2017년 04월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 4월 학평 나형은 29번, 원이 이동하며 삼각형과 만나는 교점의 개수가 바뀌는 지점을 추적하는 문제에서 많은 중상위권 학생들이 시간을 허비했을 가능성이 높습니다. 전반적으로 계산이 복잡하기보다는 개념의 정확한 이해를 요구하는 문항들이 많았으며, 특히 18번 프랙탈, 21번과 28번 도형과 극한의 융합 문항은 평가원이 선호하는 단골 유형이므로 반드시 복습해야 합니다. 30번 같은 고난도 경우의 수 문제는 조건을 꼼꼼히 분석하고 기준을 세워 경우를 나누는 연습을 하기에 더할 나위 없이 좋은 문제이니, 여러 번 풀어보며 자신만의 풀이 전략을 세우는 것이 수능 대비의 핵심입니다.

문항 분석

• 18번

  — 무한등비급수 도형 문제, 즉 프랙탈 문항의 정복은 초항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 데서 시작됩니다. 많은 학생들이 닮음비를 이용해 공비를 구할 때, 길이의 비를 그대로 사용하거나 새로 생기는 도형의 개수를 곱하는 것을 잊는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 큰 정사각형 ABCD와 두 번째 단계에서 그려지는 작은 정사각형 T₁, T₂의 관계를 파악하는 것입니다. 두 정사각형의 한 변의 길이의 비(닮음비)를 구하고, 이를 제곱하여 넓이의 비를 찾은 뒤, 도형이 2개씩 추가된다는 사실을 반영해야 정확한 공비를 얻을 수 있습니다.
  

• 20번

  — 전형적인 '과정 추론형' 경우의 수 문제입니다. 출제자가 제시한 논리적 흐름을 그대로 따라가는 것이 핵심이며, 혼자만의 방식으로 풀려고 하면 오히려 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 출제 의도는 전체 경우의 수에서 '곱이 홀수인 경우'와 '곱이 8 미만의 짝수인 경우'를 빼는 여사건의 원리를 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 특히 (나)를 채울 때, 곱이 4가 되는 경우({4,1,1}, {2,2,1})나 곱이 6이 되는 경우({6,1,1}, {3,2,1})를 빠짐없이 찾고, 각각의 경우에 대한 순열의 수를 정확히 계산하는 것이 관건입니다. 숫자의 구성이 다르면 순열 계산법도 달라진다는 점을 명심해야 합니다.
  

• 21번

  — 도형의 성질을 극한 계산에 융합하는 능력을 측정하는 문항입니다. 이등변삼각형이라는 조건 (가), (나)를 보고 점 Q와 R의 좌표를 t에 대한 식으로 표현하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 많은 학생들이 점 P(t, t²)와 원점 O, 그리고 x축, y축 위의 점 Q, R 사이의 거리를 식으로 세우는 과정에서 계산 실수에 발목을 잡힙니다. 힌트는 'PO=PQ'와 'RO=RP'라는 조건을 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 그대로 식으로 옮기는 것입니다. 이 과정을 통해 Q와 R의 좌표를 t로 나타내면, 두 삼각형의 넓이 S(t)와 T(t)를 구하고 극한값을 계산하는 것은 어렵지 않습니다.
  

• 28번

  — 좌표평면 위의 네 점으로 이루어진 사다리꼴의 넓이를 구하고 그 극한값을 계산하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 점 Pn과 Qn의 좌표를 n에 대한 식으로 정확하게 설정하는 것입니다. x좌표가 n+1로 주어졌으므로, 각 점이 위치한 곡선의 방정식에 대입하여 y좌표를 구하면 됩니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 사다리꼴의 넓이 공식을 적용할 때 윗변, 아랫변, 높이를 혼동하는 것입니다. 힌트는 직선 x=1과 x=n+1이 y축에 평행하다는 사실을 이용하는 것입니다. 두 직선 사이의 거리인 'n'이 바로 사다리꼴의 높이가 되며, 선분 AB와 선분 PnQn의 길이가 각각 윗변과 아랫변이 됩니다.
  

• 29번

  — 원의 위치(x)가 변함에 따라 삼각형과의 교점 개수(f(x))가 달라지는 상황을 분석하여, 함수 f(x)가 불연속이 되는 지점(a)을 찾는 문제입니다. 이런 유형의 문제는 '상황이 극적으로 변하는 순간'을 포착하는 것이 핵심입니다. 교점의 개수는 원이 삼각형의 '변에 접할 때' 또는 '꼭짓점을 지날 때' 변하게 됩니다. 학생들은 보통 한두 개의 접점만 찾고 모든 경우를 다 찾았다고 착각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 원의 중심 P(x, 0)와 삼각형의 세 변(직선 AB, BC, AC) 사이의 거리가 반지름 2와 같아지는 순간, 그리고 중심 P와 꼭짓점 C 사이의 거리가 반지름 2와 같아지는 순간의 x값을 모두 찾는 것입니다.
  

• 30번

  — 조건을 만족하는 경우의 수를 구하는 고난도 조합 문제입니다. (가) 조건에서 5개의 수가 크거나 같은 순서로 배열된다는 것을 보고 '중복조합'을 떠올려야 합니다. 하지만 (나) 조건 'k₃ = k₁ + 1'이 추가되면서 단순한 중복조합 문제가 아니게 됩니다. 이처럼 복잡한 조건이 주어질 때는, 가장 기준이 되는 문자를 정해 경우를 나누는 것이 현명한 전략입니다. 이 문제의 해결 힌트는 k₁의 값을 기준으로 삼는 것입니다. k₁=i 라고 가정하면 k₃는 i+1로 고정됩니다. 그 후, 나머지 k₂, k₄, k₅가 만족해야 하는 부등식 조건을 각각 중복조합으로 계산하여 모든 i의 경우에 대해 더해주면 일반항 an을 구할 수 있습니다.
  

• 확률과 통계 26번

  — 이 문제는 '곱이 60의 배수'라는 조건을 해석하는 능력을 묻고 있습니다. 60을 소인수분해하면 2² × 3 × 5 이므로, 선택된 8개의 수의 곱에 소인수 2가 최소 2개, 3이 최소 1개, 5가 최소 1개 포함되어야 함을 의미합니다. 직접 경우를 세는 것은 매우 복잡하므로, 전체 경우의 수에서 '60의 배수가 아닌 경우'를 빼는 여사건의 원리를 활용하는 것이 핵심입니다. 이때 '3의 배수가 아닌 경우', '5의 배수가 아닌 경우', '4의 배수가 아닌 경우'를 각각 구하여 포함-배제의 원리를 적용하는 것이 가장 효율적인 풀이의 실마리가 됩니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 여러 제약 조건이 걸린 복잡한 경우의 수 문제입니다. 출제 의도는 조건을 정확히 해석하고, 기준을 세워 체계적으로 경우를 나누는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 '합이 5이고 모두 같은 색'이라는 핵심 조건을 만족하는 공의 조합({1, 2, 2})을 찾은 뒤, 남은 공을 배열하는 경우의 수를 누락하거나 잘못 계산하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 (1) 4, 5, 6번 칸에 들어갈 공의 조합({1, 2, 2})과 색(모두 흰색 or 모두 검은색)을 먼저 결정하고, (2) 이 3개의 공을 4, 5, 6번 칸에 배열한 뒤, (3) 남은 5개의 공을 남은 5개의 칸에 배열하는 순서로 단계를 나누어 계산하는 것입니다.
  

• 미적분 29번

  — 두 곡선 y=3^x-n과 y=log₃(x+n)이 y=x에 대해 대칭인 역함수 관계임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 이 출제 의도를 놓치고 두 부등식 영역의 격자점을 직접 세려고 하면 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 격자점의 개수가 4개로 고정되어 있다는 점이 결정적 힌트입니다. y=x 대칭성을 활용하면, 두 영역에 공통으로 포함된 격자점은 y=x 위에 있거나, (a, b)가 포함되면 (b, a)도 포함되는 쌍으로 존재합니다. 따라서 y=x 위의 자연수점(k, k)이 몇 개인지, 그리고 y=x 대칭인 점의 쌍이 몇 개인지를 기준으로 n의 범위를 추론해 나가야 합니다.
  

• 미적분 30번

  — 다항함수 f(x)의 형태를 조건 (가), (나), (다)를 통해 단계적으로 추론해내는 최고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(x)의 실근이 0과 2뿐이므로 f(x) = x^m(x-2)^n 꼴임을 유추해야 합니다. (나)의 극한값이 존재한다는 조건은 분모 f(x)가 (x-2)³을 인수로 가져야 함을 의미하며, 이것이 n=3임을 확정하는 결정적 실마리입니다. 마지막으로 (다)에서 함수 g(x)/x가 x=5/4에서 미분 불가능하다는 것은, 분모인 f'(x)가 x=5/4를 근으로 가짐을 암시합니다. 이 단서들을 종합하여 미정계수 m을 찾아내면 f(x)가 최종적으로 확정됩니다.