2017년 07월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 7월 학력평가 나형은 21번 문항에서 학생들의 멘탈을 흔들었을 가능성이 높습니다. 3차 함수 그래프 개형을 추론하여 불연속점을 찾고, 이를 이용해 곱함수의 연속성을 따지는 이 문제는 나형 킬러 문항의 정석을 보여주었죠. 전반적으로 복잡한 계산보다는 20번, 29번처럼 미분, 적분, 극한, 도형 등 여러 개념을 유기적으로 연결하는 통합적 사고력을 요구하는 문항들이 많았습니다. 이러한 출제 기조는 수능에서도 마찬가지이므로, 기출 문제를 풀 때 단순히 답을 내는 것을 넘어 각 개념이 어떻게 다른 단원과 융합되어 출제되는지 그 연결고리를 파악하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 x축에 수직인 단면을 이용해 입체도형의 부피를 구하는 정적분 활용 문제입니다. 출제 의도는 주어진 곡선과 구간 내에서 단면의 넓이 함수 S(x)를 정확히 세우고 이를 적분할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 단면이 '정삼각형'이라는 조건을 놓치고 단면의 한 변의 길이를 y로 둔 뒤, 넓이를 y²으로 착각하는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 단면인 정삼각형의 한 변의 길이가 y = 3x + 2/x 라는 것을 파악하고, 정삼각형의 넓이 공식 (√3/4)a²에 대입하여 S(x) = (√3/4)(3x + 2/x)²를 구한 뒤, 구간 [1, 2]에서 정적분하는 것입니다.
  

• 18번

  — 전형적인 등비급수 도형 문제지만, 첫째항과 공비를 구하는 과정에서 정확성이 요구됩니다. 학생들은 보통 첫째항 S₁을 구할 때, 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 빼는 등 여러 도형을 조합하다가 계산 실수를 범하기 쉽습니다. 공비를 찾을 때는 큰 정삼각형과 그 안에 내접하는 두 번째 정삼각형의 '닮음비'를 찾는 것이 핵심인데, 두 번째 삼각형의 꼭짓점 A₂가 호 N₁L₁의 이등분점이라는 조건이 결정적인 실마리입니다. 길이의 비를 구한 후 반드시 제곱하여 넓이의 비(공비)를 구해야 한다는 점을 잊지 마세요.
  

• 20번

  — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 성질을 추론하는 ㄱ,ㄴ,ㄷ 합답형 문제입니다. 가장 흔한 함정은 g'(x)를 f(x)로 착각하는 것인데, 이 문제에서는 g'(x) = xf(x)임을 명심해야 합니다. ㄴ 보기는 g(0)=0, g(a)=0이라는 조건에서 '롤의 정리'를 떠올리는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 롤의 정리를 통해 g'(c)=0인 c가 (0,a)에 존재함을 보이고, 이를 통해 f(c)=0 (c≠0)을 유도할 수 있습니다. ㄷ 보기는 g(β)=0과 g'(β)=βf(β)=0 이라는 두 조건이 기하학적으로 '함수 g(x)가 x=β에서 x축에 접한다'는 의미임을 간파해야 풀리는 문제입니다.
  

• 21번

  — 함수 f(t)가 y=h(x)와 y=t의 교점 개수로 정의될 때, f(t)는 h(x)의 '극값'에서 불연속이 된다는 사실이 이 문제의 출발점입니다. h(x)=x³-3x²의 그래프를 그려 극대, 극소점을 찾으면 f(t)의 불연속점을 정확히 파악할 수 있습니다. 그 다음은 '곱함수의 연속성' 개념입니다. f(t)g(t)가 모든 실수에서 연속이 되려면, f(t)가 불연속이 되는 바로 그 t 값들에서 g(t)가 0이 되어야 합니다. 이 원리와 문제의 (가), (나) 조건을 종합하면 다항함수 g(x)를 확정하고 g(1)의 값을 구할 수 있습니다.
  

• 27번

  — 삼차함수 f(x)의 x절편이 -2t, 0, t로 주어졌으므로, f(x) = x(x-t)(x+2t)로 식을 세우는 것이 첫 단계입니다. 여기서 최고차항 계수가 1임을 놓치지 않도록 주의해야 합니다. f'(4)를 구하면 t에 대한 이차식이 되는데, 많은 학생들이 여기서 무심코 꼭짓점의 y좌표를 최댓값으로 구하는 실수를 합니다. 문제에서 '양수 t'라는 제한 조건이 주어졌으므로, t에 대한 이차함수의 그래프를 그린 후 t>0 범위 내에서 최댓값이 어디서 발생하는지 축의 위치를 반드시 확인해야 합니다.
  

• 29번

  — 극한과 도형이 결합된 고난도 문항으로, 필요한 길이들을 모두 n에 대한 식으로 표현하는 끈기가 필요합니다. 문제 해결의 시작은 점 Pn(n, n²)에서의 접선 ln의 방정식을 구하는 것입니다. 원 Cn의 반지름은 Pn의 y좌표인 n²과 같아 OQn의 길이는 쉽게 구할 수 있습니다. 가장 까다로운 부분은 원 C'n의 반지름을 구하는 것인데, '원의 중심(y축 위)에서 접선 ln까지의 거리가 반지름과 같다'는 성질을 이용해 식을 세워야 합니다. 각 길이들을 n에 대한 식으로 정확히 표현한 후, 극한을 계산할 때는 최고차항의 계수만 비교하면 됩니다.
  

• 30번

  — 격자점 개수 세기 문제로, 조건 (나) '중점의 좌표가 모두 정수'라는 말을 어떻게 해석하느냐가 관건입니다. 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)의 중점 좌표가 정수가 되려면 x₁+x₂와 y₁+y₂가 모두 짝수여야 합니다. 이는 곧 x₁, x₂의 홀/짝(parity)이 같고, y₁, y₂의 홀/짝도 같아야 함을 의미합니다. 따라서 주어진 영역 내의 모든 격자점을 (짝,짝), (짝,홀), (홀,짝), (홀,홀)의 네 가지 유형으로 분류하고, 각 유형에 속하는 점의 개수를 센 뒤, 같은 유형 내에서 2개의 점을 뽑는 조합(nC₂)의 합을 구하는 전략으로 접근해야 합니다.
  

• 기하 28번

  — 포물선의 정의와 접선의 성질을 융합한 기하 문제입니다. 출제 의도는 좌표와 방정식을 이용한 대수적 풀이보다, 포물선의 기하학적 정의(초점까지의 거리 = 준선까지의 거리)를 적극적으로 활용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 점 A의 좌표를 (t²/12, t)로 설정하고 접선의 방정식을 구하는 복잡한 계산에 매몰되기 쉽습니다. 결정적 힌트는 AB = 2AF라는 조건입니다. 포물선의 정의에 의해 AF = AH (H는 A에서 준선에 내린 수선의 발)이므로, AB = 2AH가 됩니다. 이 기하학적 관계를 그림으로 해석하면 점 A의 위치를 훨씬 쉽게 특정할 수 있습니다.
  

• 기하 29번

  — 평면벡터 내적의 최댓값을 묻는 문제로, 기하학적 해석 능력이 매우 중요합니다. (나) 조건에서 '5cosθ가 자연수'라는 부분을 보고 cosθ의 값이 1/5, 2/5, ..., 1로 이산적(discrete)임을 파악하는 것이 핵심입니다. 연속적인 최댓값을 구하는 문제가 아니라는 거죠. AP · AQ의 값을 최대로 만들려면, 벡터 AP가 정해졌을 때 Q는 원 C 위의 점이므로 벡터 AQ의 방향을 AP와 최대한 일치시키고 크기를 최대로 만들어야 합니다. 즉, 점 Q는 점 A를 지나고 벡터 AP와 같은 방향인 직선이 원과 만나는 점일 때 내적이 최대가 됩니다. 가능한 cosθ 값 각각에 대해 AP 벡터의 방향을 설정하고, 그 방향으로의 AQ 벡터의 크기를 구해 내적의 최댓값을 비교해야 합니다.
  

• 미적분 30번

  — 함수의 형태, 극값, 방정식의 근에 대한 여러 조건을 종합하여 미지의 이차함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 g(x)의 정의에 포함된 절댓값 기호 |f'(x)| 입니다. 이 때문에 f'(x)의 부호에 따라 g(x)의 식이 달라지므로, 경우를 나누어 분석해야 합니다. (가) 조건에서 x=2가 극솟값이라는 것은 g'(2)=0 이거나 미분불가능한 뾰족점일 가능성을 열어두어야 하는데, 함수 형태를 분석하면 f'(2)=0 임을 알 수 있습니다. (나) 최댓값 조건과 (다) 방정식 g(x)=4√e의 근이 모두 '유리수'라는 조건이 f(x)의 계수를 결정하는 가장 강력한 힌트입니다. 이 조건들을 만족하는 유리수 계수 이차함수 f(x)를 역으로 추적해 나가는 과정이 문제 해결의 핵심입니다.