다항식의 연산과 나머지 정리함수와 역함수합성함수 그래프 및 방정식 활용좌표평면과 도형의 방정식이차함수와 이차부등식경우의 수방정식과 부등식의 실근함수 그래프의 이해와 활용좌표평면 위의 도형 (원과 직선)경우의 수 (순열과 조합)이차함수와 이차방정식의 관계집합과 명제도형의 이동

총평

29번 원의 접선 문제에서 기하학적 직관과 복잡한 계산 사이에서 길을 잃은 학생들이 많았을 겁니다. 이번 3월 학력평가는 고1 수학(상), (하) 전 범위에 걸쳐 기본 개념의 숙달도를 꼼꼼히 확인하는 문항들로 구성되었어요. 특히 함수 그래프의 해석(21번, 30번)과 좌표평면 위에서의 기하학적 추론 능력(18번, 29번)을 강조한 문항들이 변별력을 갈랐습니다. 이 시험에서 다루는 함수와 도형 파트는 수능 수학의 가장 중요한 뼈대이므로, 지금부터 개념을 탄탄히 다지고 다양한 문제에 적용하는 훈련을 시작해야 합니다.

문항 분석

18번
— 이 문제는 무게중심과 외분점의 정의를 정확히 알고 좌표로 표현할 수 있는지를 묻고 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점 E의 좌표를 구하는 과정에서 복잡한 연립방정식을 세우려다 시간을 허비하는 것입니다. 결정적 실마리는 삼각형 OAB의 무게중심 G와 삼각형 OCD의 무게중심 G'의 관계를 파악하고, 점 E가 두 무게중심을 잇는 직선 위에 있다는 사실을 이용하는 것입니다. 벡터의 관점을 도입하면 훨씬 수월하게 해결할 수도 있습니다.
19번
— 두 가지 다른 기하학적 변환(평행이동, 대칭이동) 후 겹치는 부분의 넓이를 계산하여 미지수를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 좌표평면 위에서 도형의 변환을 정확히 이해하고, 이를 넓이 계산에 적용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 조건 (나)의 y축 평행이동과 (다)의 y=x 대칭이동 후 겹치는 영역의 모양을 잘못 설정하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 직사각형의 꼭짓점 좌표를 A(-a, b) 등으로 설정한 뒤, 각 조건에 맞게 변환된 도형의 좌표를 구하고 겹치는 부분의 가로, 세로 길이를 a, b에 대한 식으로 정확히 표현하는 데 있습니다.
20번
— 두 유리함수의 교점 개수를 파라미터 k의 변화에 따라 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 단순히 방정식을 푸는 것이 아니라, 그래프의 점근선과 k의 역할(평행이동)을 이해하고 이를 바탕으로 그래프의 위치 관계를 시각적으로 분석하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 x>0 이라는 조건을 놓치거나, k, k+1, k+2의 변화에 따른 h(k)의 변화를 체계적으로 정리하지 못해 오답을 고릅니다. 힌트는 두 함수 f(x)와 g(x)를 같다고 놓고 정리한 이차방정식의 '양의 실근'의 개수 문제로 전환하여 판별식과 두 근의 합/곱의 부호를 따지는 것입니다.
21번
— 구간별로 정의된 함수 g(x)가 역함수를 갖는다는 조건, 즉 일대일 대응이라는 조건을 어떻게 활용할지가 관건인 문제입니다. 핵심은 -2≤x≤1 구간에서 이차함수 f(x)가 양 끝 구간의 직선과 끊어짐 없이 연결되면서(연속성), 전체 함수의 증가 또는 감소 상태를 유지해야 한다는 점입니다. 학생들은 주로 f(x)의 축의 위치를 고려하지 않고 양 끝점의 함숫값 조건만 생각하다가 '일대일 대응' 조건을 위배하는 실수를 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 f(-2)=6, f(1)=-3 이라는 연결 조건을 찾아내고, 주어진 구간 내에서 이차함수의 축의 위치에 따른 f(x)의 개형을 추론하는 것입니다.
28번
— 조건이 붙은 순열, 즉 자리 배정 문제로, 두 가지 핵심 조건 (A,B는 이웃, C,D는 이웃하지 않음)을 어떻게 처리할지가 핵심입니다. 출제 의도는 복잡한 조건이 주어졌을 때, 전체 경우의 수에서 여사건을 빼는 전략과 특정 대상을 먼저 배열하는 전략 중 어느 것이 더 효율적인지 판단하는 능력을 보는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 C,D가 이웃하지 않는 경우를 셀 때, 단순히 전체 경우에서 C,D가 이웃하는 경우를 빼려다가 A,B의 이웃 조건을 중복 계산하여 틀리는 것입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 '이웃해도 되는' A,B를 한 덩어리로 묶어 먼저 배열하고, 그 사이와 양 끝자리에 C와 D를 배치하는 '칸막이' 아이디어를 적용하는 것입니다.
29번
— 두 원에 동시에 접하는 직선의 방정식을 다루는 고난도 기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 점 P와 두 원의 중심이 한 직선 위에 있으며, 두 원의 중심에서 각각의 접선에 내린 수선의 발(접점)까지의 관계가 닮음으로 연결된다는 사실을 간파하는 것입니다. 대부분의 학생들은 점 P를 (a,0)으로 놓고 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 'd=r' 공식을 무작정 사용하여 복잡한 연립방정식의 늪에 빠지게 됩니다. 이 문제의 결정적 힌트는 두 원의 중심 C₁, C₂와 점 P가 일직선상에 있다는 점을 이용하여 닮음비(반지름의 비)를 통해 점 P와 C₂의 좌표를 먼저 확정하는 것입니다. 기하학적 통찰이 계산량을 극적으로 줄여줍니다.
30번
— 두 함수의 대소 관계에 따라 정의되는 새로운 함수 h(x)의 그래프를 추론하고, 이 그래프와 직선 y=k의 교점 개수를 분석하는 문제입니다. 출제 의도는 절댓값을 포함한 함수와 이차함수의 그래프를 정확히 그린 후, 두 그래프의 위치 관계를 파악하여 h(x)의 개형을 완성하는 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 실수 t의 값에 따라 g(x)의 그래프가 좌우로 움직일 때, h(x)의 모양이 어떻게 변하는지를 상상하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 '교점이 3개'가 되는 순간은 직선 y=k가 h(x) 그래프의 '극값'을 지날 때 혹은 '뾰족점'을 지날 때라는 사실에 집중하는 것입니다. 먼저 f(x)와 g(x)가 접하는 순간의 t값을 기준으로 경우를 나누어 분석하면 명쾌한 풀이가 가능합니다.
수학(가) 28번
— 원의 평행이동 후 직선과의 위치 관계를 판별하는 문제입니다. 출제 의도는 원의 방정식을 표준형으로 바꾸고, 평행이동된 원의 중심 좌표를 정확히 구한 뒤, '원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건'을 올바르게 사용할 수 있는지 평가하는 것입니다. 학생들이 자주 하는 실수는 원의 중심과 직선 사이의 거리(d)와 반지름(r)의 관계(d < r)를 이용해야 하는데, 연립하여 판별식을 쓰는 복잡한 길로 빠져 시간을 낭비하는 것입니다. 이 문제의 핵심 실마리는 평행이동한 두 원 C₁, C₂의 중심 좌표를 각각 (2+m, 3), (2, 3+n)으로 설정하고, 각 중심에서 직선 4x-3y=0까지의 거리가 반지름 3보다 작다는 부등식을 세우는 것입니다. 이 두 부등식을 만족하는 자연수 m, n에 대하여 m+n의 최댓값을 구하면 됩니다.
수학(가) 29번
— 최고차항 계수가 1인 다항식 f(x)를 미지의 다항식 g(x)로 나눌 때의 몫과 나머지에 대한 정보를 주고 f(x)를 결정하는 문제입니다. 출제 의도는 다항식의 나눗셈에 대한 항등식 f(x) = Q(x)g(x) + R(x)을 정확히 세우고, 주어진 조건들을 종합하여 미정계수를 결정하는 능력을 평가하는 것입니다. 이 문제의 함정은 몫과 나머지가 'g(x) - 2x²'라는 동일한 식으로 주어진 점입니다. 여기서 g(x)의 차수를 먼저 추론해야 합니다. 만약 g(x)를 1차식으로 가정하면 f(x)의 최고차항 계수가 1이라는 조건에 모순이 생깁니다. 따라서 g(x)는 2차식임을 추론하는 것이 문제 해결의 첫 단추이며, 그 후 항등식의 계수비교법과 (나) 조건의 나머지정리 f(1)=-9/4를 이용하면 g(x)를 확정하고 f(6)의 값을 구할 수 있습니다.
수학(가) 30번
— 이차함수와 분수함수 형태의 함수를 합성한 (f∘g)(x)의 최솟값을 움직이는 구간 [t, t+2]에서 정의된 함수 h(t)를 통해 역으로 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 합성함수의 최대·최소, 특히 정의역의 변화에 따른 이차함수의 최솟값 변화를 심도 있게 이해하고 있는지를 평가합니다. 가장 큰 함정은 h(t)가 t=1을 기준으로 식이 달라지는 이유를 파악하는 것입니다. 이는 이차함수 f(x)의 대칭축 위치와, g(x)에 의해 변환된 정의역 [g(t), g(t+2)]의 관계가 t=1에서 변한다는 결정적인 단서입니다. 문제 해결의 실마리는 먼저 g(x)가 x<5에서 증가함수임을 파악하고, 변환된 정의역 [g(t), g(t+2)] 위에서 이차함수 f(x)의 최솟값을 구하는 케이스를 나누는 것입니다. h(t)의 경계인 t=1일 때, f(x)의 대칭축이 변환된 정의역의 양 끝 값 중 하나와 일치하는 순간임을 간파해야 f(x)의 식을 특정할 수 있습니다.