로, 각 단원의 개념을 유기적으로 연결하는 훈련이 반드시 필요합니다. 특히 30번처럼 함수의 그래프를 조건에 맞게 추론하고, 특정 상황에서의 불연속점을 찾는 유형은 수능에서도 최고난도 문항으로 출제될 가능성이 매우 높으니 철저한 대비가 필요합니다.

문항 분석

• 18번

  — 도형에서의 등비급수 문제는 첫째항(S₁)과 공비(r)만 구하면 끝나는, 어찌 보면 정해진 길을 걷는 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 도형에서 닮음 관계를 정확히 찾아내 공비를 계산할 수 있는지를 묻는 것이죠. 많은 학생들이 첫째항인 삼각형 B₂P₁Q₁의 넓이는 구하지만, 두 번째 도형과의 닮음비를 찾는 데서 헤매곤 합니다. 이 문제의 실마리는 두 정사각형 A₁B₁C₁D₁과 A₂B₂C₂D의 한 변의 길이의 비율을 찾는 것입니다. 점 B₂가 첫 번째 정사각형의 대각선의 교점이라는 사실을 이용해 좌표를 설정하면 두 번째 정사각형의 한 변의 길이를 쉽게 구할 수 있고, 이것이 바로 공비를 찾는 결정적 힌트가 됩니다.
  

• 20번

  — 도형의 넓이를 Sₙ으로 정의하고 시그마(∑) 계산을 요구하는 전형적인 수열 응용 문제입니다. 이 문제의 핵심은 사각형 EFGH의 넓이 Sₙ을 n에 대한 식으로 어떻게 표현하느냐에 있습니다. 많은 학생들이 이 사각형이 평범한 사각형이 아니라는 점에서 당황하고, 각 변의 길이를 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠집니다. 출제자가 숨겨놓은 결정적 힌트는 '두 대각선 HF와 EG가 서로 수직'이라는 조건입니다. 대각선이 직교하는 사각형의 넓이는 (1/2) × (두 대각선의 길이의 곱)이라는 사실을 떠올렸다면, 문제에서 주어진 HF의 길이를 활용해 EG의 길이만 구하면 되는 훨씬 간단한 문제로 바뀝니다. 정사각형을 좌표평면에 올려놓고 점들의 좌표를 n으로 표현하면 EG의 길이를 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 조건을 만족하는 자연수 순서쌍의 개수를 세는, 고난도 경우의 수 문제입니다. (가) 조건 a+b+c+d=12만 보면 단순한 중복조합 문제(4H₁₂)지만, (나) 조건의 '서로 다른 점'과 '직선 y=2x 위에 있지 않다'는 제약이 학생들을 괴롭힙니다. 이런 문제는 정면으로 돌파하기보다 전체 경우의 수에서 조건을 만족하지 않는 경우를 빼는 '여사건' 전략이 훨씬 효과적입니다. 즉, 전체 순서쌍 개수에서 (a,b) 또는 (c,d)가 y=2x 위에 있는 경우를 빼는 것이죠. 여기서 가장 흔한 실수는 (a,b)와 (c,d)가 둘 다 y=2x 위에 있는 경우를 중복해서 빼는 것입니다. 포함-배제의 원리를 적용하여 꼼꼼하게 계산해야 하며, '서로 다른 점'이라는 조건 때문에 (a,b)=(c,d)인 경우도 제외해야 한다는 점을 놓치면 안 됩니다.
  

• 기하 28번

  — 쌍곡선의 정의와 원의 기하학적 성질을 결합한 최고난도 문항입니다. 최소화해야 할 식 PQ + PF'를 보고 많은 학생들이 당황했을 것입니다. 흔히 하는 실수는 P와 Q를 각각 변수로 설정하여 거리 공식을 이용해 풀려고 시도하는 것인데, 이는 계산 지옥으로 가는 길입니다. 이 문제의 핵심은 쌍곡선의 정의(PF' - PF = 2a)를 이용해 PF'를 PF + 2a로 변형하고, 구해야 할 식을 (PQ + PF) + 2a로 바꾸는 것입니다. 결국 P에서 원 위의 점 Q와 초점 F까지의 거리 합의 최솟값을 구하는 문제로 귀결되는데, 이는 세 점 A(원의 중심), P, F가 일직선 상에 있을 때 최소가 된다는 기하학적 통찰을 요구합니다. 하지만 이 문제의 진짜 킬링 포인트는 PQ의 최솟값이 PA-1 이라는 점을 이용하여, 최종적으로 AF'의 거리가 최솟값이 된다는 것을 추론하는 것입니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 함수의 개수를 세는 문제에 정수론(나머지) 개념을 융합한 문제입니다. f(1)+f(2)+f(3)-f(4)가 3의 배수가 되는 조건을 만족하는 함수 f의 개수를 직접 세는 것은 불가능에 가깝습니다. 이 문제의 함정은 복잡한 조건에 압도되어 체계적인 분류를 포기하는 것입니다. 해결의 실마리는 공역 Y의 원소 {1, 2, 3, 4, 5}를 3으로 나눈 나머지를 기준으로 {3}, {1, 4}, {2, 5} 세 그룹으로 나누는 것입니다. 그 후, f(1)+f(2)+f(3) ≡ f(4) (mod 3) 라는 나머지 관점의 식으로 변환하여 f(4)의 나머지 값에 따라 케이스를 나누어 f(1), f(2), f(3)의 함숫값을 정하는 방식으로 접근해야 합니다.
  

• 미적분 30번

  — 함수의 최대/최소, 미분, 적분이 모두 결합된 종합선물세트 같은 문제입니다. 특히 (나) 조건 '닫힌 구간 [k, k+2]에 있는 임의의 실수 t에 대해서만 m(t)=f(-t)가 성립한다'는 부분의 의미를 정확히 해석하지 못하면 풀이의 방향을 잃게 됩니다. 이 조건은 함수 f(x)의 극소점의 위치에 대한 결정적인 정보를 담고 있습니다. 이 문제의 핵심 열쇠는 (가), (나) 조건을 통해 함수 f(x)의 도함수 f'(x)의 부호를 추론하여 a, b의 부호와 관계를 알아내고, 이를 통해 k값을 특정하는 것입니다. 이 과정이 선행되어야만 (다)의 정적분 계산을 올바르게 수행할 수 있습니다.
  

• 수학 28번

  — 등차수열의 여러 성질을 종합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 단순히 첫째항과 공차를 연립방정식으로 구하는 기계적인 풀이가 아닌, 등차수열의 구조적 특징을 이해하고 있는지를 확인하는 것입니다. (가)와 (나) 조건에서 '연속된 세 항의 합'이 주어진 것이 결정적 힌트입니다. 등차수열에서 연속된 세 항의 합은 가운데 항의 3배와 같다는 '등차중항'의 성질을 이용하면 a₂=53, aₘ₋₁=32라는 값을 즉시 얻을 수 있습니다. 이 두 항의 값을 이용해 공차 d를 m에 대한 식으로 표현하고, 마지막으로 주어진 등차수열의 합 공식 Sₘ=425에 대입하면 m값을 확정하고 문제에서 요구하는 a₁₁을 구할 수 있습니다. 복잡한 계산 대신 개념을 활용하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
  

• 수학 29번

  — 집합의 포함 관계를 만족하는 순서쌍의 개수를 구하는 문제로, 빈칸 채우기 형태로 출제되어 풀이 과정의 논리적 흐름을 따라갈 수 있는지를 평가합니다. 이 문제의 핵심 아이디어는 '각 원소의 입장에서 생각하는 것'입니다. 전체집합 U의 원소 10개는 각각 S₁, S₂-S₁, S₃-S₂, U-S₃ 중 한 곳에 속해야 합니다. n(S₁)=k일 때, S₁에 속하지 않는 나머지 (10-k)개의 원소들은 S₂-S₁, S₃-S₂, U-S₃ 세 영역 중 하나를 자유롭게 선택할 수 있습니다. 따라서 각 원소당 3가지 선택지가 있으므로, 경우의 수는 3¹⁰⁻ᵏ가 됩니다. 이것이 바로 (가)에 들어갈 식 f(k)입니다. 최종적인 계산은 이항정리를 활용하는 것인데, ∑₁₀Cₖ(3¹⁰⁻ᵏ)는 (1+3)¹⁰의 전개식과 형태가 매우 유사하다는 점을 간파하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 수학 30번

  — 함수의 극한, 연속성, 그래프 개형 추론 능력을 총동원해야 하는 최고난도 문항입니다. f(x)를 기반으로 정의된 새로운 함수 g(x), 그리고 거기에 절댓값까지 씌운 |g(x)|의 그래프를 단계적으로 그려나가는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. (가), (나) 조건을 통해 f(x)의 점근선과 k의 값을 유추할 수 있고, 가장 결정적인 힌트는 (다) 조건입니다. 함수 y=|g(x)|의 그래프와 수평선 y=-k가 오직 두 점에서만 만난다는 것은, |g(x)| 그래프의 '뾰족점' 또는 '극소점'의 y좌표가 -k라는 강력한 정보를 제공합니다. 이 조건을 만족하는 f(x)와 k의 값을 확정하고 |g(x)|의 그래프를 완성한 후, 마지막으로 직선 y=m(x-4α)+1/2이 그래프와 만나는 교점의 개수(h(m))가 변하는 순간, 즉 직선이 그래프에 접하거나 뾰족점을 지날 때의 기울기(m)들을 찾아 합을 구하면 됩니다.