지수함수와 로그함수의 그래프 해석삼각함수의 그래프와 방정식/부등식사인법칙과 코사인법칙의 활용등차수열과 등비수열의 일반항 및 합시그마(Σ)의 성질과 계산함수의 극한과 그래프의 이해도형의 성질과 좌표평면의 활용수열의 귀납적 정의와 추론등차/등비수열의 합과 일반항삼각함수와 도형의 활용사인법칙과 코사인법칙시그마(Σ)의 성질함수의 대칭성과 주기성이차함수와 직선의 위치 관계 (판별식)

총평

이번 9월 모의평가는 29번 지수로그 함수와 직선의 교점 문제처럼 특정 문항에서 계산의 깊이를 요구하여 시간 안배에 실패한 학생들이 많았을 것입니다. 전반적으로 수열, 삼각함수, 지수로그함수 등 수학I의 핵심 개념을 그래프나 도형과 융합하여 시각적 해석 능력과 종합적 사고력을 요구하는 문항들이 다수 출제되었습니다. 특히 15번, 19번처럼 도형의 성질을 삼각함수나 다른 개념과 연결 짓는 유형은 수능에서도 꾸준히 등장하는 킬러 유형이므로, 개념을 그림에 적용하고 수식으로 풀어내는 훈련을 철저히 해야 합니다.

문항 분석

15번
— 삼각함수 그래프의 주기성과 대칭성을 파악하고, 이를 좌표와 결합하여 삼각형의 넓이 및 미정계수를 구하는 문제입니다. 많은 학생들이 ∠OAB=90°라는 조건을 직선 OA와 AB의 기울기의 곱이 -1이라는 관계로 해석하지 못하고 복잡한 계산에 빠지는 함정이 있습니다. 문제 해결의 실마리는 A가 최댓값인 점이므로 x좌표가 주기의 1/4 지점임을 파악하고, 기울기 관계를 이용해 a와 b의 관계식을 세우는 것입니다.
17번
— 원의 기하학적 성질을 좌표평면 위에서 해석하고, 그 결과를 수열의 넓이(Sn)로 일반화하여 급수의 합을 구하는 통합형 문항입니다. 원의 중심이 직선 위에 있고 원점을 지난다는 조건으로 원의 방정식을 설정하는 것이 첫 단추인데, 여기서 계산이 복잡해질 수 있습니다. 결정적 힌트는 점 B(0, 2n)이 원 위의 점이라는 사실을 이용해 중심의 좌표를 n에 대한 식으로 깔끔하게 표현하는 것입니다. 이를 통해 x절편 A의 좌표를 구하면 Sn을 쉽게 계산할 수 있습니다.
19번
— 지수함수의 평행이동과 대칭성을 묻는 문항입니다. 출제 의도는 주어진 조건 `f(2+x)f(2-x)=1`이 무엇을 의미하는지 해석하는 데 있습니다. 많은 학생들이 이 식을 보고 점대칭을 바로 떠올리지 못하고 헤매는 경우가 많죠. 결정적 실마리는 함수 `f(x) = a^(x-k)`를 조건식에 직접 대입하여 지수법칙으로 정리하면 `a^(2-2k) = 1` 이라는 결과를 얻게 되고, 이를 통해 `k=1`임을 확정하는 것입니다. 이로부터 함수가 `(1, f(1))`에 대해 점대칭임을 추론하고 보기의 진위를 판별해야 합니다.
20번
— 삼각함수와 원의 성질을 총동원해야 하는 고난도 도형 문제입니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심은 `cos(∠BAP)` 값을 이용해 삼각형 ABP의 모든 변의 길이와 각을 사인법칙, 코사인법칙으로 구해내는 것입니다. 학생들은 보통 `r₁`(내접원 반지름)을 구할 때 막히는데, 부채꼴 OBP의 넓이가 세 개의 삼각형 넓이의 합과 같다는 아이디어(`1/2 * R^2 * θ = 1/2 * r * (a+b+c)`)를 이용하는 것이 가장 효율적입니다. `r₂`를 구하는 과정에서는 호 AP의 이등분점과 현 AP의 중점을 잇는 선이 지름이 된다는 사실을 간파하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
21번
— 등차수열의 합의 구조적 특징에 대한 깊은 이해를 요구하는 준킬러 문항입니다. 출제 의도는 단순히 합 공식을 사용하는 것을 넘어, 등차수열의 합이 가지는 대칭성을 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 대부분의 학생들은 (가) 조건 `S₅ = 2S₁₀`을 `a`와 `d`에 대한 복잡한 식으로 풀어내려다 계산의 늪에 빠집니다. 이 문제의 결정적 힌트는 `S₁₀ = S₅ + (a₆ + ... + a₁₀)`으로 분리하고, 등차중항의 성질을 이용해 `a₆+...+a₁₀`을 `5 * a₈`과 같이 간단히 표현하여 `a`와 `d`의 관계식을 찾는 것입니다. (나) 조건은 공차 `d`의 부호를 결정하는 데 사용됩니다.
28번
— 로그함수 그래프 위의 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 활용하는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 '세 점이 한 직선 위에 있다'는 기하학적 조건을 '두 점 사이의 기울기가 같다'는 대수적 조건으로 변환할 수 있는지, 그리고 점의 좌표 사이의 비례 관계를 식으로 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 A, B의 좌표를 각각 미지수 2개로 설정하여 복잡하게 만드는 것입니다. 이 문제의 실마리는 점 A의 x좌표를 `t`로 설정하고, `OA:OB = 1:2`라는 조건으로부터 점 B의 좌표를 `(2t, 2log₃(5t-3))`로 표현하는 것입니다. 그 후 점 B가 로그함수 위의 점이라는 사실을 이용해 `2log₃(5t-3) = log₃(5(2t)-3)` 방정식을 세우면 `t`값을 구할 수 있습니다.
29번
— 두 원의 공통부분 넓이를 구하는, 계산량이 상당한 고난도 기하 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 두 원의 정보를 정확히 파악해야 합니다. 원 O₁의 반지름은 6으로 주어졌고, 원 O₂는 정삼각형 ACB의 외접원이므로 한 변의 길이 `AB = 6√2`를 이용해 사인법칙이나 공식을 통해 반지름 `R = (6√2) / sin(60°) * (1/2) = 2√6`을 구하는 것이 첫 단계입니다. 학생들은 공통부분 넓이를 구하는 과정에서 어떤 도형(부채꼴, 삼각형)의 넓이를 더하고 빼야 할지 혼란을 겪는 경우가 많습니다. 힌트는 공통현 AB를 기준으로 넓이를 둘로 나누어, 각 원에 속한 활꼴의 넓이를 따로따로 구해 더하는 전략을 사용하는 것입니다. 이를 위해 각 원의 중심에서 공통현 AB까지의 거리와 중심각을 정확히 계산해야 합니다.
30번
— 이차함수와 직선의 위치 관계를 수열의 점화식과 연결한 최고난도 융합 문제입니다. 출제 의도는 판별식을 통해 얻은 부등식의 해(m의 범위)에서 '최소 자연수'라는 조건을 어떻게 수열 `a_n`으로 정의하고, 그 수열의 변화를 관찰할 수 있는지 평가하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 `x²+n = mx`가 실근을 가질 조건, 즉 판별식 `D = m²-4n ≥ 0`을 세우는 것입니다. 여기서 `m ≥ 2√n` 이므로, 최소 자연수 `m`인 `a_n`은 `2√n`보다 크거나 같은 가장 작은 정수가 됩니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 `a_n < a_{n+1}` 조건을 해석하는 것인데, 이는 `2√n`과 `2√(n+1)` 사이에 정수가 존재할 때 `a_n` 값이 변한다는 것을 의미합니다. 즉, `2√n ≤ k < 2√(n+1)`을 만족하는 정수 `k`가 존재하는 `n`을 찾는 문제로 귀결됩니다.