2018년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 문항의 복잡한 함수 해석에서 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 극한으로 정의된 함수 g(x)와 주기함수 f(x)의 결합은 단순히 계산만으로는 풀 수 없으며, f(x)의 값의 범위에 따라 g(x)가 어떻게 결정되는지 끈질기게 추적하는 능력을 요구했죠. 전반적으로 미분계수의 정의를 변형한 8번, 곱의 미분가능성을 물은 29번 등 수능에서 자주 활용되는 핵심 개념들을 충실히 점검하고 있어, 이번 시험에서 틀린 문항들은 반드시 자신의 것으로 만들어야 수능 고득점의 발판을 마련할 수 있습니다. 특히 그래프를 이용한 극한, 연속성, 실근 개수 파악 문제는 앞으로도 계속 중요하게 다뤄질 것이니 집중적인 훈련이 필요합니다.

문항 분석

• 17번

  — 사차함수 f(x)의 도함수인 삼차함수 f'(x)의 그래프를 통해 f(x)의 개형을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 정적분 값의 부호와 절댓값 기호가 갖는 의미를 제대로 이해하고 있는지 확인하는 것이죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 S와 T를 단순히 넓이로만 해석하여 f(α)와 f(β)의 대소 관계를 오판하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 S = f(0) - f(α) 이고 T = f(0) - f(β) 라는 관계식을 정확히 유도하는 데 있습니다. 이 관계를 이용하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기를 명확하게 판단할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 프랙탈 도형에 등비급수를 적용하는 전형적인 유형이지만, 두 번째 정사각형(AB₂C₂D₂)의 한 변의 길이를 정확히 구하는 과정에서 계산 실수가 발생하기 쉽습니다. 핵심은 첫 번째 도형의 넓이(S₁)와 두 도형의 닮음비(공비 r)를 찾는 것이죠. 힌트는 점 C₂의 좌표를 설정하는 것에서 시작됩니다. 점 C₂가 호 B₁D₁의 중점이라는 사실과, 정사각형 AB₂C₂D₂의 꼭짓점이라는 두 가지 조건을 이용하면 C₂의 좌표를 삼각비나 도형의 성질을 통해 구할 수 있고, 이것이 바로 공비를 찾는 결정적 단서가 됩니다.
  

• 21번

  — 이 문항은 직선과 주어진 도형(직선+이차함수)의 교점 개수를 새로운 함수 f(t)로 정의하고, 그 함수의 성질을 파악하는 문제입니다. 출제 의도는 그래프를 직접 그려가며 t값의 변화에 따라 교점 개수가 언제, 어떻게 변하는지 관찰하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 직선 x+y=t가 이차함수 y=(x-a)²-a에 '접할 때'의 t값을 제대로 구하지 못하는 것입니다. 판별식 D=0을 사용하는 것이 정석이며, 이 접하는 순간과 그래프의 꼭짓점을 지나는 순간이 바로 함수 f(t)의 불연속점이 될 수 있는 핵심 지점(Hint)입니다.
  

• 28번

  — 도형의 넓이를 변수 t로 표현하고 극한값을 계산하는 문제로, 출제 의도는 좌표와 길이를 t에 대한 식으로 정확히 세우는 능력과 0/0 꼴 극한 계산 능력을 동시에 측정하는 것입니다. S(t)와 T(t)를 구하기 위해 필요한 점들의 좌표(A, B, P, Q)를 먼저 설정해야 합니다. 특히 삼각형 PAB의 넓이 S(t)를 구할 때, 신발끈 공식을 쓰거나 밑변과 높이를 직접 구해야 하는데, 밑변을 AB로 잡고 높이를 점 P와 직선 AB 사이의 거리로 구하는 것이 계산을 복잡하게 만드는 함정일 수 있습니다. 가장 결정적인 실마리는 S(t)와 T(t)를 (t-1)이라는 인수를 포함한 식으로 정리하는 것입니다. t→1+ 상황이므로 (t-1)이 약분될 것이라는 예측을 하고 식을 정리하면 문제가 쉽게 풀립니다.
  

• 29번

  — 이 문제는 불연속 함수와 삼차함수의 곱으로 만들어진 새로운 함수 h(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 묻고 있습니다. 핵심 개념은 '불연속점에서의 미분가능성'입니다. 함수 g(x)는 x=4에서 불연속이므로, h(x)=f(x)g(x)가 x=4에서 미분가능하려면 우선 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 연속 조건만 확인하고 미분가능 조건을 놓치는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 힌트는 h(x)가 x=4에서 연속이 되기 위해 f(4)=0 이어야 한다는 점, 그리고 미분가능하기 위해 h'(4)가 존재해야 한다는 점을 이용하는 것입니다. h'(4)를 미분계수의 정의를 이용해 계산하면 f'(4)에 대한 정보를 추가로 얻을 수 있습니다.
  

• 30번

  — 이 시험지의 최고난도 문항으로, 주기함수 f(x)와 극한으로 정의된 함수 g(x)를 완벽히 이해하고, 방정식 mg(x)=x+m의 실근 개수를 m값의 변화에 따라 추적해야 합니다. 출제 의도는 복합적인 함수 해석 능력과 그래프 추론 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. 가장 먼저 해야 할 일은 g(x)의 정체를 밝히는 것입니다. f(x)의 절댓값 크기에 따라 |f(x)|>1, |f(x)|<1, f(x)=1, f(x)=-1인 경우로 나누어 g(x)의 값을 구해야 합니다. 이 과정이 문제 해결의 첫 단추(Hint)입니다. g(x)의 그래프를 그리고 나면, 방정식의 실근은 두 그래프 y=g(x)와 y=(x/m)+1의 교점으로 해석할 수 있습니다. 여기서 함정은 직선 y=(x/m)+1이 m값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지난다는 사실을 간과하는 것입니다. 이 정점을 기준으로 직선의 기울기(1/m)를 변화시키며 교점 개수(a_m)를 세어야 합니다.