2018년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 21번 정적분으로 정의된 함수 문제에서 시간을 얼마나 썼는지가 등급을 갈랐을 겁니다. 수열, 함수의 극한, 미적분 기초 개념을 탄탄하게 다져왔다면 4점 문항 중반까지는 무난하게 풀었겠지만, 21번, 29번, 30번과 같은 고난도 문항에서는 복합적인 개념 이해와 끈기 있는 계산 능력을 요구했습니다. 특히 21번과 30번에서 보여준 함수 추론 유형은 수능 수학 II 과목에서 킬러 문항으로 직결되는 핵심 테마이므로, 단순히 답을 맞히는 것을 넘어 '왜 이 조건이 주어졌을까?'를 끊임없이 고민하며 그래프를 그려보는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 20번

  — 무한등비급수를 이용한 프랙탈 넓이 계산 문제의 정석을 보여줍니다. 출제 의도는 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구해낼 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 첫째항인 원의 넓이는 잘 구하지만, 공비를 구하는 과정에서 닮음비를 잘못 설정하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 큰 직사각형 ABCD와 그림 R₂ 속 작은 직사각형의 닮음비를 찾는 것입니다. 작은 직사각형의 가로와 세로의 비율이 2:1이라는 점을 이용해 부채꼴에 내접하는 상황을 식으로 표현하면 닮음비가 보일 겁니다.
  

• 21번

  — 공차가 양수인 등차수열이라는 조건과 함께 제시된 (가), (나) 조건으로 특정 항을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (가) 조건인 'a₁+...+a₂n / a₁+...+an 이 일정하다'를 어떻게 해석하느냐에 있습니다. 등차수열의 합 공식 Sn = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)를 그대로 대입하여 S₂n / Sn 을 정리해보세요. 그 값이 n에 관계없이 일정하려면 첫째항 a₁과 공차 d 사이에 어떤 특별한 관계가 성립해야만 한다는 것을 발견하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이 관계식을 찾으면 (나) 조건은 단순 계산 문제로 바뀝니다.
  

• 27번

  — 좌표평면 위의 점과 직선, 그리고 극한 개념을 융합한 문항입니다. 문제 해결의 첫 단추는 선분 AB의 중점 C의 좌표와 직선 AB의 기울기를 t에 대한 식으로 정확히 표현하는 것입니다. 그 후, '선분 AB에 수직'이라는 조건에서 기울기의 곱이 -1임을 이용하여 점 C를 지나는 수직선의 방정식을 세워야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 복잡한 t에 대한 식을 다루다가 계산 실수를 하는 것입니다. 최종적으로 0/0 꼴의 극한을 계산해야 하므로, 분모를 유리화하여 약분되는 인수를 찾아내는 과정이 필요합니다.
  

• 28번

  — 점화식으로 정의된 수열의 항의 합을 구하는, 전형적인 '추론과 나열' 유형의 문제입니다. an이 65 이상일 때와 미만일 때의 규칙이 달라지므로, 섣불리 일반항을 구하려 하면 함정에 빠집니다. 출제 의도는 변화하는 규칙에 따라 항의 값을 끈기 있게 나열하며 패턴을 파악하는 능력을 보는 것입니다. a₁=88에서 시작하여 a₂, a₃, ...를 직접 계산해 나가다 보면, 항의 값이 감소하다가 65 미만이 되는 순간부터는 규칙이 바뀌어 다시 값이 변하는 지점이 나타납니다. 이 변화의 경계점을 정확히 포착하고, 이후 반복되는 구간이 있는지 관찰하는 것이 풀이의 핵심입니다.
  

• 29번

  — 좌표평면 위의 점과 직선을 이용하여 정의된 길이 f(t)에 대한 극한값을 계산하는 문제입니다. 이 문제의 관건은 점 C와 D의 좌표를 t에 대한 식으로 정확하게 표현하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 점 D의 좌표를 구하는 과정에서 수직 조건을 잘못 활용하는 것입니다. 힌트는 '두 직선이 수직이면 기울기의 곱은 -1'이라는 사실입니다. 선분 AB의 기울기를 먼저 구하고, 이를 이용해 점 C를 지나면서 AB에 수직인 직선의 방정식을 세우면 점 D의 y좌표, 즉 f(t)를 t에 관한 식으로 나타낼 수 있습니다. 그 후 극한 계산은 0/0 꼴의 유리화 문제로 귀결됩니다.
  

• 30번

  — 방정식 f(x)=t의 실근 중 가장 작은 값으로 새로운 함수 g(t)를 정의하고, 그 함수의 불연속성에 대한 조건을 통해 원래 함수 f(x)를 추론하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 그래프의 개형과 실근의 관계, 그리고 불연속성의 의미를 통합적으로 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 함수 g(t)가 불연속이 되는 지점은, 보통 y=t 직선을 움직일 때 실근의 개수가 변하거나 가장 작은 근(x₁)의 위치가 갑자기 '점프'하는 순간입니다. (가) 조건에서 t=3, t=4에서만 불연속이라고 했으므로, 이는 함수 f(x)의 극값과 관련이 있다는 강력한 힌트입니다. 먼저 f(x)의 그래프를 그린 후, y=t 선을 위아래로 움직여보며 x₁의 값이 어떻게 변하는지 시각적으로 관찰하면 불연속이 되는 지점의 의미를 파악할 수 있을 것입니다.