2018년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 20번 정수론 문항에서 당황한 학생들이 많았을 겁니다. 수열 문제에 소수라는 조건을 결합하여 생소함을 유발했지만, 차분히 조건을 해석하면 해결의 실마리를 찾을 수 있었죠. 전반적으로 수열, 함수의 극한, 그래프 해석 등 고2 과정의 핵심 개념을 충실히 다루면서도, 30번처럼 여러 개념을 복합적으로 엮어 사고력을 측정하는 문항으로 변별력을 확보했습니다. 특히 19번(프랙탈), 26번(주기함수와 실근), 30번(함수 추론) 등은 수능에서 자주 다루는 유형의 기초가 되므로, 이번 기회에 확실히 원리를 파악하고 넘어가는 학습이 중요합니다.

문항 분석

• 18번

  — 수학적 귀납법의 증명 과정을 이해하는지를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 등식의 구조를 파악하고, n=k일 때의 가정과 n=k+1일 때의 목표를 연결하는 논리적 흐름을 따라갈 수 있는지를 평가하는 데 있습니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (가)를 채울 때, 단순히 ak+1을 더하는 것이 아니라 k(k-2)ak+1의 전체 식을 보고 ak에 대한 식으로 정리하는 과정에서 계산 실수를 하는 것입니다. 결정적 실마리는 k(k-2)ak+1 = Σa_i (from 1 to k) - Σa_i (from 1 to k-1) 라는 점화식의 기본 구조를 이용해 식을 변형하는 데 있습니다.
  

• 19번

  — 프랙탈 도형에서 넓이의 합을 구하는 등비급수 문제입니다. 출제 의도는 닮음비를 정확히 찾아내 공비를 계산할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 첫째항(S₁)은 잘 구하지만, 두 번째 정육각형의 한 변의 길이를 구하는 과정에서 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 큰 정육각형의 대각선 길이와 그 안의 마름모(F₁G₁C₁H₁)의 관계를 파악하여 닮음비를 구하는 것입니다. 좌표를 도입하는 것도 좋은 전략이 될 수 있습니다.
  

• 20번

  — 등차수열의 합과 부호에 대한 깊은 이해를 요구하는 문항입니다. 첫째항이 음수이고 공차가 자연수이므로 수열 {an}은 언젠가 양수로 바뀌게 됩니다. (나) 조건에서 합이 0이 되는 항 m이 존재한다는 것은, 대칭적인 구조를 가진다는 강력한 힌트입니다. 많은 학생들이 an≠0 이라는 (가) 조건을 간과하여, am/2 = 0 (m이 짝수일 때) 같은 경우를 포함시켜 답을 잘못 구하는 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 등차수열의 합 공식 Sm = m/2 * (a1 + am) = 0 에서 am = -a1 이라는 관계를 이끌어내고, 이를 일반항 공식과 연결하여 d와 m의 관계식을 찾는 것입니다.
  

• 21번

  — 유리함수의 그래프와 치역에 대한 문제입니다. 단순히 k값을 대입하여 계산하는 문제가 아니라, 주어진 함수 f(x)를 f(x) = (k+1)/3 + (2k+3)/(3(x+1)) 형태로 변형하여 점근선을 파악하는 것이 출제 의도입니다. 이 변형을 통해 k값에 따라 점근선과 그래프의 개형이 어떻게 변하는지 추론해야 합니다. 학생들이 빠지기 쉬운 함정은 치역에 포함되는 정수의 개수가 '4n'이라는 조건에만 집중하여, k가 자연수라는 조건을 놓치거나 k값의 변화에 따른 분자 (2k+3)의 부호를 고려하지 않는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 유리함수의 표준형 변형을 통해 점근선 y = (k+1)/3 을 찾고, 이 점근선을 기준으로 정수가 몇 개 포함될 수 있는지 부등식을 세우는 것입니다.
  

• 27번

  — 집합의 원소 개수에 대한 이해를 바탕으로 최대, 최소를 구하는 문제입니다. 벤다이어그램을 이용하여 각 영역에 해당하는 학생 수를 미지수로 설정하고, 주어진 조건들을 식으로 표현하는 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) 공식을 활용하여, 교집합의 원소 개수의 범위에 따라 '어느 한 지역만 방문한 학생'의 수가 어떻게 변하는지를 파악하는 것입니다. 최댓값(M)은 교집합이 최소일 때, 최솟값(m)은 교집합이 최대일 때 발생한다는 사실을 직관적으로 파악하는 것이 중요합니다. 결정적 힌트는 전체 학생 수가 30명이라는 것, 즉 n(A∪B)는 30 이하이며, A와 B를 모두 방문하지 않은 학생이 있을 수 있다는 점을 고려하여 교집합의 범위를 정확히 구하는 것입니다.
  

• 29번

  — 프랙탈 도형에서 넓이의 무한등비급수를 구하는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 첫째항(S1)과 공비(r)를 정확하게 구하는 것입니다. 출제 의도는 정육각형의 성질과 도형의 닮음을 이용하여 첫 번째 색칠된 넓이를 계산하고, 첫 번째 도형과 두 번째 도형의 닮음비를 찾아내는 데 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 두 번째 정육각형의 한 변의 길이를 구하는 과정입니다. 첫 번째 정육각형의 좌표를 설정하거나 보조선을 그어 삼각형의 길이 비를 이용해야 합니다. 공비는 (닮음비)^2 이라는 사실을 잊지 않는 것이 중요하며, S1을 구할 때 전체 사각형(F1G1C1H1)에서 내부 정육각형의 넓이를 빼는 방식으로 계산해야 실수를 줄일 수 있습니다.
  

• 30번

  — 주기함수, 대칭함수의 그래프를 그리고, 절댓값 함수와의 교점 개수를 관찰하는 고난도 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건 (가), (나), (다)를 종합하여 함수 g(x)의 전체 그래프를 추론하고, y=|x|-t 그래프가 t값에 따라 어떻게 평행이동하는지를 이해하여 교점의 개수 변화, 즉 h(t)의 불연속점을 찾는 것입니다. 학생들은 g(x)의 그래프를 그리는 것부터 어려움을 겪는데, 핵심은 0≤x<1/2 구간의 f(x)를 그린 후, (나)조건으로 주기를, (다)조건으로 우함수 성질(y축 대칭)을 이용해 전체 구간으로 확장하는 것입니다. h(t)가 불연속이 되는 지점은 y=|x|-t 그래프가 g(x)의 그래프에 '접하거나' '뾰족한 점을 지날 때'라는 사실이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 단답형 26번

  — 주기함수와 직선의 교점 개수를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 주기함수의 그래프를 정확히 그린 후, n값(기울기의 역수)의 변화에 따라 교점 개수가 어떻게 변하는지 관찰하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 그래프를 한두 주기만 그리고 규칙을 성급하게 일반화하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 직선 y = (1/n)x가 반드시 원점을 지난다는 사실입니다. 따라서 원점에서 출발하여 그래프의 양쪽(x>0, x<0)으로 뻗어 나가면서 주기적인 패턴과 몇 번 만나는지를 세고, n이 커짐에 따라 직선의 기울기가 어떻게 변하는지 관찰하여 교점 개수가 11개가 되는 n값을 찾아야 합니다.
  

• 단답형 29번

  — 로그의 정의를 만족시키는 자연수 순서쌍의 개수를 세는 격자점 문제입니다. 출제 의도는 log_a(b) = k/2 라는 조건을 b² = a^k 라는 지수 형태로 변환하여, 주어진 범위(2 ≤ a, b ≤ 100)를 만족하는 자연수 (a, b)를 체계적으로 찾을 수 있는지를 묻는 것입니다. 함정은 k=3일 때, b² = a³을 만족하는 쌍을 누락하기 쉽다는 점입니다. 이 식을 만족하려면 a는 어떤 수의 제곱수, b는 어떤 수의 세제곱수 형태여야 합니다. 즉, a=m², b=m³ 꼴로 치환하여 m값을 찾아 대입하는 것이 실수를 줄이는 결정적 방법입니다.
  

• 단답형 30번

  — 함수의 그래프 추론 종합선물세트 같은 문제입니다. 구간별로 정의된 함수 g(x)에 절댓값을 씌운 그래프와, 점 (0, -1)을 지나는 직선 y=mx-1의 교점 개수에 대한 극한 조건을 해석하여 원래 함수 f(x)의 계수를 결정해야 합니다. 출제 의도는 그래프의 개형, 접선, 교점 개수의 변화 등 미적분의 핵심 아이디어를 총동원하는 능력입니다. 가장 큰 함정은 'lim h(m) + lim h(m) = 6' 이라는 조건을 해석하는 부분입니다. 이는 직선이 그래프에 접하는 순간, 접점 좌우에서 교점 개수의 합이 6이 된다는 의미입니다. 따라서 |g(x)|의 그래프를 그린 후, (0, -1)에서 그을 수 있는 접선의 기울기가 바로 t값이 된다는 사실을 깨닫는 것이 이 킬러 문항을 풀어내는 열쇠입니다.