2017년 06월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번과 30번 미적분 문항의 난이도가 상당해서, 여기서 시간을 얼마나 잘 관리했는지가 등급을 갈랐을 시험입니다. 계산량 자체가 과도하지는 않았지만, 함수의 그래프 개형을 추론하고 주어진 조건을 해석하여 함수식을 구체화하는 능력을 깊이 있게 측정하는 문항들이 많았어요. 특히 16번, 21번, 30번처럼 함수의 그래프를 통해 불연속점이나 극값을 추론하는 유형은 수능에서도 꾸준히 출제되는 핵심 유형이므로, 기출 분석을 통해 문제 해결 전략을 완벽히 체화해야 합니다. 벡터나 도형 문제 역시 단순 공식 암기를 넘어 기하학적 의미를 파악하는 훈련이 중요해 보입니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 직선의 위치를 변화시키며 교점의 개수 함수 g(t)의 불연속점을 찾는, 전형적인 준킬러 문항입니다. 출제 의도는 그래프의 접선과 특이점을 기준으로 교점 개수가 어떻게 변하는지 관찰하는 능력을 평가하는 것이죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 곡선에 접하는 순간만 생각하고, 조각난 함수가 이어지는 지점(x=2)을 직선이 통과하는 순간을 놓치는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 '교점의 개수가 변하는 순간은 언제인가?'를 자문하고, '접할 때'와 '경계점을 지날 때' 두 가지 케이스를 모두 꼼꼼히 따지는 것입니다.
  

• 18번

  — 도형과 등비급수, 일명 '미항급수' 문제입니다. 출제 의도는 닮음비를 이용하여 공비를 찾고, 첫째항의 넓이를 정확히 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 닮음비를 길이의 비가 아닌 넓이의 비로 착각하거나, 첫째항인 활꼴 모양의 넓이를 구하는 과정에서 복잡한 삼각비 계산에 발목을 잡힙니다. 결정적 실마리는 첫 번째 도형에서 정삼각형의 높이와 내각의 이등분선 성질을 이용하여 작은 정삼각형(A2B2C2)의 한 변의 길이를 구하는 것에서 시작됩니다. 이 길이와 원래 삼각형의 길이의 비가 바로 공비를 찾는 열쇠입니다.
  

• 20번

  — 삼차함수의 접선에 대한 심도 있는 이해를 묻는 문항입니다. 핵심은 '기울기가 같은 두 접선'의 접점 x좌표는 도함수의 대칭축에 대해 대칭이라는 성질을 알고 있는가입니다. 학생들은 보통 f'(x) = 3k² 이라는 방정식을 세우고 두 근을 구하려고 하지만, 여기서 막히는 경우가 많습니다. 이 문제의 함정은 두 접선과 x축에 평행한 두 직선으로 둘러싸인 도형이 평행사변형임을 간파하지 못하는 것입니다. 이 도형의 넓이가 24라는 것을 이용해 높이와 밑변의 길이를 k에 대한 식으로 표현하는 것이 문제 해결의 결정적인 돌파구가 됩니다.
  

• 21번

  — 유리함수와 부등식의 영역 내 자연수 순서쌍(격자점)의 개수를 세는, 소위 '노가다'처럼 보이지만 실제로는 그래프의 성질을 정확히 이용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 k값의 변화에 따른 유리함수 그래프의 이동을 이해하고, 주어진 직선과의 위치 관계를 파악하여 조건을 만족하는 k의 범위를 찾는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 x=1, 2, 3, 4 정도의 작은 자연수만 대입해보고 규칙을 성급하게 일반화하여 답을 내는 것입니다. 이 문제의 실마리는 y=-x+5 라는 직선이 x절편과 y절편이 모두 5인 기준선 역할을 한다는 점을 파악하고, 유리함수의 점근선(x=11, y=6)을 기준으로 그래프가 이 직선과 어떻게 만나는지를 분석하여 가능한 (x, y) 순서쌍의 개수가 2개 이상 4개 이하가 되는 k의 경계값을 찾는 것입니다.
  

• 28번

  — 부채꼴 안의 도형들의 넓이를 삼각함수로 표현하고 극한값을 구하는, 전통적인 도형 극한 문제입니다. 이 문제의 핵심은 정사각형 DEFG의 한 변의 길이와 삼각형 OQP의 넓이를 각 θ에 대한 식으로 어떻게 표현하느냐에 달려 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 점 G가 선분 OC 위에 있다는 사실을 이용하여 정사각형의 한 변의 길이를 θ로 나타내는 과정입니다. 점 G의 좌표를 (s*cos(θ/3), s*sin(θ/3))로 두는 것이 아니라, 점 D의 좌표를 (x, 0)으로 두고 점 G의 좌표를 (x, s)로 설정한 뒤, 이 점이 y = tan(θ/3) * x 위에 있다는 관계식을 활용하는 것이 더 효율적일 수 있습니다. g(θ)를 구하는 과정 역시 점 Q의 좌표를 찾는 것이 관건인데, 이는 두 직선(DP와 OC)의 교점을 구함으로써 해결할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 벡터 방정식의 기하학적 의미를 파악하여 점 P의 자취를 추론하고, 벡터 내적의 최솟값을 구하는 문제입니다. (가) 조건 OB·OP = 3OA·OP를 (OB - 3OA)·OP = 0으로 변형하는 것이 이 문제의 가장 결정적인 실마리입니다. 이는 점 P가 '벡터 OB - 3OA에 수직인 직선' 위에 존재함을 의미합니다. 이 기하학적 의미를 파악하지 못하고 성분 계산에만 매몰되면 풀이가 매우 복잡해집니다. (나) 조건은 점 P의 위치를 제한하는 또 다른 관계식으로, (가)에서 구한 직선과 (나)의 방정식을 연립하여 점 P의 자취를 구체화해야 합니다. 내적 PA·PB의 최솟값은 P의 위치를 매개변수로 표현한 뒤, 이에 대한 이차함수의 최솟값을 구하는 방식으로 접근할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 그래프 개형을 추론하는 최고난도 킬러 문항입니다. g(x)의 그래프가 x축과 두 점에서만 만난다는 조건은, g(x)가 x축에 접하는 순간이 존재함을 암시합니다. (가) 조건에서 g(x)가 x=1에서 극솟값을 가지므로, g'(1)=f(1)=0임을 알 수 있습니다. 이 두 가지 정보를 종합하면, g(x)는 x=1에서 x축에 접하며 극솟값 0을 갖는다는 결론, 즉 g(1)=0이라는 사실을 이끌어내는 것이 문제 해결의 핵심입니다. 학생들은 g(x)가 x축에 접한다는 사실을 놓치기 쉽습니다. 이로부터 ∫(a₁ to 1) f(t)dt = 0 이라는 관계식을 얻어 함수 f(x)를 확정하고, (나) 조건의 정적분 계산을 통해 최종 답을 구하게 됩니다. 함수와 그 도함수, 그리고 정적분 사이의 관계를 종합적으로 이해해야만 풀 수 있는 문제입니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 조건부확률 문제로, 문제의 문장을 정확히 해석하여 조건이 되는 사건과 구하고자 하는 사건을 분리하는 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 전체 경우의 수 안에서 '2m ≥ n'이라는 조건을 만족하는 사건을 새로운 표본공간으로 설정하고, 그 안에서 'm=2'일 확률을 계산하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 조건부확률임을 인지하지 못하고 전체 경우의 수(7C3)를 분모로 설정하는 것입니다. 이 문제를 푸는 결정적 열쇠는 먼저 3개의 공을 뽑았을 때 나올 수 있는 (흰 공 m, 검은 공 n)의 모든 조합 (m+n=3)을 나열하고, 각 조합에 대해 2m ≥ n 조건을 만족하는지 여부를 체크하여 조건부확률의 분모를 먼저 확정 짓는 것입니다.
  

• 수학 II 29번

  — 규칙이 복잡한 수열의 귀납적 정의(점화식)를 주고 특정 항의 값을 추론하는 문제입니다. n이 3의 배수인지 아닌지에 따라 점화식이 달라지기 때문에, 끈기를 가지고 항을 하나씩 나열하며 규칙을 찾아야 합니다. 학생들은 복잡한 규칙에 압도되어 중간에 계산을 포기하거나, 공차 d를 섣불리 가정하고 풀다가 모순에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 핵심 실마리는 b10 = a10 이라는 조건을 역으로 추적하는 것입니다. b10부터 b9, b8, ... 순서로 거꾸로 내려오면서 각 항이 어떤 점화식 규칙을 따랐을지 추론해 나가면 a1과 공차 d에 대한 관계식을 얻을 수 있습니다. 특히 b9, b6, b3 항에서 부호가 바뀌는 규칙에 주목해야 합니다.
  

• 수학 II 30번

  — 두 함수(삼차함수, 이차함수)의 관계를 도함수를 통해 분석하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건은 두 함수가 x=α에서 공통접선을 가진다는 의미이고, (나) 조건은 두 도함수의 함숫값이 x=β에서 같다는 것을 의미합니다. 이 문제의 핵심은 f(x)-g(x)라는 새로운 함수 h(x)를 설정하는 것입니다. 이렇게 하면 조건 (가)는 h(α)=0, h'(α)=0으로, 조건 (나)는 h'(β)=0으로 변환되어 h(x)와 h'(x)의 그래프 개형을 추론할 수 있게 됩니다. 학생들은 f(x)와 g(x)를 각각 x³+... , 2x²+... 로 설정하고 모든 계수를 구하려다 계산의 늪에 빠지는 함정이 있습니다. h'(x)가 α와 β를 두 근으로 갖는 이차함수라는 사실을 이용해 h(x)의 식을 최소한의 미지수로 표현하는 것이 이 문제를 풀어내는 가장 효율적인 길입니다.