다항함수의 미분과 그래프 추론정적분의 활용 (넓이)도형과 등비급수삼각함수의 극한미분계수의 정의로그함수와 지수함수의 성질접선의 방정식다항함수의 그래프 추론미분가능성과 연속성수열의 극한과 무한급수등차수열과 등비수열의 일반항 및 합로그의 성질과 방정식/부등식 활용집합의 조건 해석 및 원소 추론함수의 극한과 그래프 해석

총평

이번 11월 학력평가는 21번 4차 함수 개형 추론에서 시간을 얼마나 단축했는지가 등급을 갈랐을 겁니다. 전반적으로 수열의 극한부터 다항함수의 미적분까지 고2 나형 범위의 핵심 개념을 충실하게 물어보면서도, 20번, 30번처럼 집합이나 로그에 수의 성질을 결합한 문항으로 변별력을 확보하려는 의도가 엿보입니다. 특히 21번, 29번처럼 함수의 그래프와 방정식의 실근 개수를 연결 짓는 유형은 평가원이 수능에서 꾸준히 출제하는 스타일이므로, 단순히 문제 풀이에 그치지 말고 그래프를 직접 그려가며 조건을 해석하는 훈련을 반드시 해야 합니다.

문항 분석

16번
— 전형적인 도형과 무한등비급수 문제로, 첫째항 S₁과 공비 r을 찾는 것이 관건입니다. 출제 의도는 닮음을 이용한 공비 추론 능력을 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 첫째항 넓이를 구하는 데는 성공하지만, 두 번째 도형과의 닮음비를 찾는 과정에서 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 힌트는 두 번째 정사각형 A₂B₂C₂D₂의 꼭짓점이 첫 번째 원 O₁ 위에 있다는 점입니다. 원의 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 반지름임을 이용하여 피타고라스 정리를 적용하면, 두 정사각형의 변의 길이 비, 즉 닮음비를 쉽게 구할 수 있습니다.
17번
— 로그함수 y=|log₂x|의 그래프와 직선 y=x의 관계를 이용한 기하 문제로, 좌표를 정확히 설정하고 길이 관계를 식으로 표현하는 능력이 핵심입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점 D와 E의 좌표를 구하는 과정에서 y좌표가 'a'라는 것을 이용해야 하는데, 이를 놓치고 복잡한 계산에 빠지는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 점 A의 좌표가 (a, log₂a)라는 것에서 시작됩니다. 점 C는 y좌표가 log₂a인 y=|log₂x| 위의 또 다른 점이므로 x좌표는 1/a가 되고, 점 B의 좌표는 (a, a)이므로 점 D, E의 y좌표는 a가 됩니다. 이 관계들을 차근차근 따라가면 DE의 길이를 a에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
19번
— 무한등비급수 도형 활용 문제의 정석이죠. 첫째항(S₁)과 공비(r)만 구하면 끝나는 문제지만, 많은 학생들이 닮음을 이용해 공비를 찾는 과정에서 헤맵니다. 출제 의도는 닮음 관계를 정확히 파악하고, 넓이의 비가 닮음비의 제곱이라는 사실을 이용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 결정적 힌트는 첫 번째 정사각형(A₁B₁C₁D₁)과 두 번째 정사각형(A₂B₂C₂D₂)의 한 변의 길이 사이의 비율을 찾는 것입니다. 원의 반지름을 적극적으로 활용하여 두 번째 정사각형의 위치와 크기를 특정하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
20번
— 조건 (나)가 이 문제의 핵심입니다. '임의의 서로 다른 두 원소는 서로 나누어떨어지지 않는다'는 것은 집합 X에 k가 원소이면, k의 약수나 배수는 (1을 제외하고) X의 원소가 될 수 없다는 의미입니다. 이 조건을 만족시키면서 S(X) - S(Y)를 최대로 만들려면, X에는 크기가 큰 수들을, Y에는 크기가 작은 수들을 배치해야 합니다. 함정은 n(X)≥2 라는 조건과 n(XUY)=17, n(X∩Y)=1을 동시에 고려해야 한다는 점입니다. 21 이하의 자연수 중 배수 관계에 있지 않은 큰 수들부터 X에 채워나가는 전략이 유효하며, 교집합 원소 1개를 무엇으로 설정할지가 최댓값을 결정하는 중요한 변수가 됩니다.
21번
— 수능 킬러 문항의 단골 소재인 4차 함수 그래프 추론 문제입니다. 함수 |f(x)-t|의 미분불가능점 개수인 g(t)가 불연속이 되는 지점은, y=f(x) 그래프의 '극값'이라는 사실을 아는 것이 문제 해결의 전부입니다. 조건 (나)에서 g(t)가 t=2와 t=-25에서만 불연속이라고 했으므로, f(x)의 극댓값과 극솟값이 각각 2와 -25라는 것을 바로 알려준 셈입니다. 조건 (가)에서 f'(x)=0의 근이 1, 4뿐이라는 것을 이용해 f(x)의 극값을 갖는 x좌표를 알아내고, 이를 연결하면 f(x)의 식을 거의 완성할 수 있습니다.
28번
— 점화식 문제인데, 일반적인 형태가 아니라 이차방정식의 '중근' 조건과 연결된 것이 특징입니다. 출제 의도는 판별식(D=0)을 이용하여 an과 an+1 사이의 관계식을 유도하고, 이를 통해 수열의 규칙성을 파악하는 것입니다. 이차방정식 x² - 2√an x + an+1 - 3 = 0 이 중근을 갖는다는 것은 판별식 D/4 = (√an)² - (an+1 - 3) = 0 이 성립한다는 뜻입니다. 이 식을 정리하면 an+1 = an + 3 이라는 매우 간단한 등차수열 점화식을 얻게 되며, 첫째항 a₁=2를 이용하면 a₁₀을 쉽게 구할 수 있습니다. 복잡해 보이는 조건에 겁먹지 않고 핵심(판별식)을 꿰뚫는 것이 중요했습니다.
29번
— 증명 과정을 추론하는 빈칸 채우기 문제입니다. 문제의 큰 흐름은 'f(x)가 실수 전체에서 증가'할 조건과 'f(x)+g(x)=0이 서로 다른 두 실근'을 가질 조건을 각각 식으로 나타내고, 이를 연립하여 b의 범위를 찾는 것입니다. (가)는 f(x)가 증가함수, 즉 f'(x)≥0이 항상 성립할 조건을 판별식으로 나타내는 부분입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 f(x)+g(x)=0 이라는 3차 방정식의 실근 개수를 판별하는 과정에서, h(x) = x³+3x²-9x 라는 새로운 함수를 설정하고 이 함수의 그래프와 상수함수 y=(나)의 교점 개수로 치환하여 생각하는 발상을 떠올리지 못하는 것입니다. h(x)의 그래프 개형을 그려 극댓값과 극솟값을 구하면, 교점이 2개가 될 수 있는 (나)의 값을 바로 찾을 수 있습니다.
30번
— 로그 조건과 자연수/정수 조건을 결합한 격자점 세기 스타일의 문제입니다. 출제 의도는 주어진 로그 식을 지수 형태로 변형하여 a와 b 사이의 관계를 파악하고, m값의 변화에 따라 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수가 어떻게 변하는지를 추론하는 능력입니다. log₂a + log₄b = N (N은 100 이하 자연수) 이라는 식을 log₂a + (1/2)log₂b = N 으로 정리하고, b=2^k 라는 조건을 대입하면 log₂(a * 2^(k/2)) = N 이 됩니다. 여기서 k가 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 a의 조건을 꼼꼼하게 따져야 하는 것이 핵심입니다. n(Am)=205 라는 결과를 이용해 m의 범위를 역으로 추적해야 하므로, m이 특정 값일 때 n(Am)이 어떻게 계산되는지 몇 가지 예시를 통해 규칙을 먼저 파악하는 것이 결정적 실마리가 됩니다.
미적분 28번
— 곡선 위의 점을 중심으로 하는 원의 반지름과, 그 원에 접하는 직선의 기울기를 극한과 결합한 복합적인 문제입니다. 출제 의도는 접선의 성질과 점과 직선 사이의 거리 공식을 미분과 연계하여 활용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 주로 실수하는 부분은 원점 O를 지나고 원 C에 접하는 직선의 방정식을 세우는 과정입니다. 원의 중심 P(t, te^t)와 직선 y=m(t)x 사이의 거리가 반지름 r(t)와 같다는 조건을 식으로 세워야 하는데, 이 과정에서 계산이 복잡해져 포기하기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 반지름 r(t)가 중심 P의 x좌표인 't'와 같다는 것을 파악하는 것입니다. 그 후, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m(t)를 t에 관한 식으로 정리하면 극한값을 계산할 수 있습니다.
미적분 29번
— 삼각형의 변의 길이가 주어졌을 때, 수선의 발, 원, 그리고 접선까지 다양한 기하학적 요소가 얽혀있는 문제입니다. 최종 목표는 점 A에서 접선 l까지의 거리를 구하는 것이므로, 좌표를 도입하거나 도형의 성질을 끝까지 활용하는 두 가지 접근이 가능합니다. 많은 학생들이 코사인 법칙으로 cos(A)나 cos(C)를 구한 뒤, 삼각형의 넓이를 이용해 수선의 발 D의 위치까지는 찾지만 그 이후 접선의 방정식을 구하는 데서 막힙니다. 이 문제의 핵심은 점 C를 원점으로, 선분 AC를 x축 위에 두어 좌표를 설정하는 것입니다. 그러면 점 A, C, D의 좌표를 쉽게 구할 수 있고, 원의 방정식도 특정됩니다. 점 B의 좌표를 구한 뒤, 원 밖의 점 B에서 그은 접선의 방정식을 구하면 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 답을 찾을 수 있습니다.
미적분 30번
— 평균변화율로 새롭게 정의된 함수 g(t)의 조건을 해석하여 원함수인 사차함수 f(x)의 그래프를 추론해야 하는 최고난도 문항입니다. g(t)가 t=2에서 극댓값 0을 갖는다는 조건을 f(x)에 대한 조건으로 번역하는 것이 첫 번째 관문입니다. g(2)=0은 (f(2)-f(1))/(2-1)=0 이므로 f(2)=f(1)을 의미하고, g'(2)=0은 미분계수 공식을 통해 f'(2)=0 임을 의미합니다. 이 두 가지 사실을 종합하면, 사차함수 f(x)는 x=2에서 극값을 가지며, 그 극값의 y좌표가 f(1)과 같다는 것을 알 수 있습니다. 여기서부터 f(x)-f(1) = k(x-1)(x-2)²(x-α) 형태로 식을 세우고, '극댓값'이라는 조건을 이용하여 g'(t)의 부호 변화를 따져 미정계수 α의 범위를 찾아내는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다.