2017년 03월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평 가형은 21번 정적분 문제에서 학생들의 멘탈을 흔들었을 가능성이 높습니다. 단순히 공식을 적용하는 수준을 넘어, 주어진 조건 (가)를 미분방정식의 관점에서 해석하고 이를 적분 계산에 녹여내는 깊이 있는 사고력을 요구했기 때문이죠. 전반적으로 15번, 29번 같은 까다로운 경우의 수 문제에서 꼼꼼함을, 18번, 30번에서는 그래프를 해석하는 기하학적 직관을 테스트하는 등, 특정 유형에 치우치지 않은 균형 잡힌 출제 경향을 보였습니다. 특히 17번(삼각함수 극한), 21번(정적분 함수), 28번(역함수 적분) 등은 평가원이 꾸준히 출제하는 핵심 테마이므로, 이번 시험을 통해 자신의 약점을 파악하고 수능까지의 학습 전략을 재정비하는 계기로 삼아야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 단순한 원순열 문제가 아닙니다. '여학생 사이에 앉은 남학생의 수가 모두 다르다'는 조건이 핵심이죠. 많은 학생들이 남학생 6명을 먼저 배열하려다 경우의 수가 너무 복잡해져 함정에 빠졌을 겁니다. 결정적 실마리는 여학생 3명을 먼저 원형으로 배열하여 기준을 잡는 것입니다. 그러면 여학생들 사이의 세 공간에 남학생들을 '분할'한 뒤, 그들을 '분배'하는 문제로 바뀌게 됩니다. 즉, 6을 서로 다른 세 자연수의 합으로 분할(Partition)하는 아이디어(1+2+3)를 떠올리는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 18번

  — 합성함수 y=(f∘f)(x)의 그래프를 직접 그리려는 시도는 시간 낭비일 뿐만 아니라 실패할 확률이 높습니다. 이 문제의 출제 의도는 합성함수의 실근 개수를 '치환'을 통해 단계적으로 추론하는 능력을 보는 것입니다. f(x)=t로 치환하여 f(t) = 15/4를 만족하는 t의 값을 먼저 그래프에서 찾으세요. 여기서 함정은, 찾은 t값들이 정수가 아니더라도 당황하지 않는 것입니다. 그 t값들을 다시 y=t라는 상수함수로 보고, 원래 함수 y=f(x)와의 교점 개수를 세면 최종적인 x의 개수를 구할 수 있습니다. 즉, 방정식을 두 번 푼다고 생각하면 명쾌해집니다.
  

• 19번

  — 이 문제는 무한등비급수의 합 공식을 활용하는 전형적인 도형 문제이지만, 첫째항과 공비를 구하는 과정이 다소 복잡합니다. 핵심 출제 의도는 복잡한 도형에서 넓이를 정확히 계산하고, 두 도형 사이의 닮음비를 찾아내는 능력입니다. 많은 학생들이 첫째항 S₁의 넓이를 구할 때, 원 C₁의 내부와 원 C₂의 외부라는 조건을 해석하며 부채꼴과 삼각형 넓이를 조합하는 과정에서 실수를 합니다. 이 문제를 풀어낼 결정적 실마리는 두 번째 정사각형 PQRS의 한 변의 길이를 알아내는 것에 있습니다. 원 C₂의 방정식 (x-1)² + (y-1)² = (√2)² 에서 y=1을 대입하여 점 P, S의 x좌표를 찾으면 공비를 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 집합 Am의 조건 2ª = m/b 를 b = m / 2ª 로 변형하여 a, b가 모두 자연수가 되는 순서쌍 (a, b)를 찾는 문제입니다. 출제 의도는 지수법칙과 약수, 배수 개념을 융합하여 주어진 조건을 만족하는 자연수 m의 특징을 추론하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 'ㄴ' 보기에서 m=2ᵏ일 때, a가 될 수 있는 값의 범위를 k-1까지로 착각하는 것입니다. b=2ᵏ⁻ª 역시 자연수여야 하므로 a는 1부터 k-1까지 총 k-1개가 됩니다. 'ㄷ'을 해결하는 결정적 힌트는 n(Am)=1이라는 조건이 'm을 소인수분해했을 때, m이 홀수이거나 또는 m=홀수×2¹ 꼴이어야 한다'는 사실을 간파하는 것입니다. 이 조건을 만족하는 두 자리 자연수의 개수를 체계적으로 세어야 정답에 도달할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 두 집합의 교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 묻는 문제로, 집합의 연산 법칙에 대한 깊은 이해를 요구합니다. 출제 의도는 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) 라는 기본 공식을 전체집합 U의 제약 조건 하에서 유연하게 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들은 보통 최댓값은 쉽게 구하지만, 최솟값을 구할 때 n(A∪B)가 전체 학생 수 30명을 넘을 수 없다는 사실을 간과하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 교집합의 최댓값(M)은 두 집합 중 원소 개수가 적은 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 때(n(B) ≤ n(A) → M=n(B)) 발생하고, 최솟값(m)은 합집합의 크기가 최대가 될 때(n(A∪B) = n(U)) 발생한다는 원리를 적용하는 것입니다.
  

• 29번

  — 로그의 값이 자연수가 될 조건과 일대일 대응의 정의를 결합한 고난도 추론 문제입니다. 출제 의도는 낯설게 정의된 함수 A(x)의 의미를 파악하고, 일대일 대응의 조건(정의역과 치역이 같고, x값이 다르면 f(x)값도 다르다)을 만족하는 부분집합 X를 구성하는 능력을 측정하는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 A(x) 값을 계산한 후, 어떤 원소들을 뽑아야 '정의역 X의 원소'와 '치역 A(X)의 원소'가 정확히 일치하는 집합을 만들 수 있는지 그 조합을 찾는 과정입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 먼저 P의 원소인 x=2, 3, ..., 8에 대한 A(x) 값을 모두 계산하여 (x, A(x)) 순서쌍 목록을 만드는 것입니다. 그 후, 이 목록에서 x와 A(x)가 모두 선택된 원소들로만 구성된 부분집합을 찾아내면 됩니다.
  

• 30번

  — 주어진 규칙에 따라 집합의 원소를 역으로 추적해야 하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 정수의 홀짝성에 따른 케이스 분류와 집합의 유한성(원소가 3개)을 이용한 논리적 추론 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. 대부분의 학생들은 5에서 출발하여 (5+p)/2라는 다음 원소를 만들 때, p와 (5+p)/2 자체의 홀짝성을 동시에 고려해야 하는 복잡한 케이스 분류에서 길을 잃습니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 '집합의 원소는 3개뿐'이라는 사실입니다. 즉, 5에서 시작하여 규칙을 적용해 만든 원소들이 3개 내에서 순환해야 합니다. 예를 들어 x₁, x₂, x₃가 원소라면, f(x₃)는 반드시 x₁, x₂, x₃ 중 하나여야 한다는 '닫혀있다'는 성질을 이용해 p에 대한 방정식을 세우는 것이 핵심입니다.
  

• 미적분 28번

  — 함수 f(x)와 그 역함수 g(x)의 정적분 값을 묻는, 매우 추상적인 문제입니다. f(1)=1, f(3)=3, f(7)=7 이라는 조건은 f(x)가 y=x와 세 점에서 만남을 의미합니다. 여기서 결정적 힌트는 (나) 조건, 즉 x≠3에서 f''(x)<0 이라는 것입니다. 이는 함수가 위로 볼록함을 뜻하며, 그래프가 (1,1)과 (3,3)을 잇는 직선(y=x)보다 위에, (3,3)과 (7,7)을 잇는 직선(y=x)보다 위에 그려진다는 기하학적 정보를 제공합니다. 따라서 구하고자 하는 ∫|f(x)-x|dx는 f(x)와 y=x로 둘러싸인 넓이이며, 이 넓이는 ∫f(x)dx - ∫x dx 로 계산할 수 있습니다. 역함수 g(x)의 적분값은 넓이 공식을 이용해 f(x)의 적분값으로 변환해야 합니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — '같은 층에서는 남녀 사물함이 이웃하지 않는다'는 조건 때문에 매우 까다로운 경우의 수 문제입니다. 이 문제는 전체 경우에서 여사건을 빼는 방식보다, 5명의 학생을 3개의 층에 어떻게 배분할지를 기준으로 케이스를 나누는 것이 훨씬 효율적입니다. 예를 들어, (3명, 2명, 0명), (2명, 2명, 1명) 등으로 층별 인원을 먼저 분할하세요. 그 후 각 케이스별로 남녀 학생을 배정하고, 각 층에서 '이웃하지 않게' 배열하는 경우의 수를 곱해주는 방식으로 접근해야 합니다. 특히 한 층에 남녀가 모두 배정될 때의 배열 방법(예: 남-여-남, 빈칸-남-여 등)을 실수 없이 세는 것이 관건입니다.
  

• 미적분 30번

  — 곡선 밖의 한 점 P(a, 2a)에서 그은 두 접선에 대한 기하학적 양의 최솟값을 묻는 문제입니다. 핵심은 접점의 x좌표를 t로 설정하고 접선의 방정식을 세우는 것부터 시작합니다. 이 접선이 P(a, 2a)를 지난다는 사실로부터 a와 t에 대한 관계식을 얻게 되는데, 이 식이 t에 대한 이차방정식이 된다는 점이 결정적 실마리입니다. 이 이차방정식의 두 근이 바로 두 접점 A, B의 x좌표(t₁, t₂)가 됩니다. PA²+PB²+AB²라는 복잡한 식을 근과 계수의 관계를 이용하여 'a'에 대한 함수로 표현한 뒤, 미분을 통해 최솟값을 구하는 전형적인 최적화 문제의 흐름을 따라가야 합니다. 계산 과정이 복잡하므로 침착함이 요구됩니다.