지수함수와 로그함수의 그래프 및 역함수 관계로그의 정의 및 성립 조건삼각함수의 그래프와 성질지수/로그 방정식 및 부등식 풀이거듭제곱근이 자연수가 될 조건그래프의 평행이동과 대칭이동경우의 수를 이용한 개수 세기지수/로그 함수의 그래프와 변환로그의 기본 성질함수와 역함수의 관계삼각방정식의 풀이지수법칙과 로그 연산그래프의 교점

총평

이번 6월 모의고사는 21번 정수 조건 삼각방정식 문제에서 많은 학생들이 시간을 허비했을 가능성이 높습니다. 전반적으로 지수, 로그, 삼각함수의 기본 연산 능력과 더불어 그래프의 특징(점근선, 대칭성, 주기)을 정확히 이해하고 있는지를 집중적으로 평가하고 있어요. 특히 14번, 28번, 29번처럼 그래프의 개형을 추론하고 해석하는 문항의 비중이 높았다는 점은, 다가올 수능에서도 함수 그래프에 대한 깊이 있는 이해가 고득점의 관건이 될 것임을 시사합니다. 30번 문항처럼 함수와 그 역함수의 교점은 직선 y=x 위에 있다는 핵심 성질을 이용하는 문제는 평가원에서 꾸준히 출제하는 단골 유형이므로 반드시 숙지해야 합니다.

문항 분석

16번
— 이 문제는 로그의 기본 성질을 이용하여 미지수의 값을 추론하는 능력을 평가합니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (가) 조건에서 `log₂a * log_b 3 = 0`을 보고 `a=1`인 경우만 생각하고 넘어가는 것입니다. `log_b 3 = 0`이 될 수 없다는 점(b는 양수이고 1이 아니므로)을 간과하거나, `log₂a=0` 이므로 `a=1` 이라는 결론만 도출하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 (가) 조건이 `log₂a = 0` 또는 `log₃b = 0` (밑변환 공식 사용) 임을 파악하고, 각각의 경우(`a=1` 또는 `b=1`)를 (나) 식에 대입하여 모순이 없는지 확인하는 것입니다.
18번
— 로그 함수와 원이 만나는 점을 다루는 문제입니다. 출제 의도는 두 그래프의 교점을 연립방정식으로 풀려는 시도를 버리고, 원의 정의와 주어진 기하학적 정보(현의 길이)를 활용해 점의 좌표를 먼저 구하는 능력을 평가하는 데 있습니다. 많은 학생들이 `y=log_a(x)`와 `x^2+y^2=1`을 연립하려다 계산의 늪에 빠지기 쉽죠. 결정적 실마리는 점 A(-1,0)와 원 위의 점 P 사이의 거리가 `√3`이라는 조건을 이용해 P의 좌표를 구하는 것입니다. P의 좌표를 구하면 로그 함수에 대입하는 것은 순식간에 해결됩니다.
19번
— 지수함수와 로그함수의 그래프 관계를 묻는 전형적인 합답형(ㄱ,ㄴ,ㄷ) 문항입니다. 핵심은 `h(x)`가 `g(x)`를 y축 방향으로 `a`만큼 평행이동한 것이고, 점 A와 C는 x좌표가 같은 수직선 상에 있다는 사실을 간파하는 것입니다. 학생들은 종종 `f(x)`와 `g(x)`가 역함수 관계가 아닐까 하는 섣부른 추측을 하거나, ㄷ 보기에서 `CA:AH=3:2`라는 비율을 복잡한 방정식으로 풀려고 시도하는 함정에 빠집니다. 이 비율은 점 C의 y좌표와 점 A의 y좌표 사이의 관계식을 매우 간단하게 만들어주며, 이를 통해 `a`의 값에 대한 정보를 얻어내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
21번
— 음이 아닌 정수 a, b, n이라는 까다로운 조건이 결합된 삼각방정식 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 식의 구조를 보고 핵심을 파악하는 능력입니다. 많은 학생들이 복잡한 `cos`과 `tan` 항 때문에 접근 자체를 어려워합니다. 결정적 힌트는 `A * B * C = 0` 꼴의 방정식은 `A=0` 또는 `B=0` 또는 `C=0`이라는 기본 원리입니다. 첫 번째 항 `(a²+b²+2ab-4)`가 `(a+b)²-4`로 인수분해된다는 것을 발견하면, `a+b=2` (a,b는 음이 아닌 정수)라는 강력한 조건을 얻어낼 수 있고, 이를 통해 경우의 수를 크게 줄여나갈 수 있습니다.
28번
— 로그의 밑 `n`과 진수 `k`가 모두 변수인 상황에서, 주어진 로그 부등식을 만족하는 자연수 `n`의 개수 `f(k)`를 새로운 함수로 정의한 문제입니다. 이 문제는 로그의 정의를 지수 형태로 `n^2 ≤ k < n^3`으로 바꾸어 해석하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 학생들은 `k`를 고정하고 `n`을 찾는다는 개념 자체를 낯설어하며, `f(k)=4`라는 조건을 어떻게 활용해야 할지 막막해하는 경우가 많습니다. 결정적 힌트는 `n=2, 3, 4, 5, ...`일 때의 `n^2`과 `n^3` 값을 표처럼 나열해보고, 어떤 `k`값의 범위에 걸쳐야 정확히 4개의 `n`값이 가능한지를 시각적으로 찾아내는 것입니다. 예를 들어, `n=5`까지의 `n`이 가능하려면 `k`는 `5^2` 이상이어야 하고, `n=6`부터는 불가능해야 하므로 `k`는 `2^3`보다 작아야 한다는 식의 부등식 영역 추론이 핵심입니다.
29번
— 주기 함수와 유사하지만, 구간이 지날수록 함수 그래프의 폭과 높이가 일정한 비율로 축소되는 규칙을 가진 신유형 함수 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건 `2^n f(x) = f(x-2n)`을 `f(x) = (1/2^n) f(x-2n)`으로 변형하여 해석하는 것입니다. 즉, `(2n, 2n+2]` 구간의 그래프는 `(0, 2]` 구간의 그래프를 x축으로 `2n`만큼 평행이동한 후 y축 방향으로 `1/2^n` 배 축소한 모양임을 이해해야 합니다. 많은 학생들이 이 규칙을 일반적인 주기성으로 착각하여 넓이를 잘못 계산하는 함정에 빠집니다. 먼저 `[0, 2]` 구간의 기본 넓이를 구한 뒤, 다음 구간들의 넓이가 등비수열을 이룬다는 사실을 깨닫는 것이 이 문제를 푸는 가장 빠른 길입니다.
30번
— 자연수 `a, b, c, d`에 대한 지수 방정식을 주고, 특정 조건을 만족하는 순서쌍의 개수를 세는 고난도 정수론 문제입니다. 출제 의도는 `24^5`를 `2^15 * 3^5`로 소인수분해한 뒤, 지수법칙을 이용해 `xb+zd=15`, `yb+wd=5`라는 두 개의 부정방정식을 이끌어내는 능력입니다. 여기서 `a=2^x 3^y`, `c=2^z 3^w`로 설정하는 것이 핵심 아이디어죠. 학생들은 이 복잡한 식을 어떻게 다뤄야 할지, 그리고 `a, b, c, d`가 `k` 이하의 자연수라는 제한 조건을 어떻게 반영해야 할지 몰라 헤매기 쉽습니다. 결정적 실마리는 계수와 결과값이 더 작은 `yb+wd=5`를 먼저 분석하는 것입니다. `y, b, w, d`가 자연수이므로 가능한 순서쌍이 몇 개로 제한되며, 각 경우에 대해 `xb+zd=15`를 만족하는 `x, z`를 찾고, 최종적으로 `a, c`가 `k` 이하라는 조건을 만족하는지 확인하며 개수를 세어 나가야 합니다.
수학 28번
— 로그함수 그래프의 대칭이동과 평행이동, 그리고 두 그래프의 교점을 이용해 기울기를 구하는 종합적인 문항입니다. 학생들은 원점 대칭과 x축 평행이동을 거친 함수 `f(x)`의 식을 구하는 과정에서 부호 실수를 하기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 두 교점 A, B의 좌표를 각각 `(x₁, log₂x₁)`, `(x₂, log₂x₂)`로 설정하고, 이 점들이 `y=f(x)` 위의 점이기도 하다는 사실을 이용해 연립방정식을 세우는 것입니다. 두 교점의 중점이 대칭의 중심과 관련이 있다는 사실을 이용하면 계산을 훨씬 간단하게 만들 수 있는 실마리를 찾을 수 있습니다.
수학 29번
— 삼각함수 그래프가 제1사분면을 지나지 않을 조건을 찾는 문제입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 y절편, 즉 `f(0)`의 값만 0 이하라고 설정하는 것입니다. 하지만 y절편이 0 이하여도 함수가 위로 볼록하여 제1사분면을 통과할 수 있습니다. 따라서 이 문제를 완벽하게 풀기 위한 핵심 조건은 '함수의 최댓값이 0 이하여야 한다'는 것입니다. 즉, `|k| + k² - 6 ≤ 0` 이라는 부등식을 세우고, 이와 동시에 y절편 `f(0) = k sin(π/3) + k² - 6` 역시 0 이하라는 조건을 모두 만족하는 정수 k의 범위를 찾아야 합니다.
수학 30번
— 로그함수와 그 역함수의 교점에 대한 이해를 묻는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 역함수 `g(x)`를 직접 구하려고 시도하는 것입니다. 이는 매우 복잡한 지수함수 식으로 이어져 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 문제 해결의 결정적 열쇠는 '함수 f(x)와 그 역함수 g(x)의 교점은 직선 y=x 위에 존재한다'는 핵심 성질을 이용하는 것입니다. 따라서 주어진 해 `-3/4`, `t`, `5/4`는 복잡한 방정식 `f(x)=g(x)`의 해일 뿐만 아니라, 훨씬 간단한 방정식 `f(x)=x`의 해이기도 합니다. 이 사실을 이용하여 주어진 해들을 `f(x)=x`에 대입하면 미지수 a, k, t에 대한 관계식을 얻어낼 수 있습니다.